数学活动——圆的探究活动一、活动导入1.导入活动:日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？（板书课题）2.活动目标:（1）通过活动理解车轮做成圆形的数学道理.（2）探究能过四边形的四个顶点作圆的条件.（3）以圆和正多边形为基本图形设计图案.3.活动重、难点：重点：探究能过四边形的四个顶点作圆的条件；以圆和正多边形为基本图形设计图案.难点：设计图案.二、活动过程活动1车轮做成圆形的数学道理1.活动指导：（1）活动内容：教材第118页活动1.（2）活动时间：6分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①按照课本活动1的要求，用笔画出下面两个图形中圆和正方形运动时的中心的运动轨迹.②车辆在平坦的路面行驶时，圆形车轮的中心经过的路线是直线，正方形车轮的中心经过的路线是曲线.③坐在圆形车轮的车上会很平稳.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生画圆和正方形的中心的运动轨迹等方面的情况.,②差异指导：对困难学生制作纸板和跟踪图形中心的运动轨迹等方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：（1）圆在直线上滚动时，圆心的轨迹是直线.（2）正方形在直线上翻滚时，其中心的轨迹是一段段以对角线长的一半为半径，90°的弧连接而成的曲线.活动2探究四点共圆的条件1.活动指导：（1）活动内容：教材第119页活动2.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①怎样作三角形的外接圆？找其外心，再以外心到顶点的长为半径作圆即可.②过平行四边形，矩形，正方形，菱形的四个顶点能作圆吗？如果能，这个四边形相对的两个内角之间有何关系？过平行四边形、菱形的四个顶点不能作圆，过矩形和正方形的四个顶点可以作圆.相对的两个内角和为180°.③如果过四边形的四个顶点不能作圆，那么这个四边形的对角和与180°之间有何关系？试用教材第119页图4分两种情况给予证明.④如果一个四边形对角互补，那么过这个四边形的四个顶点可以作一个圆.⑤请自己查找资料，归纳证明四点共圆的方法.证明：如图，(1)连接对角两点，以其中一个三角形(ABC)作圆.(2)分别连接对的两(上述)点与圆心，根据圆心角等于圆周角两倍.则∠2=2∠A,∠1+∠2=360°∠1=360°-∠2,因为∠D=180°-∠AA,所以∠1=2∠D,所以，∠D是∠1.对应的圆周角，即PD也在圆上.命题得证.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学:（1）师助生：,①明了学情：明了学生是否会表示四个顶点不共圆的四边形的对角和与180°之间的不等关系.②差异指导：根据学情分类指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：四点共圆的条件和证明方法.活动3设计图案1.活动指导：（1）活动内容：教材第119页至第120页的活动3.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①通过等分圆周设计图案(仿照图6).②利用正多边形平面镶嵌的性质设计图案.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会等分圆周，是否了解哪些正多边形组合可以平面镶嵌.②差异指导：为困难学生提供等分圆周、正多边形组合平面镶嵌等方面的知识和方法.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：等分圆周的方法，正多边形组合平面镶嵌的条件.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时设计了三个活动，分别探究了车轮做成圆形的数学道理、四点共圆的条件、设计与圆有关的图案，能够激发学生的探究兴趣，教师给予适当的引导，让学生知道从哪里入手，运用什么具体知识.设计图案活动则要鼓励学生大胆动手操作，培养他们思维的灵活性与空间想象能力.,（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠B∶∠C=7∶6∶3，则∠D等于(B)A.36°B.72°C.144°D.54°2.（10分）下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（D）ABCD3.（10分）现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等.同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（B）A.2种B.3种C.4种D.5种4.（10分）如图（1）是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为4∶9.5.（10分）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为4πcm.6.（10分）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为8.,第6题图第7题图7.（10分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为2π-4.二、综合应用（20分）8.（20分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC.求证：B、E、F、C四点共圆.证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,∴∠AED+AFD=180°.∴A、E、D、F四点共圆.∴∠DEF=∠DAF.又AD⊥DC,∴∠DAF+∠C=90°.∴∠DEF+∠C=90°.∴∠BEF+∠C=∠BED+∠DEF+∠C=180°.∴B、E、F、C四点共圆.三、拓展延伸（10分）9.（10分）如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：E、F、G、H四点共圆.证明：连接OE、OF、OG、OH.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.又∵E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边中点,∴OE=OF=OG=OH=AB=BC=CD=DA.∴E、F、G、H四点共圆.
