第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程（第2课时利用一元二次方程解决面积问题）\n1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）学习目标\n问题某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________.CBDA(30-2x)(20-x)=6×78问题引入导入新课\n问题：在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.16m12m想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？利用一元二次方程解决面积问题知识点1讲授新课\n解：设小路的宽为xm,根据题意得：即x2-14x+24=0.解方程得x1=2,x2=12.将x=12代入方程中不符合题意舍去.答：小路的宽为2m.小明设计：如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,得到小路的宽为2m或12m.16m12m问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？xx\n解：设扇形半径为xm,根据题意得：即πx2=96.解方程得x1=,x2=(舍去),答：扇形半径约为5.5m.小亮设计：如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？16m12m\n小颖设计：如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？16m12mxmxm解：设小路的宽为xm,根据题意得：即x2-28x+96=0.解方程得x1=4,x2=24,将x=24代入方程中不符合题意舍去答：小路的宽为4m.\n例1：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)27cm21cm典例精析\n分析:这本书的长宽之比：正中央的矩形长宽之比：，上下边衬与左右边衬之比：.979727cm21cm解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：97\n27cm21cm解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得解方程得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为:方程的哪个根合乎实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？\n解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得27cm21cm解得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为:\n例2：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：若设出发xs后可使△PCQ的面积为9cm²整理，得解得x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².\n主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;方法点拨\n2032xx解：设道路的宽为x米例3：如图，在一块宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？典例精析还有其他解法吗？\n2032xx解：设道路的宽为x米20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.∴取x=2答：道路的宽为2米.方法二：\n在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米(32-x)(20-x)=540可列方程为变式一\n2032xxx20-x在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米(32-2x)(20-x)=540可列方程为变式二32-2x\n2032xxxx20322x2x32-2x20-2x在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米(32-2x)(20-2x)=540可列方程为变式三\n在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？变式四\n小路所占面积是矩形面积的四分之一剩余面积是矩形面积的四分之三解:设横、竖小路的宽度分别为3x，2x，于是可列方程(30-4x)(20-6x)=—×20×30.20㎝30㎝3x2x30-4x20-6x433x2x6x4x30-4x20-6x\n我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨\n解：设AB长是xm.(100-4x)x=400.x2-25x+100=0.x1=5，x2=20.x=20,100-4x=20<25.x=5,100-4x=80>25，x=5(舍去).答：羊圈的边长AB和BC的长分别是20m,20m.例4：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长分别是多少米？DCBA25米\n变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，由题意得x(25-2x+1)=80化简，得x2-13x+40=0解得x1=5,x2=8当x=5时，26-2x=16>12(舍去）当x=8时，26-2x=10<12故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.\n1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=080cmxxxx50cmB随堂练习\n2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm5(2x-10)(x-10)=3000x2-15x-250=0解得x1=25x2=-10(舍去）所以2x=50答：铁板的长50cm,宽为25cm.\n3.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？解：设横向彩条的宽度2xcm,竖彩条的宽度3xcm(20-6x)(30-4x)=4006x2-65x+50=0\n几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系.类型课本封面问题彩条/小路宽度问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程课堂小结
