第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第1课时\n学习目标1.会用一元二次方程解决有关的实际问题；（重点、难点）2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识．\n导入新课问题：某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率.若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）.今年的使用率×（1+年平均增长率）²=后年的使用率你能找出问题中涉及的等量关系吗？\n40%（1+x）²=90%整理，得（1+x）²=2.25解得x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意，舍去）答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%.若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，请你根据等量关系，列出方程：接下来请你解出此一元二次方程x2=-2.5符合题意吗？\n填空：1.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650元，则下降率是.如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.探究归纳7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量讲授新课增长率问题\n2.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2\n例1前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得5000(1－x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.下降率不可为负，且不大于1.注意\n练一练：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得6000(1－y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈－1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.\n解后反思答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．问题1药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？\n答：不能.能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．问题2从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?\n问题3你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？类似地这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).\n变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得解这个方程，得答：每次降价的百分率为29.3%.\n变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）解：设原价为a元，每次升价的百分率为x，根据题意，得解这个方程，得由于升价的百分率不可能是负数，所以(不合题意，舍去)答：每次升价的百分率为9.5%.\n例2为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率.解析：原价×(1-平均每次降价的百分率)²=现行售价解：设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得100(1-x)²=81解得x1=0.1=10%,x2=1.9答：平均每次降价的百分率为10%.(不合题意，舍去)\n例3某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x.根据题意，得答：这个增长率为50%.200+200(1+x)+200(1+x)2=950整理方程，得4x2+12x-7=0，解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.增长率不可为负，但可以超过1.注意\n情境引入每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？\n例4某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120％.若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？解：（售价-进价）×销售量=利润.根据等量关系得（x-21)(350-10x)=400整理，得x²-56x+775=0解得x1=25,x2=31.利用一元二次方程解决营销问题\n所以x=31不合题意，应当舍去.故x=25.答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是25元.从而卖出350-10x=350-10×25=100（件）因为21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元，\n建立一元二次方程模型实际问题实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？分析数量关系设未知数方法归纳\n例5：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)·[(50+x)－40]=8000.\n解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则(500－10x)·[(50+x)－40]=8000，整理得x2－40x+300=0，解得x1=10，x2=30都符合题意.当x=10时,50+x=60，500－10x=400；当x=30时，50+x=80，500－10x=200.答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个.\n某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?思考:这个问题设什么为x?有几种设法?如果直接设每盆植x株,怎样表示问题中相关的量?如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？针对练习\n整理，得x2-3x+2=0.解这个方程,得x1=1,x2=2.经检验，x1=1,x2=2都符合题意.答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(x+3)株,平均单株盈利为(3-0.5x)元.根据题意,得.(x+3)(3-0.5x)=10.\n总结归纳利润问题常见关系式基本关系：(1)利润＝售价－________；(3)总利润＝____________×销量进价单个利润\n当堂练习1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为.B2（1+x)+2(1+x)2=8\n3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得系数化为1得，直接开平方得，则答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.7200（1+x)2=8712（1+x)2=1.211+x=1.1,1+x=-1.1x1=0.1,x2=-1.1,\n4.新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?分析：本题的主要等量关系是：每台的销售利润×平均每天销售的数量=5000元.\n解：设每台冰箱降价x元,根据题意,得整理,得：x2-300x+22500=0.解方程,得：x1=x2=150.∴2900-x=2900-150=2750.答：每台冰箱的定价应为2750元.\n解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：（40-x)(20+2x)=1200整理得，x2-30x+200=0解方程得，x1=10,x2=20因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.答：每件衬衫应降价20元.5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？\n能力提升:菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2=3.2，解得x1=20%，x2=1.8（舍去）∴平均每次下调的百分率为20%;\n(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.\n课堂小结一元二次方程的应用增长率问题a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.降低率问题a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.经济利润问题
