一、相关知识链接：一元二次方程的一般形式是：（、、是已知数，特别强调），其中、、分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．练习1:把一元二次方程化为一般形式为，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是．练习2:（1）已知关于的方程为一元二次方程，则的取值范围是．（2）关于的一元二次方程有一个解是0，则．二、一元二次方程的解法：解一元二次方程的基本思想是通过降次将其转化为一元一次方程，常用的解法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。其中公式法是通则、通法，可以用来解任何一元二次方程．在解一元二次方程时，可以根据方程自身的特点，灵活选择解题方法。在利用求根公式求解时，一定要注意先把方程化为一般形式，判断实数根的情况下后再代入公式求解．一元二次方程的求根公式： ．其中△=叫做一元二次方程的根的判别式；① 当时，方程有两个不相等的实数根；② 当时，方程有两个相等的实数根；
③ 当时，方程没有实数根．练习1:请你选择适当的方法解下列方程：（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）练习2：用两种不同的方法解一元二次方程．练习3：选择题1．经过配方，方程可以变形为（）A．B．C．D．2．不解方程，判别方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）
A．B．C．D．1．解下列方程：（1）．（2）．（3）．2．已知关于的方程（1）试判断方程根的情况；（2）若这个方程与方程有一个相同的根，求的值．已知关于的一元二次方程有两个实数根．（1）若m为正整数，求此方程的根．（2）设此方程的一个实数根为，若，求的取值范围．【课后作业】已知：关于的一元二次方程．（1）当时，方程有两个实数根，求的取值范围；（2）若（）是这个方程的一个实数根，且，求的值．
一、选择题：1．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（）A．2和－3B．3和－2C．－3和2D．3和22．方程的根是（）A．B．， C．，D．，3．经过配方，方程可以变形为（）A．B．C．D．二、填空题：4．方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．5．关于的方程有两个实数根，则的最大值是．一、选择题：（每题2分，共14分）1．对于方程，下列说法正确的是（）A．一次项系数为3B．一次项系数为－3C．常数项是3D．二次项系数为32．方程的解是（）A．B．，C．D．，3.用直接开方法解方程得方程的根为()
A．B．C．D．4．一元二次方程经过配方后，可以得到的方程是（）A．B．C．D．5．方程的根是（）A．B．， C．，D．6．方程有实数根，则的取值范围是（）A．B． C．D．7．如果1是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于（）A．或B．C．D．二、填空题：(第8、9小题每空1分，其余每空2分，共28分)8．将方程化成一般形式是，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为．9．=．10．解方程：（1）方程的解为；（2）方程的解为．（3）方程的解为；（4）方程的解为．11．当，的值等于21．12．若关于的一元二次方程的一个根为1，则
的值等于．13．一元二次方程（）的求根公式为．14．关于的一元二次方程的一个根为1，则．15．已知一元二次方程=0有一个解是0，则=．16．已知（）是方程的解，则代数式的值是．17．等腰△ABC中，BC=5，AB．AC的长是关于的方程的两根，则．三、解答题：18．解下列方程（每题4分，共44分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）
（10）（11）解关于的方程19．(6分)已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值．20．已知：如图，在△ABC中，∠B=，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向终点点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向终点点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，其中一点到达终点后，另一点也同时停止运动．（1）几秒后，△PBQ的面积等于4？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）△PQB的面积能否等于7？说明理由．21．已知关于的方程（1）试判断这个方程根的情况；（2）若方程的两根分别为；且，，求的取值范围．
附加题：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数（）的图象相交于第一象限的点P，PQ⊥轴，垂足为Q．点M（，）在反比例函数（）的图象上，MC⊥轴，垂足为C，直线MC交直线AB于N．（1）若，求的值；（2）若以P、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，且CQ=1，求的值．一、选择题：（每题2分，共14分）1．关于方程，下列说法正确的是（）A．此方程是一元二次方程B．此方程不是一元二次方程
C．此方程的常数项是－1D．此方程的一次项系数是02．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．B．C．D．3．一元二次方程经过配方后，可以得到的方程是（）A．B．C．D．4．方程的根是（）A．B． C．， D．，5．关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是（）A．或B．C．D．6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则()A．B．C．D．7．已知是方程的解，则代数式的值是（）A．－3 B．－15 C．1 D．－1二、填空题：(第8、9小题每空1分，其余每空2分，共26分)8．一元二次方程的一次项系数为，常数项为．9．=．10．解方程：（1）方程的解为；（2）方程的解为．（3）方程的解为；（4）方程
的解为．11．方程有实数根，则的取值范围是．12．若关于的一元二次方程的一个根为，则=．13．写出一个两个根相等的一元二次方程：．14．等腰三角形的两条边长是方程的两个根，则三角形的周长是．15．一个长方形的长比宽多4，面积为60，则这个长方形的长等于．16．两个数的和为6，且这两个数的积等于，则符合条件的正整数共有个．17．等腰△ABC中，BC=8，AB，AC的长是关于的方程的两根，则．三、解答题：18．解下列方程（每题5分，共30分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）19．（8分）阅读下面例题：解方程
