智慧广场-排列问题n教学内容教材第113-114页，智慧广场-排列问题n教学提示本信息窗呈现的是3个同学排成一列照相的现实情境，以图文结合的形式提供数学信息，进而提出“有多少种不同的排法”的问题，展开对“排列”问题的研究。通过本信息窗的学习，学生认识和了解简单的排列问题，让学生通过“杂乱、具体—有序、抽象”的思考，体会解决问题策略的多样性，掌握有序地、全面地思考和解决问题的策略和方法。n教学目标知识与能力在“3人排列照相，有几种排法”的问题情境中，利用已有经验认识和了解简单的“排列”,掌握解决问题的策略和方法，体会解决问题策略的多样性。过程与方法通过摆一摆，写一写，说一说，想一想等活动，发展观察观察、分析及推理能力,能有序地、全面地思考问题，渗透数形结合的思想方法。情感、态度与价值观经历数学规律的形成过程，尝试用数学的方法来解决生活中的实际问题,感受数学在现实生活中的广泛应用。n重点、难点重点掌握解决“排列问题”，培养学生思维的有序性。难点根据需要引导总结排列规律。n教学准备
教师准备：多媒体课件，学具卡片。学生准备：学具卡片，自主学习记录单。n教学过程（一）新课导入：创设情境，激趣导入师:同学们，我们上学、放学、做操经常排队,你知道吗,排队也有很多有趣的数学问题。今天我们就一起来探讨一下关于排队的问题：排列（板书课题）不只是排队，在我们的生活中处处都有排列，就像我们几个好朋友拍照留念，也蕴含着排列的问题。师：小冬、小华、小平三人外出游玩时也想合影留念，他们遇到了什么问题呢？我们一起来看看，（出示课件）。师：小冬、小华、小平三人排成一行照相，有多少种不同的排法？假如你是摄影师，能帮助他们解决这个问题吗？设计意图：从学生的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。以解决排队照相的问题引入新课，极大的激发了学生的学习兴趣和积极性，使教学过程成为一种学生渴望的探索过程。（二）探究新知：1.探究3人排队的排列的方法，寻找排列的规律。师:我想给这两位同学合张影，让他们站成一行照相会有几种排列方法？生2:因为一左一右，可以交换每个人的位置。
师:如果是三个人站成一行拍照，又会有多少种不同的排列方法吗？下面请同学们先独立思考，然后小组合作共同解决这个问题。（课件出示）温馨提示：老师为每组准备了充足的卡片，大家根据需要可以选择卡片摆一摆，记录员把研究的结果进行记录、整理。小组活动，教师巡视。师：老师发现同学们每组的研究都很投入，下面，我们一起来展示交流，看看这一小组的研究结果。学生出现的情况预设（1）利用手中的磁力贴表示三个同学。（2）利用不同的图形表示三个同学。（3）用三个数字表示三个同学。（4）用符号表示三个同学。在交流方法的过程中可能会出现：无序的排列或有序的排列。当学生展示有序的排列时，要求学生说出自己的思路，并用学具展示给大家。2.总结规律和方法。（1）师：同学们解决问题的方法真不少，给自己点个赞吧。通过大家的交流发现可以有6种不同的排法，在交流的过程中，有的同学的不够6种，这是怎么回事呢？师：你认为怎样排既不重复又不遗漏呢?同学们可以写一写、画一画进行你们独特的创意或排法，看谁想的办法最多最好，好不好？开始。生1:先把A排在第一的位置,其余两个人调换一次位置；再将B排在第一的位置,其余两个人调换一次位置；最后将C排在第一的位置......
