24.1.2垂直于弦的直径——垂径定理及其推论一、新课导入1.导入课题：圆是轴对称图形吗？这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质.(板书课题)2.学习目标：(1)能通过折纸探究圆的轴对称性，能证明圆是轴对称图形.(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.(3)能利用垂径定理解决相应问题.3.学习重、难点：重点：圆的轴对称性、垂径定理及其推论.难点：利用垂径定理进行计算或证明.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第81页“探究”——圆的轴对称性.(2)自学时间：2分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究参考提纲：①操作：用纸剪一个圆形纸片，沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复几次.a.通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？是轴对称图形，有无数条对称轴.b.“圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？不对，应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.②猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.③证明：怎样证明圆是轴对称图形呢？a.要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上.b.怎样证明两点关于已知直线对称？两点的连线被已知直线垂直平分.,c.如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上异于点C,D的任意一点，过A作AA′⊥CD，垂足为M.交⊙O于点A′，下面只需证明A′是点A关于直线CD的对称点.如图，连接OA,OA′.在△OAA′中，∵OA=OA′，∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD,∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分线.∴点A′、A关于直径所在的直线对称即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.2.自学：学生可结合探究提纲，相互研讨学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：关注证明过程的逻辑性与规范性.②差异指导：指导学生探究证明思路.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.(2)要证某图形是轴对称图形，只需证明该图形上任意一点关于对称轴的对称点也在这个图形上.1.自学指导：(1)自学内容：教材第82页例2之前的部分.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究参考提纲：①垂径定理：,b.归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.②垂径定理的推论：b.反例：当弦AA′为直径时，结论还成立吗？为什么？不成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直.c.限定：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.2.自学：学生可结合自学指导相互研讨学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误.②差异指导：依据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：小组内相互交流研讨、订正结论.4.强化:(1)从图形、文字和式子三个方面对垂径定理及其推论进行解读.(2)垂径定理的条件：过圆心，垂直于弦；结论：平分弦，平分弦所对的两条弧.1.自学指导：(1)自学内容：教材第83页“练习”第1题.(2)自学时间：4分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①线段OE满足垂径定理的题设条件：条件1：AB是弦；条件2：OE⊥AB.②依据垂径定理得，AE=12AB=BE.③要求⊙O的半径，只需连接OA，在Rt△AOE中，由勾股定理，就可求得⊙O的半径为5.④给出你的解答过程：,2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生：①明了学情：观察学生是否会构造直角三角形，书写过程是否规范.②差异指导：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面给予指导.(2)生助生：生生互动交流、研讨、订正.4.强化:(1)常规辅助线：过圆心作弦的垂线段.(2)设圆的半径为r，弦长为a，圆心到弦的距离为d，则有因此，在这三个量中已知其中两个量就可以求出第三个量.(3)练习：如图，已知⊙O的半径为1，弦AB的长为，求圆心O到弦AB的距离.解：如图，作OE⊥AB，垂足为E，则OE垂直平分AB.1.自学指导：(1)自学范围：教材第82页例2.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：阅读、思考、总结、提高.(4)自学参考提纲：2.自学：学生依据自学指导自主学习.3.助学：,(1)师助生：①明了学情：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面了解学生的学习情况.②差异指导：根据学情合理指导.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.3.强化：(1)强调常规辅助线和解题规范.(2)练习：如图是一条水平铺设的直径为2m的通水管道横截面，其水面宽为1.6m，则这条管道中的水最深为0.4m.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中你有哪些收获？还有何困惑？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组交流协作情况和存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，有利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究素质.(2)本课时的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)下列说法中正确的是(B)A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦,D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴2.(10分)如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是(C)A.∠AOD=∠BODB.AD=BDC.OD=DC3.(10分)半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是10，最短弦的长是6.4.(10分)如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形.证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.∴四边形ADOE是矩形.又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,AB＝AC,∴AE＝AC＝AB＝AD,∴四边形ADOE是正方形.5.(10分)如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求：(1)∠AOB的度数；(2)点O到AB的距离.解：(1)∵OA=OB=AB=50mm，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.(2)作OM⊥AB，则∠AOM=∠AOB=30°.即点O到AB的距离为25mm.6.(10分)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径.解：连接OC.,∵OM平分CD,OM⊥CD且CM=MD=CD=2m.设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=cm2+Om2，即r2=22+(6-r)2.解得r=，即⊙O的半径为m.8.(10分)如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,则AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.二、综合应用(10分)9.(10分)⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.解：分两种情况讨论.第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.∵AB∥CD.∴OE⊥AB.第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时，如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，∴EM=OM+OE=17cm.即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.,三、拓展延伸(10分)10.(10分)如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？解：OM＜ON.理由如下：连接OA、OC.则OA＝OC.∵ON⊥CD,OM⊥AB,∴CN＝CD,AM＝AB.又∵AB＞CD,∴CN＜AM,∴CN2＜AM2.在Rt△OCN和Rt△OAM中，OM2＝OA2-AM2,ON2＝OC2-CN2,∴Om2＜ON2.∴OM＜ON.
