数学活动——建立二次函数模型探究和解释一、活动导入1.活动导入:猜一猜下面的积中哪一个最大：91×99,92×98，…，98×92,99×91.这节课我们运用二次函数的知识探究和说明两数的积的最大值.（板书课题）2.活动目标：（1）探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律.（2）建立二次函数模型说明猜想的正确.（3）通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力.3.活动重、难点：重点：探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律，建立二次函数模型说明猜想的正确.难点：建模.二、活动过程活动1关于两数积的猜想与证明1.活动指导:（1）活动内容：教材第54页活动1.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①91×99=9009,92×98=9016,93×97=9021,94×96=9024,95×95=9025.②猜想：901×999，902×998，…，998×902,999×901中，哪个最大？950×950最大③证明：设第一个数是900+x，则第二个数是（1000-x）,设两数积为y.a.求y与x的函数关系式；y=(900+x)(1000-x)=-x2+100x+900000b.求y的最大值；y=-(x-50)2+902500,∴y的最大值为902500，此时x=50.c.你的猜想正确吗？2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会建立二次函数模型.②差异指导：对在建立二次函数模型方面有困难的学生进行指导.（2）生助生：同桌之间互相交流.4.强化：建立二次函数模型要点.活动2曲线L的形状1.活动指导：（1）活动内容：教材第54页活动2.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①按照课本的作图步骤在图中描点、连线：②观察你画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线？③对于曲线L上任意一点P，连接PM、PA，则线段PA与线段PM的关系为：PA=PM,设点P的坐标为（x,y）,则PA=，PM=|y|，由PA与PM的关系列等式，化简得.由此，点P在函数的图象上，即曲线L的形状是抛物线.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会建立二次函数模型.②差异指导：对在建立二次函数模型方面有困难的学生进行指导.（2）生助生：同桌之间互相交流.4.强化：建立二次函数模型要点.,三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思)：数学活动属于开放性课时，教学过程应以学生为主体，确立学生的主导地位，注重让学生自己分析、探究并建立二次函数模型，通过解二次函数问题验证猜想的正确性.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（50分）1.（25分）如图是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：(1)请你以上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在坐标系中画出y关于x的函数图象;(2)当水面宽度为36米时，一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过?为什么?解：（1）如图.（2）设y关于x的解析式为y=ax2，∵抛物线过点（20，2），∴2=a×202，解得a=0.005，∴y=0.005x2.当x=18时，y=1.62<1.8.∴该货船在这个河段不能安全通过.2.（25分）根据以下10个乘积，回答问题：1×399；2×398；3×397；4×396；…；398×2；399×1．（1）猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？（2）运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的.解：（1）200×200的积最大.（2）设第一个乘数为x，第二个乘数为（400-x），乘积为y.∴y=x(400-x)=-x2+400x.,.当x=200时,y有最大值.猜想正确.二、综合应用（25分）3.（25分）九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.小组讨论后,同学们做了以下三种试验:请根据以上图案回答下列问题:(1)在图案①中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当AB为1m,长方形框架ABCD的面积是m2;(2)在图案②中,如果铝合金材料总长度为6m,设AB为xm,长方形框架ABCD的面积为Ｓ＝x(2-x)(用含x的代数式表示)；当AB＝1m时,长方形框架ABCD的面积Ｓ最大;在图案③中,如果铝合金材料总长度为lm,设AB为xm,当AB=m时,长方形框架ABCD的面积Ｓ最大.(3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案④这样的情形也存在着一定的规律．探究:如图案④,如果铝合金材料总长度为lm共有ｎ条竖档时,那么当竖档AB为多少时,长方形框架ABCD的面积最大.解：设AB=xm.则AD=m.∵长方形框架ABCD的面积，∴.当竖档AB为m时，长方形框架ABCD的面积最大.,三、拓展延伸（25分）4.（25分）如图①是棱长为a的小正方体，图②、图③由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别把第一层、第二层、第三层…第n层的小正方体的个数记为S．解答下列问题：（1）填表：(2)写出n＝6时，S=21;(3)根据上表中的数据，把S作为点的纵坐标，n作为点的横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗?如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式．解：（3）如图（4）它们在同一函数图象上.设函数解析式为y=an2+bn+c,图象经过点（1，1），（2，3），（3，6）.则,解得.∴该函数的解析式为.
