期中试卷（1）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下面的图形中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（ ）A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，23．（3分）将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）A．y=（x+1）2﹣13B．y=（x﹣5）2﹣3C．y=（x﹣5）2﹣13D．y=（x+1）2﹣34．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（ ）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．（3分）方程（x﹣1）（x+1）=1﹣x的解是（ ）A．x=1B．x=﹣1C．x=1或x=﹣2D．x=﹣1或x=﹣26．（3分）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）A．y=2a（x﹣1）B．y=2a（1﹣x）C．y=a（1﹣x2）D．y=a（1﹣x）27．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y28．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞027\n④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个9．（3分）某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）A．y=﹣（x﹣）2+3B．y=﹣3（x+）2+3C．y=﹣12（x﹣）2+3D．y=﹣12（x+）2+310．（3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（ ）A．B．6C．D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11．（3分）二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（ ， ）．12．（3分）已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m= ．27\n13．（3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于 度．14．（3分）若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= ．15．（3分）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，求修建的路宽．设路宽为xm，可列方程 ．16．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= ．17．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且经过点P（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ．18．（3分）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的对应值如下表：x﹣3﹣2﹣101234y60﹣4﹣6﹣6﹣406则使y＜0的x的取值范围为 ． 三、解答题（一）：本大题共5小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19．（8分）按要求解一元二次方程：（1）x2﹣10x+9=0（配方法）（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）20．（8分）选择适当的方法解方程：（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）．（2）2x2﹣3x+1=0．21．（6分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△27\nABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1，再作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2．（2）点B1的坐标为 ，点C2的坐标为 ．22．（5分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式；（2）求该二次函数图象与y轴的交点坐标．23．（6分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 四、解答题（二）：本大题共5小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.24．（6分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将解析式化为y=（x﹣h）2+k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．25．（6分）已知关于x的方程mx2+x+1=0，试按要求解答下列问题：（1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．27\n26．（7分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．27．（6分）阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax4+bx2+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设x2=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay2+by+c=0，解出y之后代入x2=y，从而求出x的值．例如解：4x4﹣8y2+3=0解：设x2=y，则原方程可化为：4y2﹣8y+3=0∵a=4，b=﹣8，c=3∴b2﹣4ac=﹣（﹣8）2﹣4×4×3=16＞0∴y==∴y1=，∴y2=∴当y1=时，x2=∴x1=，x2=﹣；当y1=时，x2=∴x3=，x4=﹣小试牛刀：请你解双二次方程：x4﹣2x2﹣8=0归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是 （选出所有的正确答案）①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③当b2﹣4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；④27\n原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．28．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中，直线AC分别交坐标轴于A，C（8，0）两点，AB∥x轴，B（6，4）．（1）求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+4的表达式；（2）点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；（3）若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△AMC的面积最大？求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积． 27\n参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下面的图形中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（ ）A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，2【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得x2﹣3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+27\nc=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3．（3分）将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）A．y=（x+1）2﹣13B．y=（x﹣5）2﹣3C．y=（x﹣5）2﹣13D．y=（x+1）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），再利用点平移的规律得到把点（2，﹣8）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．【解答】解：因为y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，所以抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2﹣3．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（ ）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】先计算判别式的值，然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=a2+4＞0，∴，方程有两个不相等的两个实数根．故选D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△27\n=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5．（3分）方程（x﹣1）（x+1）=1﹣x的解是（ ）A．x=1B．x=﹣1C．x=1或x=﹣2D．x=﹣1或x=﹣2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项，再提公因式即可．