21.3二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程\n1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系；（重点）2.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；（重点）3.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点）学习目标\n导入新课情境引入问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：\n讲授新课二次函数与一元二次方程的关系（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程15=20t-5t2,t2-4t+3=0,t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？h=20t-5t2\n（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht204解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2\n（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.h=20t-5t2\n（4）球从飞出到落地要用多少时间？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.h=20t-5t2\n从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.为一个常数（定值）\n所以二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．\n利用二次函数深入讨论一元二次方程思考观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.\n1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20个1个2个x2-x+1=0无解0x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1\n知识要点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系\n例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有两个交点；\n(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝.当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．\n变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.\n例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？\n解：（1）由抛物线的表达式，得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？\n（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？解：（2）由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.\n解：（3）由抛物线的表达式得即因为所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？\n一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.\n例3：求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.分析：一元二次方程x²-2x-1=0的根就是抛物线y=x²-2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.利用二次函数求一元二次方程的近似解\n解：画出函数y=x²-2x-1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.\n先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.\n一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.方法归纳\n例4:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为()A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.B\n解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．方法总结\n判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1.根据下列表格的对应值:当堂练习\n2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=；-1yOx133.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x1=－2，x2=，那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是.(-2，0)(，0)\n4.若一元二次方程无实根，则抛物线图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限A5.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k<3B．k<3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0D\n6.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.\n7.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？\n解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4.将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；\n(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解：(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．\n课堂小结二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系y=ax2+bx+c(a≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a≠0),右边换成y时就成了二次函数.二次函数与一元二次方程根的情况二次函数与x轴的交点个数判别式的符号一元二次方程根的情况Δ
