14.2乘法公式14.2.2完全平方公式人教版数学八年级上册\n一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？导入新知\n2.灵活应用完全平方公式进行计算.1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.素养目标3.体验归纳添括号法则.\n一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.aabb直接求：总面积=(a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2探究新知知识点1完全平方公式\n计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=.p2+2p+1(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=.m2+4m+4(3)(p–1)2=(p–1)(p–1)=.p2–2p+1(4)(m–2)2=(m–2)(m–2)=.m2–4m+4根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？(a+b)2=.a2+2ab+b2(a–b)2=.a2–2ab+b2探究新知问题1：问题2：\n(a+b)2=.a2+2ab+b2(a–b)2=.a2–2ab+b2也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”探究新知完全平方公式\n你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?探究新知\n设大正方形ABCD的面积为S.S==S1+S2+S3+S4=.(a+b)2a2+b2+2abS1S2S3S4探究新知证明\naabb=+++a2ababb2(a+b)2=.a2+2ab+b2和的完全平方公式：探究新知几何解释\na2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2a−ba−baaabb(a−b)bb(a−b)2(a–b)2=.a2–2ab+b2差的完全平方公式：探究新知几何解释\n(a+b)2=a2+2ab+b2.(a–b)2=a2–2ab+b2.观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：(1)说一说积的次数和项数.(2)两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？(3)两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a，b有什么关系？它的符号与什么有关？探究新知问题4：\n公式特征：公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.积为二次三项式；积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.探究新知\n下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x–y)2=x2–y2(3)(–x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x–y)2=x2–2xy+y2(–x+y)2=x2–2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2探究新知想一想\n例1运用完全平方公式计算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2•(4m)•n+n2+8mn+n2；素养考点1利用完全平方公式进行计算探究新知(2)(a–b)2=a2–2ab+b2y2=y2–y+解：=+–2•y•\n1.利用完全平方公式计算：(1)(5–a)2；(2)(–3m–4n)2；(3)(–3a＋b)2.(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2；(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；巩固练习\n(1)1022；=(100–1)2=10000–200+1解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=9801.例2运用完全平方公式计算：方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便．素养考点2利用完全平方公式进行简便计算探究新知\n2.利用乘法公式计算：(1)982–101×99；(2)20162–2016×4030＋20152.＝(2016–2015)2＝1.解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152巩固练习\n例3已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1)x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36–16＝20；解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20–16＝4.素养考点3利用完全平方公式的变形求整式的值探究新知方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.\n(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.523.对应训练.(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，则k=________.18或–18(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.1巩固练习\n添括号法则a+(b+c)=a+b+c;a–(b+c)=a–b–c.a+b+c=a+(b+c);a–b–c=a–(b+c).去括号：把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：知识点2探究新知\n添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).探究新知添括号法则\n例4运用乘法公式计算:(1)(x+2y–3)(x–2y+3);(2)(a+b+c)2.原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]解:(1)(2)原式=[(a+b)+c]2=x2–(2y–3)2=x2–(4y2–12y+9)=x2–4y2+12y–9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.素养考点4添括号法则的应用探究新知\n4.计算：(1)(a–b＋c)2；(2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．＝1–4x2＋4xy–y2.解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；(2)原式＝[1＋(–2x＋y)][1–(–2x＋y)]＝12–(–2x＋y)2巩固练习\n1.将9.52变形正确的是()A．9.52=92+0.52B．9.52=(10+0.5)(10–0.5)C．9.52=102–2×10×0.5+0.52D．9.52=92+9×0.5+0.522.若x2+2(m–3)x+16是关于x的完全平方式，则m=．连接中考C–1或7巩固练习\n2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是()A．(a–b)2B．(–a–b)2C．–(a＋b)2D．–(a–b)21.运用乘法公式计算(a–2)2的结果是()A．a2–4a+4B．a2–2a+4C．a2–4D．a2–4a–4AD基础巩固题课堂检测\n3.运用完全平方公式计算:(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x–3y)2=_______________；(3)(2m–1)2=_______________；(4)(–2m–1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2–24xy+9y24m2+4m+14m2–4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．25课堂检测基础巩固题\n计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]＝(3a)2–(b–2)2＝9a2–b2＋4b–4.＝(x–y)2–(m–n)2＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.能力提升题课堂检测\n1.若a+b=5，ab=–6，求a2+b2，a2–ab+b2.2.已知x+y=8，x–y=4，求xy.解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;∵x–y=4，∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②;由①–②得4xy=48∴xy=12.拓广探索题课堂检测\n完全平方公式法则注意(a±b)2=a2±2ab+b21.项数、符号、字母及其指数2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行常用结论3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;4ab=(a+b)2–(a–b)2.课堂小结