【解答】解：（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）=0，（x﹣1）（x+1+1）=0，（x+2）（x﹣1）=0x+2=0或x﹣1=0，x=﹣2或1，故选C．【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握提公因式的方法是解题的关键． 6．（3分）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）A．y=2a（x﹣1）B．y=2a（1﹣x）C．y=a（1﹣x2）D．y=a（1﹣x）2【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．【解答】解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．则函数解析式是y=a（1﹣x）2．故选D．【点评】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 7．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．27\n【专题】计算题．【分析】分别计算x=﹣4、﹣3、1时的函数值，然后比较大小即可．【解答】解：当x=﹣4时，y1=（﹣4）2+4×（﹣4）﹣5=﹣5；当x=﹣3时，y2=（﹣3）2+4×（﹣3）﹣5=﹣8；当x=﹣1时，y3=12+4×1﹣5=0，所以y2＜y1＜y3．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 8．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．27\n【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 9．（3分）某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）A．y=﹣（x﹣）2+3B．y=﹣3（x+）2+3C．y=﹣12（x﹣）2+3D．y=﹣12（x+）27\n2+3【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】待定系数法求解可得．【解答】解：根据题意设函数解析式为y=a（x﹣）2+3，将点（0，0）代入，得：a+3=0，解得：a=﹣12，∴函数解析式为y=﹣12（x﹣）2+3，故选：C．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 10．（3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（ ）A．B．6C．D．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．【解答】解：连接BC′，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′=AB′=3，在Rt△AB′C′中，AC′==3，∴BC′=3﹣3，在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3﹣3，27\n在直角三角形OBC′中，OC=（3﹣3）=6﹣3，∴OD′=3﹣OC′=3﹣3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11．（3分）二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（ 2 ， ﹣7 ）．【考点】二次函数的性质．【分析】先把y=x2﹣4x﹣3进行配方得到抛物线的顶点式y=（x﹣2）2﹣7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣3=x2﹣4x+4﹣7=（x﹣2）2﹣7，∴二次函数y=x2﹣4x+7的顶点坐标为（2，﹣7）．故答案为（2，﹣7）．【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 12．（3分）已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m= 2 ．【考点】根的判别式．【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×（m﹣1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2=0，∴m=2，故答案为：2．27\n【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 13．（3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于 35 度．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的意义，找到旋转角∠BOD；再根据角相互间的和差关系即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，∴∠BOD=80°，∵∠AOB=45°，则∠AOD=80°﹣45°=35°．故填35．【点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．注意∠AOD=∠BOD﹣∠AOB． 14．（3分）若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= 3 ．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2+6x+32=7+32，27\n配方，得（x+3）2=16．所以，m=3．故答案为：3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方． 15．（3分）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，求修建的路宽．设路宽为xm，可列方程 （30﹣x）（20﹣x）=551 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】应用题．【分析】可以用平移的知识假设把路移动边上，那么余下耕地部分的长和宽可表示出来，设路宽为xm，根据面积可列出方程．【解答】解：设路宽为xm，那么余下耕地的长为（30﹣x），宽为（20﹣x），根据面积可列出方程．（30﹣x）（20﹣x）=551．故答案为：（30﹣x）（20﹣x）=551．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是余下耕地的长和宽表示出来，然后根据面积可列出方程． 16．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= 6 ．【考点】一元二次方程的解．【专题】推理填空题．27\n【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m2﹣2m=3，∴2m2﹣4m=6，故答案为：6．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 17．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且经过点P（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （﹣1，0） ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线的对称性和P（3，0）为x轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标．【解答】解：由于函数对称轴为x=1，而P（3，0）位于x轴上，则设与x轴另一交点坐标为（m，0），根据题意得：=1，解得m=﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），故答案是：（﹣1，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，要知道，抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称． 18．（3分）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的对应值如下表：x﹣3﹣2﹣101234y60﹣4﹣6﹣6﹣406则使y＜0的x的取值范围为 ﹣2＜x＜3 ．【考点】二次函数的图象．27\n【专题】压轴题；图表型．【分析】由表中数据可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣2，0）、（3，0），然后画出草图即可确定y＜0的是x的取值范围．【解答】解：由表中数据可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣2，0）、（3，0），画出草图，可知使y＜0的x的取值范围为﹣2＜x＜3．【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，顶点坐标及对称轴，利用对称性解答． 三、解答题（一）：本大题共5小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19．（8分）按要求解一元二次方程：（1）x2﹣10x+9=0（配方法）（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：（1）x2﹣10x+9=0（配方法）（x﹣5）2=16，∴x﹣5=4或x﹣5=﹣4，∴x1=9或x2=1．（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）（x﹣2）（x+1）=0，27\n∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2或x2=﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解的方法和配方的方法是解本题的关键． 20．（8分）选择适当的方法解方程：（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）．