生2:也可以先把B放在第一的位置,其余两人调换位置,有2种排法;再把B放在第二的位置，A和C再调换位置,有2种排法;最后把B放在第三的位置,A与小C换位置，又有2种排法。这样共有6种排法。生3:我只想一组就知道了。先把A放在第一的位置,B与C调换位置,有2种排法,依此推想,另两人也分别有2种排法。因此,共有2×3=6种排法。嗯，你们小组很有创意，非常注意提高自己的学习效率。师:同学们的想法又多又好,不仅思考得很有条理,并且能清楚（2）先确定位置，再进行简单的排列师：假如我们班参加学校组织的艺术节活动，组织一个小合唱，现在有四位同学A、B、C、D要排成一行表演小合唱，D同学要担任领唱，为了让他靠近麦克风，需要把它安排在左起的第二个位置，其余的同学任意排。想一想有多少种排法？生：D同学担任领唱,先确定她的位置,再研究其他三名同学的排列顺序。然后放手让学生自主解决,通过交流明白排列的规律。师：完成没有？师：谁来回答一下？生：我是先固定D的位置，然后排列ABC，最后得出了6种排法。同学们有不同意见吗？师：咦？刚才三个人排队出现了6种排法，四个人排队应该出现更多的情况，可为什么你们却还是出现了6种排法，这是为什么呀？生：因为固定了一个同学的位置，其实还是三个人在排队，所以依然是6种。师：哦，老师明白了，谢谢你的解释。那老师如果不想固定D的位置，而是想让他们自由地排成一行进行表演，那又会出现多少种排法呢？
学生再次小组合作，并进行讨论、交流，老师巡视指导。哪个小组来展示一下你们的成果？组1：我们是先让A排在第一，然后排列BCD的位置，得出了6种排法。其余的就不排也知道了都是6种，一共4个人，所以会出现24种排法。组2：我们小组是进行的分工，每个同学都分别排ABCD在第一的位置，然后综合起来互相检验，最后总结出24种排法。……师：你们真聪明，想出了这么多的好方法，而且都说出了自己的道理，希望以后继续下去。师：同学们，看来不管从哪个角度来思考，都要按照一定的规律进行有序的思考，只要大家掌握了有序排列的方法，就能确保写出的结果不遗漏，不重复。板书：有序不遗漏不重复。设计意图：活动中采用摆卡片的方式引领学生探究事物的排列规律，在学生逐步从感性认识上升到理性认识思考的同时，渗透数形结合的数学思想方法。学生对算式的认识、理解只是停留在表层的，这里借助课件展示提炼出“3×2=6”的实质，帮助学生真正从排列问题的本质思考，打开思维空间。（三）巩固新知：师：其实，在我们的生活中也会经常用到简单的排列（课件出示：密码的设置，电话号码、车牌号、彩票上的数字……）请同学们想想还有什么时候会用到？学生回答预设：买票排队、放学排队、银行卡的号……师：在我们的生活中处处有数学，只要同学们注意观察。下面我们就用我们今天学到的数学知识解决一些生活的问题。
1.自主练习13个同学排成一行跳舞，可以有多少种排法？要求：不仅知道有6种排法，鼓励学生有规律的说出具体的6种排法。2.自主练习3 理解题意是关键，我们用A、B、C分别代替3种灯笼，AABBCCAACCBBBBAACCBBCCAACCAABBCCBBAA,引导学生总结挂6只灯笼和3只灯笼的思路是一样的，有6种不同的挂法。强调：解决问题时要先认真分析才能确保方法的有效性。3.自主练习4 引导学生理解题意，用符号表示，分别用A、B、C、D来表示，B表示丁刚，排在左起第二位不动，把A、C、D按顺序排列，一共有6种不同的方法。引导学生发现，虽然是4个人排列，但变换位置的还是3个人，一共有6种。看来解决问题不能只看表面，还要深入思考。 4.自主练习6（1）让学生先读题，分析题意。 （2）独立完成 （3）全班集体交流谈话：发现有什么规律？设计意图：从摆到想，思维层次逐步的提高。由直观表象到抽象，学生在想的过程中能借助头脑中的表象进行思考。在想与说的过程中，又一次感悟到有序排列的重要性，发展学生的思维能力。（四）达标反馈l.用8、2、5三个数字，可以组成哪几个不同的三位数？（每个数字只用一次）
2.用0、2、5三个数字，可以组成多少个不同的三位数？（每个数字只用一次）3.用0、8、2、5四个数字，可以组成多少个不同的四位数？（每个数字只用一次）4.用1、8、2、5，四个数字，可以组成多少个不同的四位数呢？（每个数字只用一次)答案：1.62.43.184.24（五）课堂小结师：同学们，这一节课就要结束了，通过今天的学习，你有哪些收获？学生交流自己的收获。师：探究是永无止境的，如果在以后的学习中大家都能像今天这样思考问题、解决问题，一定会有更多的收获！设计意图：通过回顾整理，学生不仅梳理了知识上的收获，并且初步体会了数学研究的大致过程，对学生渗透了数学方法解决问题的程序。（六）布置作业1.用3，5，7，9排成不重复的四位数，使它是5的倍数，共有（ ）种不同的排法．A．3B．4C．5D．62.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ）A．6种B．9种C．18种D．24种3.记者要为4名志愿者和他们帮助的1位老人拍照，要求排成一排，且老人必须排在正中间，那么不同的排法共有（ ）A．120种B．72种C．56种D．24种