解：设，原方程化为：, 解得：当时，，即，解得：当时，，即，，这个方程没有实数根．∴原方程的根是和．请参照例题解方程：20．（8分）已知：关于的方程（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）为选取一个合适的值，使方程有两个不相等的整数根；并求出这两个根．21．（8分）已知竖直向上抛物体，离地高度（米）和抛出时间（秒）的关系是，是竖直上抛时的瞬时速度，重力加速度g=10米/秒2，=20米/秒，试问：（1）隔多少时间物体离地高度是15米？（2）物体离地高度能否达到25米？
22．（8分）在等腰△ABC中，三边分别为，，，且，关于的方程有两个相等的实数根，求△ABC的周长．23．（8分）已知：关于的一元二次方程．（1）当时，方程有两个实数根，求的取值范围；（2）若（）是这个方程的一个实数根，且，求的值．24．（10分）如图，在直角坐标系xoy中，点A（3，0）在轴上，点B在轴上，不经过第四象限的直线与线段AB交于点P，与轴交于点C，若点P的横坐标为2，且△PAC的面积为5．（1）求的值；（2）若把线段PC绕点P旋转90°，点C的对应点是点M，求点M的坐标．
3．第一轮某一个人把一条短信发送给若干个人，第二轮每个人又把这条短信转发给若干个人，假设每人每次发出的短信条数相同，两轮过后共有100条相同的短信，每个人发送了多少条短信？问题1：（1）有一人A患了流感，第一轮A传染给了三个人，这时共有 人患了流感；第二轮中这几个人每人又传染给三个人，第二轮中被传染的共有 人．（2）有一人患了流感，每轮传染中每个人传染了个人．第一轮后共有 人患了流感；第二轮后共有 人患了流感．（3）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?（4）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感呢？
问题2：要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛．2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【课堂拓展】一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，请说明理由．1．如果两个连续整数的积为240，那么这两个数分别是．2．如果两个相邻偶数的积为168，那么这两个偶数分别是．
3．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会?3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场（单循环赛），（1）若有3支球队参赛，则全部比赛的场数是；若有4支球队参赛，则全部比赛的场数是；有5支球队参赛，则全部比赛的场数是；有支球队参加邀请赛，则全部比赛的场数是；（2）根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请个队参赛，则可列方程．2．设一个小组有人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则可列方程．某学校举办中国象棋比赛，比赛形式为单循环赛（即每两人之间只比赛一次），每局比赛胜者得2分，负者得0分，如果下成和局，则各得1分．（1）参加人数有3人时，共有场比赛；参加人数有4人时，共有场比赛；……，参加人数有人时，共有场比赛；（2）今有甲、乙、丙、三个同学统计了所有参赛选手的总分，分别为239分，240分，242分，请问哪位同学的统计是准确的？这次比赛共有多少名选手参赛？2．（1）学校图书馆2011年底有图书10万册，预计今后两年每年增长10%，那么到了2012年底有图书万册，到了2013年底有图书万册；（2）学校图书馆2011年底有图书万册，预计今后两年每年增长率为，那么到了2012年底有图书万册，到了2013年底有图书万册；（3）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率．2．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2010年盈利1500
万元，预计到2012年盈利2160万元，且从2010年到2012年，每年盈利的年增长率相为．（1）该公司2011年盈利万元．（用含的代数式表示）（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2013年盈利多少万元？4．某商品原价50元，连续两次降价后，现价为25元，且两次降价率均为，由题意可列方程为．5．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到72000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？某市政府2011年的财政收入为350亿元，计划在2013年实现财政净收入为现在的倍．假设2012、2013这两年中财政净收入的年平均增长率都为．（1）2012年的财政收入是亿元；（用含的代数式表示）（2）求的值；（3）若把题中的350亿元改成亿元，能否求出的值？某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．（1）现限定该商品的利润率不得超过50%，但也不亏本，求销售量的取值范围；（2）若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2．用40厘米长的铁丝围成长方形（1）能围成75平方厘米的长方形吗？（2）能围成101平方厘米的长方形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
如图，某校要用的铁栏杆，一面靠墙（墙长），围成一个矩形花圃，设矩形花圃垂直于墙的一边长为，与墙平行的一边长为．（1）当时，求的取值范围；（2）当矩形花圃的面积为时，求的值．学校准备在图书馆后面的场地边建一个长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙（后墙长为20米），其它三边安装上总长度为30米的铁围栏．（1）若自行车棚的面积为72平方米，那么垂直于后墙的边长是多少米？（2）王丽同学认为自行车棚为正方形时，面积最大，你认为王丽同学的说法是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明．2．如图，在一块横、纵长分别为84米、宽63米的矩形地面上，修建横、纵两边分别平行的两条道路，横、纵两条道路的宽度之比为3:4，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为4800米2，试问横、纵两条道路的宽分别为多少米？如图，学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为72平方米的长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙（后墙长15米），车棚两侧砌墙围起来，每米费用300元；正面安装铁栅栏，每米费用200元．（1）若车棚围栏的总长（含左右侧及正面）为25米时，求铁栅栏的长度；（2）与其它方案相比，以（1）中的方案设计车棚，所需的总费用是否为最省钱？如果是，说明理由；如果不是，举例说明．