（2）2x2﹣3x+1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）方程移项后，左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）．（x﹣3）（3x﹣2）=0，∴x﹣3=0或3x﹣2=0，∴x1=3或x2=．（2）2x2﹣3x+1=0．（x﹣1）（2x﹣1）=0，∴x﹣1=0或2x﹣1=0，∴x1=1或x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解． 21．（6分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1，再作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2．27\n（2）点B1的坐标为 （﹣2，﹣3） ，点C2的坐标为 （3，1） ．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用（1）中所画图形，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示△AB1C1，△A1B2C2，即为所求；（2）如图所示：B1（﹣2，﹣3），C2（3，1）；故答案为：（﹣2，﹣3），（3，1）．【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 22．（5分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式；（2）求该二次函数图象与y轴的交点坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据顶点A（﹣1，4），可设二次函数关系式为y=a（x+1）2+4（a≠0），然后代入B的坐标求得a的值，从而求得函数的解析式；27\n（2）在二次函数的解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标，从而求得与y轴的交点坐标．【解答】解：（1）由顶点A（﹣1，4），可设二次函数关系式为y=a（x+1）2+4（a≠0）．∵二次函数的图象过点B（2，﹣5），∴点B（2，﹣5）满足二次函数关系式，∴﹣5=a（2+1）2+4，解得a=﹣1．∴二次函数的关系式是y=﹣（x+1）2+4；（2）令x=0，则y=﹣（0+1）2+4=3，∴图象与y轴的交点坐标为（0，3）．【点评】此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，抛物线与y轴的交点，以及坐标与图形性质，灵活运用待定系数法是解本题的关键． 23．（6分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．27\n【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.24．（6分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将解析式化为y=（x﹣h）2+k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．【考点】二次函数的三种形式．【分析】（1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可；（2）令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）y=（x2﹣2x+1）﹣4=（x﹣1）2﹣4；（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴这条抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式以及求抛物线与x轴的交点坐标，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 25．（6分）已知关于x的方程mx2+x+1=0，试按要求解答下列问题：（1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】（1）将x=1代入方程得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；（2）由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解答】解：（1）将x=1代入方程得：m+1+1=0，解得：m=﹣2；（2）由方程有两个不相等的实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＞0，且m≠0，27\n解得：m＜且m≠0．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 26．（7分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）．（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4．27\n设P（x，y），则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10，∴|y|=5，∴y=±5．①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 27．（6分）阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax4+bx2+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设x2=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay2+by+c=0，解出y之后代入x2=y，从而求出x的值．例如解：4x4﹣8y2+3=0解：设x2=y，则原方程可化为：4y2﹣8y+3=0∵a=4，b=﹣8，c=3∴b2﹣4ac=﹣（﹣8）2﹣4×4×3=16＞0∴y==∴y1=，∴y2=∴当y1=时，x2=∴x1=，x2=﹣；当y1=时，x2=∴x3=，x4=﹣小试牛刀：请你解双二次方程：x4﹣2x2﹣8=0归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是 ①②③④ 27\n（选出所有的正确答案）①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③当b2﹣4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；④原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．【考点】换元法解一元二次方程．【专题】阅读型．【分析】先设y=x2，则原方程变形为y2﹣2y﹣8=0，运用因式分解法解得y1=﹣2，y2=4，再把y=﹣2和4分别代入y=x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④．【解答】解：x4﹣2x2﹣8=0设y=x2，则原方程变为：y2﹣2y﹣8=0．分解因式，得（y+2）（y﹣4）=0，解得，y1=﹣2，y2=4，当y=﹣2时，x2=﹣2，x2+2=0，△=0﹣4×2＜0，此方程无实数解；当y=4时，x2=4，解得x1=﹣2，x2=2，所以原方程的解为x1=﹣2，x2=2．根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④；故答案为①②③④．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解． 28．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中，直线AC分别交坐标轴于A，C（8，0）两点，AB∥x轴，B（6，4）．（1）求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+4的表达式；（2）点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；（3）若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△27\nAMC的面积最大？求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用待定系数法就可求出过B，C三点的抛物线的表达式．（2）若四边形BCPQ为平行四边形，则有BQ=CP，从而建立关于t的方程，就可求出t的值．（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，设点M的横坐标为m，由S△AMC=S△AMN+S△CMN=MN•OC可以得到S△AMC=﹣（m﹣4）2+16．然后利用二次函数的最值性就可解决问题【解答】解：（1）如图1，∵过B（6，4），C（8，0）两点的抛物线y=ax2+bx+4．∴，解得．∴过B、C三点的抛物线的表达式为y=﹣x2+x+4（2）如图2，由题可得：BQ=6﹣t，CP=t．当BQ∥CP且BQ=CP时，四边形BCPQ为平行四边形．∴6﹣t=t．解得：t=3．（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，如图3，设直线AC的解析式为y=kx+4，则有8k+4=0．解得：k=﹣．27\n∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．设点M的横坐标为m，则有yM=﹣m2+m+4，yN=﹣m+4．∴MN=yM﹣yN=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m．∴S△AMC=S△AMN+S△CMN=MN•OC=×（﹣m2+2m）×8=﹣m2+8m=﹣（m﹣4）2+16．（0＜m＜8）∵﹣1＜0，∴当m=4时，S△AMC取到最大值，最大值为16，此时点M的坐标为（4，6）．27\n【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及一次函数的解析式、二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，三角形的面积，有一定的综合性，解本题的关键是掌握坐标系中，求三角形的面积的方法．27