4.把A、B、C排成一排，有多少种不同的排法？5.有红黄绿三面旗子，它们不同的排法表示不同的信号，最多可以表示多少种信号？分别是什么排法?6.用下面四个数字卡片摆出不同的四位数，有种摆法，按从大到小的顺序排一排：．答案：1.D2.C3.D4.解：把A、B、C排成一排的排法有：ABC，ACB；BAC，BCA；CAB，CBA一共有6种不同的排法。答：一共有6种不同的排法。5.解：这三面旗子的排法有：红黄绿，红绿黄；黄红绿，黄绿红；绿红黄，绿黄红一共有6种排法，表示6种不同的信号。6.解：千位上是9,9300、9030、9003，千位上是3,3900、3090、3009，所以共有6种摆法，按从大到小的顺序排列为：9300＞9030＞9003＞3900＞3090＞3009n板书设计
排列问题有序不遗漏不重复按照一定的顺序，把所有的可能一一列举出来，最终找到所有答案的方法，在数学上叫作列举法。n教学资料包教学精彩片段创设情境导入师：同学们，六年级的同学在毕业时，好多同学为了跟同学留念，想和自己喜欢合影留念。出示图画：你有什么发现？师：在拍照时，小华和小冬不经意间按顺序不同的方法排成了一排，这种方法就是我们要学的新的数学知识——排列。（板书：排列）这时又有一个同学跑了过来，如果她们三个想要排成一行合影留念，有几种排法呢？设计意图：以“照相”这一情景学生感兴趣的素材导入新课，激发学生的学习兴趣，有利于充分地利用学生已有的生活经验，吸引学生主动参与的活动。教学资源有A、B、C、D、E、F、G七人排成一排。（1）一共有多少种排法？（2）若A必须排在最左边，有多少种排法？（3）若A、B必须排在两边有多少排法？解答：（1）7×6×5×4×3×2×1=5040（种）（2）6×5×4×3×2×1=720（种）
（3）2×5×4×3×2×1=240（种）答：（1）一共有5040种排法。（2）若A必须排在最左边，有720种排法。（3）若A、B必须排在两边有240排法。资料链接加法原理和乘法原理 导言： 加法原理和乘法原理，是排列组合中的二个基本原理，在解决计数问题中经常运用。把握这两个原理，并能正确区分这两个原理，至关重要。 一、概念 （一）加法原理 如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。 例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法。（二）乘法原理 如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。 例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？ 解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。 选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法 选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法 选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法 单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理 所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数二、加法原理和乘法原理的区别 什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。三、加乘法原理的综合应用有时候，做某件事有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成。在计算做这件事的方法时，既要用到加法原理，也要用到乘法原理，这就是加乘法原理的综合应用。例：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走，那么，从甲地到丙地共有多少种走法？
解析：从甲地到丙地共有两大类不同的走法：可以直接从甲地到丙地，也可以从甲地先到乙地再到丙地，选择任何一类方法，都可以从甲地到丙地，符合加法原理；而在第二类方法中（即从甲地先到乙地再到丙地），又分两步完成：第一步从甲地先到乙地，有4种走法，第二步再从乙地到丙地，有2种走法，这里的任何一种方法都不能完成从甲地到丙地这件事，符合乘法原理，这时共有4×2=8种走法。 所以从甲地到丙地总的走法=第一类方法+第二类方法 =3+4×2=11（种） 四、加法原理和乘法原理的应用 例1．（数字排列问题）用数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解析：组成一个三位数，要分三个步骤，先选百位数，再选十位数，最后选个位数，使用乘法原理 5×4×3=60（个） 例2．（数字排列问题）一种电子表6点24分30秒时，显示数字是：6:2430，那么从8点到9点这段时间里，此表5个数字都不相同的情况一共有多少种？ 