24.4解直角三角形——坡度问题
01学习目标05随堂练习06课堂小结03新知探究02旧知回顾04例题精讲
1.用三角函数有关知识解决问题,学会解决坡度(坡比)问题。2.进一步培养分析问题、解决问题的能力。3.渗透数形结合的思想方法,进一步总结利用锐角三角函数解决实际问题的方法。
1.数形结合思想.把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,构造出直角三角形.2.方程思想.3.转化(化归)思想.仰角、俯角、方位角问题的解题思想与方法:
坡度通常写成1:m的形式,如i=1:6.坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比).记作i,即i=.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a,即i==tana坡度显然,坡度越大,坡角a就越大,坡面就越陡.
练习(1)一段坡面的坡角为60°,则坡度i=______;(2)已知一段坡面上,铅直高度为,坡面长3,则坡度i=______;坡角α=______度.
例4:如图,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)
解:作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E,F.由题意可知DE=CF=4.2(米),CD=EF=12.51(米).∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1(米).答:路基下底的宽约为27.1米.32°28°12.51米4.2米ABCDEF在Rt△BCF中,在Rt△ADE中,同理可得
将梯形分成两个直角三角形和一个矩形.过D、C作高,解后反思ABCD
例:如图,是一海堤的横断面为梯形ABCD,已知堤顶宽BC为6m,堤高为3.2m,为了提高海堤的拦水能力,需要将海堤加高2m,并且保持堤顶宽度不变,迎水坡CD的坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改成i=1:2.5(有关数据在图上已注明).(1)求加高后的堤底HD的长.(2)求增加部分的横断面积.(3)设大堤长为1000米,需多少方土加上去?(4)若每方土300元,计划准备多少资金付给民工?
(1)从图③中,你能求得这个横断面哪些量?图②呢?求堤底HD的长与图③有关吗?从图②中如何求出HD的长.解:HD=HN+NF+DF=13+6+10.4=29.4(m)答:加高后的堤底HD的长是29.4米(1)求加高后的堤底HD的长.图③图②
(2)如何求增加部分的面积?直接能求图①中阴影部分的面积吗?那么增加部分的面积与什么图形的面积有关?答:增加部分的横断面积52.36(2)求增加部分的横断面积.
(3)答:需52360方土加上去。答:计划准备1570.8万元资金付给民工.(4)52360300=15708000(元)=1570.8(万元)
1.利用土埂修筑一条渠道,在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分),已知渠道内坡度为1:1.5,渠道底面宽BC为0.5米,求:①横断面(等腰梯形)ABCD的面积;②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数.分析:1.将实际问题转化为数学问题.2.要求S等腰梯形ABCD,首先要求出AD,如何利用条件求AD?3.土方数=S·l
2.例:如图,在直角梯形中,∠B=90°,BC=3,CD=2,AB=6,求∠A的度数?ABCD
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.
作业:课本116页练习第1题。