第一章特殊平行四边形一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( )A.B.C.D.第2题图第3题图3．如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于( )A．40°B．50°C．80°D．100°4．正方形ABCD的面积为36，则对角线AC的长为( )A．6B．6C．9D．95．下列命题中，真命题是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形7．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，周长是16，则菱形的面积是( )A．16B．16C．16D．8第7题图第9题图第10题图8．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为( )A．4B．6C．8D．1010．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥AB7\n.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是________．12．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，则∠AFC＝________．第12题图第14题图13．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件____________使其成为一个菱形(只添加一个即可)．14．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为____________．第15题图第16题图16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形．17．如图，已知双曲线y＝(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为6，则k＝________．第17题图第18题图18．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.若AB＝6，BC＝10，则FD的长为________．三、解答题19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．7\n20.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．21．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)判断△CEF的形状，并说明理由．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．7\n23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点E为BC的中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求∠CHA的度数．24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(提示：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半)(1)试判断线段BD与CD的大小关系；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；(3)若△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°时，判断四边形AFBD的形状，并说明理由.参考答案一、选择题7\n1．B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C10．D 解析：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF为矩形，故②正确；若AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF为菱形，故③正确；若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四边形AEDF为菱形，故④正确，则其中正确的个数有4个．故选D.二、填空题11．菱形 12.112.5° 13.AC⊥BD(答案不唯一)14．90 15.(2＋，) 16.17．6 解析：设F，则B，因为S矩形ABCO＝S△OCE＋S△AOF＋S四边形OEBF，所以k＋k＋6＝a·，解得k＝6.18. 解析：连接EF，∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE＝EG，BG＝AB＝6，∴ED＝EG.∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°.在Rt△EDF和Rt△EGF中，∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL)，∴DF＝FG.设DF＝x，则BF＝BG＋GF＝6＋x，CF＝CD－DF＝6－x.在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即102＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得x＝.即DF＝.三、解答题19．证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°.在△ABM与△ADN中，∴△ABM≌△ADN，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．20．解：(1)如图所示，EF为所求直线．(2)四边形BEDF为菱形．理由如下：∵EF垂直平分BD，∴BF＝DF，BE＝DE，∠DEF＝∠BEF.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF.∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF为菱形．7\n21.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，∴BE＝BF，∠EBC＋∠FBC＝90°.又∵∠ABF＋∠FBC＝90°，∴∠ABF＝∠CBE.在△ABF和△CBE中，有∴△ABF≌△CBE(SAS)．(2)解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°.又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°，∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，∴△CEF是直角三角形．22．(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AE平分∠CAM，∴∠CAE＝∠EAM，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形．(2)解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE为正方形．证明如下∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝CD.又∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．23．解：(1)连接AC，BD，并且AC和BD相交于点O.∵AE⊥BC且E为BC的中点，∴AC＝AB.∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD＝DC，AC⊥BD∴△ABC和△ADC都是正三角形，∴AB＝AC＝4.∴AO＝AC＝2，∴BO＝＝2，∴BD＝4，∴菱形ABCD的面积是AC·BD＝8.(2)∵△ADC是正三角形，AF⊥CD，∴∠DAF＝30°.∵CG∥AE，BC∥AD，AE⊥BC，∴四边形AECG为矩形，∴∠AGH＝90°，∴∠AHC＝∠DAF＋∠AGH＝120°.24．解：(1)BD＝CD.∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠CDE.∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(ASA)，∴AF＝CD.∵AF＝BD，∴BD＝CD.(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．(3)四边形AFBD为菱形，理由如下：∵∠BAC＝90°，BD＝CD，∴BD＝AD.7\n同(2)可得四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是菱形．7
