5.3.2综合法与分析法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，是常常要用到的一个重要不等式。二、典型例题：\n例1、都是正数。求证：证明：由重要不等式可得本例的证明是综合法。例2、设，求证证法一分析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立.由此命题得证。证法二综合法注意到，即，\n由上式即得，从而成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、已知a，b，m都是正数，并且求证：（1）证法一要证（1），只需证（2）要证（2），只需证（3）要证（3），只需证（4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二因为是正数，所以两边同时加上得两边同时除以正数得（1）。读一读：如果用或表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是（1）而采用综合法的证法二就是\n如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为在例2中，由于都是正数，实际上例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。为了证明上式成立，只需证明。两边同乘以正数，得：。因此，只需证明。\n上式显然成立，所以。这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例5、证明：。证法一因为（2）（3）（4）所以三式相加得（5）两边同时除以2即得（1）。证法二因为所以（1）成立。例6、证明：（1）证明（1）（2）（3）\n（4）（5）（5）显然成立。因此（1）成立。例7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？分析：本题可以考虑利用因式分解公式着手。证明：==由于都是正数，所以而，可知即（等号在时成立）探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：\n，其中是互不相等的正数，且.三、小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。\n四、练习：1、已知求证：2、已知求证3、已知求证4、已知求证：（1）（2）5、已知都是正数。求证：（1）（2）6、已知都是互不相等的正数，求证\n五、作业：
