第24章圆测试卷（3）一、选择题1．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）A．90°B．120°C．150°D．180°2．已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为（ ）A．4πB．8πC．12πD．16π3．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）A．2πcmB．1.5cmC．πcmD．1cm4．如图是一个圆锥体的侧面展开图，它的弧长是8π，则圆锥体的底面半径是（ ）A．8B．4C．2D．15．一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（ ）A．60°B．90°C．120°D．180°6．用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（ ）A．3B．C．2D．7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）19\nA．πB．2πC．3πD．4π8．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A．B．C．D．9．若一个圆锥的侧面积是10，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（ ）A．B．C．D．10．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ=，则该圆锥的侧面积是（ ）A．24B．24πC．16πD．12π11．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）A．60°B．90°C．120°D．180°12．圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）19\nA．3cmB．6cmC．9cmD．12cm13．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（ ）A．90πcm2B．209πcm2C．155πcm2D．65πcm2 二、填空题14．用一个圆心角为90°半径为32cm的扇形作为一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面圆的半径为 cm．15．已知圆锥底面圆的半径为6cm，它的侧面积为60πcm2，则这个圆锥的高是 cm．16．如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具，那么这个教具的用纸面积是 cm2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）．17．一个圆锥的母线长为6，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．18．圆锥的母线长为6cm，底面周长为5πcm，则圆锥的侧面积为 ．19．高为4，底面半径为3的圆锥，它的侧面展开图的面积是 ．20．用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 cm．21．一个圆锥的侧面积是36πcm2，母线长12cm，则这个圆锥的底面圆的直径是 cm．22．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于 ．23．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 ．24．圆锥的底面半径是1，侧面积是2π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 ．25．已知圆锥的侧面积为15πcm2，底面半径为3cm，则圆锥的高是 ．26．将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，这个圆锥的高为 cm．27．已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 cm2．28．已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，则该圆锥的母线长是 ．19\n29．如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 cm． 三、解答题30．如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长． 19\n参考答案与试题解析一、选择题1．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）A．90°B．120°C．150°D．180°【考点】圆锥的计算．【分析】设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，利用弧长的计算公式即可求解．【解答】解：设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，则=2πr，解得：n=180°．故选D．【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 2．已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为（ ）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】圆锥的计算．【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【解答】解：底面周长是：2×2π=4π，则侧面积是：×4π×4=8π，底面积是：π×22=4π，则全面积是：8π+4π=12π．故选C．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 19\n3．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）A．2πcmB．1.5cmC．πcmD．1cm【考点】圆锥的计算．【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，解得：r=1cm．故选D．【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 4．如图是一个圆锥体的侧面展开图，它的弧长是8π，则圆锥体的底面半径是（ ）A．8B．4C．2D．1【考点】圆锥的计算；弧长的计算．【分析】根据弧长等于围成的圆锥的底面周长可以得到．【解答】解：设底面半径为r，根据题意得：2πr=8π，解得：r=4．故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解弧长等于围成的圆锥的底面周长．19\n 5．一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（ ）A．60°B．90°C．120°D．180°【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】要求其圆心角，就要根据弧长公式计算，首先明确侧面展开图是个扇形，即圆的周长就是弧长．【解答】解：∵左视图是等边三角形，∴底面直径=圆锥的母线．故设底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，底面周长=2πr，侧面展开图是个扇形，弧长=2πr=，所以n=180°．故选D．【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 6．用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（ ）A．3B．C．2D．【考点】圆锥的计算．【分析】用到的等量关系为：圆锥的弧长=底面周长．【解答】解：设底面半径为R，则底面周长=2Rπ，半圆的弧长=×2π×6=2πR，∴R=3．故选A．【点评】本题利用了圆的周长公式，弧长公式求解． 7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）19\nA．πB．2πC．3πD．4π【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．【专题】计算题．【分析】先根据三视图得到该几何体为圆锥，并且圆锥的底面圆的半径为1，高为3，然后根据圆锥的体积公式求解．【解答】解：根据三视图得该几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为1，高为3，所以圆锥的体积=×π×12×3=π．故选A．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 8．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A．B．C．D．【考点】圆锥的计算．【分析】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．19\n【解答】解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD=OC=OA，由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°∴弧AB的长为=2π设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2π∴r=1cm∴圆锥的高为=2故选A．【点评】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形． 9．若一个圆锥的侧面积是10，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（ ）A．B．C．D．【考点】圆锥的计算；反比例函数的应用．【分析】若一个圆锥的侧面积是10，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（ ）【解答】解：由圆锥侧面积公式可得l=，属于反比例函数．故选D．19\n【点评】考查了圆锥的计算及反比例函数的应用，解决本题的关键是利用圆锥的侧面积公式得到圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系． 10．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ=，则该圆锥的侧面积是（ ）A．24B．24πC．16πD．12π【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】先根据正弦的定义计算出圆锥的半径=2，然后根据扇形的面积公式求圆锥的侧面积．【解答】解：∵sinθ=，母线长为6，∴圆锥的底面半径=×6=2，∴该圆锥的侧面积=×6×2π•2=12π．故选D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 11．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）A．60°B．90°C．120°D．180°【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的4倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的4倍，19\n∴4πr2=πrR，∴R=4r，设圆心角为n，有=πR，∴n=90°．故选：B．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 12．圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求得母线长．【解答】解：圆锥的底面周长是：6πcm，设母线长是l，则lπ=6π，解得：l=6．故选B．【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（ ）A．90πcm2B．209πcm2C．155πcm2D．65πcm2【考点】圆锥的计算；点、线、面、体．【分析】根据圆锥的表面积=侧面积+底面积计算．【解答】解：圆锥的表面积=×10π×13+π×52=90πcm2．故选A．【点评】19\n点评：本题考查了圆锥的表面面积的计算．首先确定圆锥的底面半径、母线长是解决本题的关键． 二、填空题14．用一个圆心角为90°半径为32cm的扇形作为一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面圆的半径为 8 cm．【考点】圆锥的计算．【分析】半径为32cm，圆心角为90°的扇形的弧长是=16π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是16π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=16π，求出r的值即可．【解答】解：∵=16π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，∴圆锥的底面周长是16πcm，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=16π，解得：r=8（cm）．故答案为：8．【点评】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 15．已知圆锥底面圆的半径为6cm，它的侧面积为60πcm2，则这个圆锥的高是 8 cm．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】设圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则l•2π•6=60π，然后利用勾股定理计算圆锥的高．【解答】解：设圆锥的母线长为l，19\n根据题意得l•2π•6=60π，解得l=10，所以圆锥的高==8（cm）．故答案为8．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理． 16．如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具，那么这个教具的用纸面积是 300π cm2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）．【考点】圆锥的计算．【分析】首先求得底面周长，然后根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：底面半径是：15cm，则纸面积是：20×15π=300πcm2．故答案是：300π．【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 17．一个圆锥的母线长为6，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是 2 ．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可．【解答】解：∵母线为6，设圆锥的底面半径为x，∴圆锥的侧面积=π×6×x=12π．解得：x=2．故答案为：2．19\n【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练利用圆锥公式求出是解题关键． 18．圆锥的母线长为6cm，底面周长为5πcm，则圆锥的侧面积为 15πcm2 ．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积：S侧=•2πr•l=πrl，代入计算即可．【解答】解：S侧=•2πr•l=5π×6=15πcm2．故答案为：15πcm2．【点评】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是熟练记忆圆锥侧面积的计算方法． 19．高为4，底面半径为3的圆锥，它的侧面展开图的面积是 15π ．【考点】圆锥的计算；勾股定理．【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．【解答】解：∵圆锥的底面半径是3，高是4，∴圆锥的母线长为5，∴这个圆锥的侧面展开图的面积是π×3×5=15π．故答案为：15π．【点评】本题考查了圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积的计算公式是解决本题的关键． 20．用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 8 cm．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】根据圆的周长公式和扇形的弧长公式解答．【解答】解：如图：圆的周长即为扇形的弧长，列出关系式解答：=2πx，又∵n=216，r=10，∴（216×π×10）÷180=2πx，解得x=6，19\nh==8．故答案为：8cm．【点评】考查了圆锥的计算，先画出图形，建立起圆锥底边周长和扇形弧长的关系式，即可解答． 21．一个圆锥的侧面积是36πcm2，母线长12cm，则这个圆锥的底面圆的直径是 6 cm．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设底面半径为rcm，36π=πr×12，解得r=3cm底面圆的直径为2r=2×3=6cm，故答案为：6【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键熟练掌握是圆锥侧面积的计算公式． 22．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于 2π ．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．【解答】解：圆锥的侧面积=2×2π÷2=2π．故答案为：2π．【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式．熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键． 23．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 180° ．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．19\n【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=lr=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，有=πR=2πr，∴n=180°．故答案为：180．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 24．圆锥的底面半径是1，侧面积是2π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 180° ．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．【解答】解：∵侧面积为2π，∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×1×l=2π，解得：l=2，∴扇形面积为2π=，解得：n=180，∴侧面展开图的圆心角是180度．故答案为：180°．【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键． 25．已知圆锥的侧面积为15πcm2，底面半径为3cm，则圆锥的高是 4cm ．【考点】圆锥的计算．19\n【专题】计算题．【分析】圆锥的母线、底面半径、圆锥的高正好构成直角三角形的三边，求圆锥的高就可以转化为求母线长．圆锥的侧面的展开图是扇形，扇形的半径就等于母线长．【解答】解：侧面展开图扇形的弧长是6π，设母线长是r，则×6π•r=15π，解得：r=5，根据勾股定理得到：圆锥的高==4cm．故答案为4cm．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的母线，高，底面半径的关系，以及圆锥侧面展开图与圆锥的关系，是解题的关键． 26．将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，这个圆锥的高为 2 cm．【考点】圆锥的计算．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥高满足勾股定理，据此即可求得圆锥的高．【解答】解：设圆锥底面的半径是r，则2πr=4π，则r=2．则圆锥的高是：=2cm．故答案是：2．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 27．已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 65π cm2．【考点】圆锥的计算．【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的高为12cm，底面半径为5cm，∴圆锥的母线长为：=13cm，∴圆锥的侧面展开图的面积为：π×5×13=65πcm2．故答案为：65π19\n【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键；注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点． 28．已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，则该圆锥的母线长是 20 ．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．【解答】解：将l=10π，n=90代入扇形弧长公式l=中，得10π=，解得r=20．故答案为：20．【点评】本题考查了圆锥的计算．关键是体现两个转化，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长． 29．如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 3 cm．【考点】圆锥的计算．【分析】首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，然后利用勾股定理即可求得圆锥的高．【解答】解：圆心角是：360×（1﹣）=240°，则弧长是：=12π（cm），设圆锥的底面半径是r，则2πr=12π，解得：r=6，19\n则圆锥的高是：=3（cm）．故答案是：3．【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 三、解答题30．如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长．【考点】圆锥的计算．【分析】设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出母线与高的夹角的正弦值，也就求出了夹角的度数．【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则：πl=2πr，∴l=2r，∴母线与高的夹角的正弦值==，∴母线AB与高AO的夹角30°．【点评】此题主要考查了圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数．19
