2.5直线与圆的位置关系（2）\n砂轮上打磨工件时飞出的火星右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？【导入新课】\nＯABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2)二者位置有什么关系？为什么？【讲授新课】\n经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为☉O的半径BC⊥OA于ABC为☉O的切线.ＯABC切线的判定定理应用格式\n下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意判一判\n判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳\n典例精析例1如图,直线AB是☉O上的点A,且AB=OA，∠OBA=45°,AT=BA．求证：直线AB是☉O的切线.解析：直线AB经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.AOB证明：∵AB=OA，∠OAB＝45°，∴∠AOB＝∠OBA＝45°，∴∠OAB=90°.即OA⊥AB.又∵点A在圆上，∴直线AB是☉O的切线.（切线的判定定理）\n如图,AB是☉O的直径,∠ABT=45°,AT=BA．求证:AT是☉O的切线.ATBO证明：∵AT=AB，∴∠ABT＝∠ATB，又∵∠ABT＝45°，∴∠ATB=45°.解析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可.∴AT是☉O的切线．∴∠TAB＝180°-∠ABT-∠ATB=90°.即AT⊥AB.做一做\n思考：如图，如果直线l是☉O的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO∵直线l是☉O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式\n小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于☉O的半径,因此,CD与☉O相交.这与已知条件“直线与☉O相切”相矛盾.CDBOA（3）所以AB与CD垂直.M证法1：反证法.性质定理的证明\nCDOA证法2：构造法.作出小☉O的同心圆大☉O，CD切小☉O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．\n例2已知：直线AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是☉O的切线.OBAC分析：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.证明：连接OC(如图).∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是☉O的半径,∴AB是☉O的切线.典例精析\n例3如图,△ABC中，AB＝AC，O是BC中点，☉O与AB相切于E.求证：AC是☉O的切线．BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是☉O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是☉O的半径就可以了，而OE是☉O的半径，因此只需要证明OF=OE.F\n证明：连接OE，OA,过O作OF⊥AC.∵☉O与AB相切于E，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC中点．∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是☉O半径，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是☉O的切线．又OE⊥AB，OF⊥AC.\n(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线添加方法(1)见切点，连半径，得垂直.切线的其它重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.知识要点\n1.判断下列命题是否正确.⑴经过半径外端的直线是圆的切线.（）⑵垂直于半径的直线是圆的切线.（）⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）⑸过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）××√√√【练习】\n3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是.APO第2题PO第3题DABC相切C\n证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为☉O的切线.4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于P，PE⊥AC于E.求证:PE是☉O的切线.OABCEP\n5.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①_________；②_____________.（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC图1图2\n证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90°,∵∠D与∠B同对,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.\n切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.有1个公共点d=r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直.【小结】
