23.2解直角三角形及其应用第4课时坡度问题及一次函数k的几何意义\n如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？ABC观察与思考导入新课\nαlhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.2.坡度(或坡比)坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i=h:l.坡面水平面讲授新课☆与坡度、坡角有关的实际问题知识回顾\n3.坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值.αlhi=h:l坡面水平面\n1.斜坡的坡度是，则坡角α=___度.2.斜坡的坡角是45°，则坡比是_____.3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.αlh301:1练一练\n例1如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？i=1:2典例精析\n在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，解：用α表示坡角的大小，由题意可得因此α≈26.57°.答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．因此\n例2水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；ADBCi=1:2.5236αi=1:3解：斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α为22°.\n解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F，由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m).EFADBCi=1:2.5236αi=1:3\n=69+6+57.5=132.5(m).在Rt△ABE中，由勾股定理可得在Rt△DCF中，同理可得故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.EFADBCi=1:2.5236αi=1:3\n如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1:2，走 米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．练一练ACBD30°答案：点B和点C的水平距离为米.\n与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？hhααll探究归纳\n我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.h1α1l1\n在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．方法归纳\n解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略\nxyoQ1Q2RP1(x1,y1)ααP2(x2,y2)例3:已知：在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.求证：证明：由α是锐角，可知直线y=kx+b是上升的，即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.如图，x1＜x2,则y1＜y2.过点P1,P2作x轴的垂线，垂足分别为Q1,Q2,再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R，得∠P2P1R=α.\n在Rt△P2P1R中，∵P1,P2都在直线y=kx+b上，\n当堂练习1.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是()A.9mB.6mC.mD.mACBB\n2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1m)．\n\n3.如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB与斜坡CD的坡度如图所示，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m）与斜坡的坡角α和β的值（精确到1°）.ABCEDαβi'=1:2.5i=1:1.6解：过点作CF⊥AD于点F,得FCF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.∵BE=5.8m∴AE=9.28m，DF=14.5m.∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6m.\nABCEFDαβi'=1:2.5i=1:1.6F\n解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知DE＝CF＝4(米)，CD＝EF＝12(米)．4.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽(精确到0.1米，，).45°30°4米12米ABCD在Rt△ADE中，EF\n在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93(米)．答：路基下底的宽约为22.93米．(米).(米).45°30°4米12米ABCDEF\n利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．课堂小结