解析：在8点到9点间，电子表的第一位数字肯定8，在这段时间内是固定不变的，可以不考虑；第2位和第4位的取值范围只能是0、1、2、3、4、5，第3位和第5位只能从0、1、2、3、4、5、6、7、9。题中要求5个数字各不相同。所以我们要分开来考虑：①第2位到第5位只取0----5中的数，有6×5×4×3=360种情况②第2位和第4位只取0---5中的数，而第3位和第5位只取6、7、9中的数，有6×5×3×2=180种情况③第2位、第3位和第4位只取0---5中的数，第5位只取6、7、9中的数，有6×5×4×3=360种情况④第2位、第4位和第5位只取0---5中的数，第3位只取6、7、9中的数，有6×5×4×3=360种情况所以，此表在8到9点间5个数字不同的情况共有：360+180+360+360=1260种 例3．（数字排列问题）从1到400的所有自然数中，不含数字3的自然数有多少个？
解析：在一位数前面添两个零，如把2写成002；在两位数前面添一个零，如把12写成012，这样，1—400中的数全成了“三位数”了，除去数字400外，考虑不含数字“3”的这样的“三位数”的个数，分三步考虑：百位、十位、个位上不含数字“3”，符合乘法原理。百位上可取0、1、2，有三种取法；十位上都可取0、1、2、4、5、6、7、8、9，有9种取法；个位与十位情况一样，也有9种取法。根据乘法原理，这样的数有：3×9×9=243（个）。数“000”不合要求，另外还需要补上符合要求的数“400”，所以不含数字“3”的自然数有：243-1+1=243（个）；（提示：这243个数中，有首位是“0”的，把“0”删掉，就成了一位数和两位数，不影响最后的个数。） 例4．（站队排列问题）有6个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？ 解析：6人中任何一位的位置换了，就是一种站法。把这6个位置用字母表示为：A、B、C、D、E、F。要排成一排，要分六步，依次排A、B、C、D、E、F这六个位置，使用乘法原理；A位置中有6种站法，B位置中就只剩5种站法、、、、、如此下去，F位置上就只剩1种站法，根据乘法原理，总的站法是：6×5×4×3×2×1=720种不同的站法 思考：看看下题与例4有何区别，又如何解答 A、B、C、D、E5人排成一排，如果C不站在中间，一共有多少有种不同的排法？ 例5．（取物排列问题）有5件不同的上衣，3条不同的裤子，4顶不同的帽子，从中取出一顶帽子、一件上衣和一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的装束？ 解析：要完成一套装束要分三步完成，先取帽子，再取上衣，最后取裤子，而每一步分别有4、5、3种不同的方法，根据乘法原理，共有4×5×3=60种不同的装束 例6．（信号排列问题）有5面颜色不同的小旗，任意取3面排成一行表示一种信号，问：一共可以表示多少种不同的信号？ 解析：一种信号上有三个位置，要完成一种信号要分三步选好这三个位置上的小旗。而每个位置上依次有5、4、3种不同的选小旗的选法，根据乘法原理，一共可以表示：5×4×3=60种不同的信号。 例7．（涂色问题）如图，用红、绿、蓝、黄四色去涂编号为1、2、3、4号的长方形，要求任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？解析：要分4种情况考虑： ①1、2、3、4号长方形颜色都不相同，根据乘法原理，有4×3×2×1=24种涂法
②只有1、4号长方形同色，有4×3×2=24种 ③只有2、3号长方形同色，有4×3×2=24种 ④2、4和1、3号长方形分别同色，有4×3=12种 最后用加法原理 共有24+24+24+12=84种不同的涂法 例8．深圳市的电话号码全是8位数，若前3位只能用1----9这9个数字，则深圳市可以安装多少台不同的电话号码的电话？ 解析：要确定一个电话号码，就必须确定8位数上各个位置的数字，要分八个步骤完成。使用乘法原理。根据题目要求，先确定电话号码前3位数字的取法，由于数字可以重复，前3位上的每一位置上都可以取1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数，各有9种取法。电话号码中的后5位的每一个位置上都可以取0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，各有10种取法。根据乘法原理，共有不同的电话号码的电话：9×9×9×10×10×10×10×10=72900000台 例9．（棋子排列问题）如图，现在要把A、B、C、D、E5个棋子放在方格里，每行和每列只能出现一个棋子，一共有多少种放法？
解析：要将5个棋子放入格子中，要分5步完成。第一步先放A，有5×5=25个方格就有25种不同的放法；第二步放B，对应A的放法，由于不能在同一行与同一列，B放的行数和列数都会减少1，所以只能放在4×4=16个格子里，有16种放法；同理可推出，第三步放C，有3×3=9种放法；第四步放D，有2×2=4种放法；第五步放E，有1×1=1种放法。根据乘法原理。总的放法有：25×16×9×4×1=14400种