4．全国CBA篮球联赛预赛实行主、客场循环赛制（即每两支队都要比赛两场），经计算，预赛共要进行132场比赛，设参赛球队有支，那么根据题意列方程得．5．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅所图所示的矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽．2．如图17①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图17②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．②①一元二次方程的定义：叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式为，其中是二次项，
是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．4．把方程化为一般形式为，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为．5．（1）叫做方程的解．（2）若1是方程的根，则．（3）已知是方程的一个根，则．已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值．1．关于的方程是一元二次方程，（1）将方程化为一般式；（2）应满足的条件 ．2．⑴若一元二次方程有一个根为1，则；（2）已知是方程的一个实数根，则=．1．（1）已知是方程（）的一个根，则代数式的值．（2）已知是方程的一个根，则代数式的值为．2．在直角坐标系中，O是坐标原点.点P（m，n）在反比例函数的图象上，若，OP=2，且此反比例函数满足：当时，随的增大而减小，则．1．已知一元二次方程有一个根为0，则．
（2）对于方程当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；2．不解方程，判别方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．不解方程，判别方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．B．C．D．5．当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．6．当时，关于的一元二次方程有两个实数根．问题1不解方程，判断下列方程根的情况（1）（2）（3）问题2关于的方程的根的情况为（）
A．有两个相等的实数根B．有两个实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根问题31．解关于的方程解关于的方程2．解关于的方程1．下列方程中，有实数根的是（）A.B.C.D.2．关于的方程的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3．当取什么值时，关于的方程有两个相等的实数根？并求出这时方程的根.
【拓展延伸】已知：关于的方程（1）当时，求方程的根；（2）试判断此方程根的情况；（3）若，是方程的两个实数根，满足，且；当是整数时，求的值已知：关于的方程：（1）当取何值时，方程有两个实数根？（2）若△ABC是等腰三角形，BC=4，AB、AC的长是这个方程的两个根，求△ABC的周长．已知：关于的方程：（1）当取何值时，方程有两个实数根？（2）若△ABC是等腰三角形，BC=4，AB、AC的长是这个方程的两个根，求△ABC的周长．1．方程的根是（）
A．B．， C．，D．2．方程有实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．经过配方，方程可以变形为（）A．B．C．D．4．用适当的方法解下列方程（1）．（2）．（3）．（4）．（5）1．方程的一次项系数是 ，常数项是 ．2．方程的根是；方程（的解是 ．3．已知一元二次方程=0有一个解是0，则=．4．=；=．5．方程的解是．6．已知，那么．7．三角形的两边长分别为3和6，另一条边长是方程的解，则这个三角形的周长等于．
8．若关于的方程有一个根是，则= ，9．已知（）是方程的解，则代数式的值等于 ．二、用适当的方法解下列方程10． 11． 12．已知：关于的方程（1）当，试求出此方程的根；（2）给出一个的值，使方程有两个不相等的整数根；并求方程的根；问题2已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若，且方程的两个根都是整数，求的值．1．已知：关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根，满足且，求的取值范围．
2．已知：关于的一元二次方程．（1）当时，方程有两个实数根，求的取值范围；（2）若是这个方程的一个实数根，，，求的值．1．方程的根是（）A．B．， C．，D．，2．已知是方程的解，则代数式的值是（）A．－3 B．－15 C．1 D．－13．已知（）是方程的解，则代数式的值是（）A．－2 B．2 C．1 D．－14．已知：关于的一元二次方程（1）试判断方程根的情况；（2）直角三角形ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为15，求的值．已知：关于的一元二次方程．（1）当时，方程有两个实数根，求的取值范围；（2）若（）是这个方程的一个实数根，且，求的值．1．计算：；．2．在下列式子中，填上适当的数，使等式成立（1）；（2）；（3）；（4）；
3．把下列方程化为的形式，再利用开平方法求解．（1）（2）1．用配方法解方程，方程两边应同时（）A．加上2B．加上4C．减去2D．减去42．经过配方，方程可以变形为（）A．B．C．D．3．方程的根是；方程的根是．4．已知关于的一元二次方程有一个根为0，则=．5．用配方法解方程（1）（2）1．解关于的方程2．求证：对于任意的实数，代数式的值一定是正数．已知，，当时候，比较与的大小．
1．已知方程：（1）当，这个方程是一元一次方程，且这个方程的根（解）为．（2）当，这个方程是一元二次方程．2．把方程整理成一般形式为：，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．3．已知一元二次方程有一个根为0，则．4．4的平方根是；若，则．5．利用平方根的意义解下列方程：（1）（2）（3）问题2解方程：（1）（2）（3）练习：解方程：（1）（3）（4）1．用直接开方法解方程得方程的根为()A．B．C．D．2．方程的解为；方程的解为．3．已知关于的一元二次方程有一个根为0，则=__________．4．解下列方程：（1）（2）（3）
（4）（5）（1）当为何值时，方程一元二次方程或方程有解？
