5.4.1柯西不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，，\n所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。证明：构造二次函数：即构造了一个二次函数：\n由于对任意实数，恒成立，则其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。如果（）全为0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式1设，等号成立当且仅当变式2设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。二、典型例题：\n例1、已知，，求证：。例2、设，求证：。例3、设为平面上的向量，则。例4、已知均为正数，且，求证：。方法1：方法2：（应用柯西不等式）\n例5：已知，，…，为实数，求证：。分析：推论：在个实数，，…，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值。三、小结：四、练习：1、设x1，x2，…，xn>0,则2、设（i=1，2，…，n）且求证:．3、设a为实常数,试求函数(x∈R\n)的最大值．4、求函数在上的最大值,其中a，b为正常数．五、作业：1、已知：，,证明：。提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、若，且=，=，求证：都是不大于的非负实数。证明：由代入=可得∵ ∴△≥0即化简可得：∵ ∴ 同理可得： ，\n由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。3、设a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。4、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求的最小值。5、设x，y，zÎR，求的最大值。6、ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。解：s=DABC面积=且DABC=DPAB+DPBC+DPACÞÞ4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2³(x2+y2+z2)(42+52+62)Þ³(x2+y2+z2)´77\nÞx2+y2+z2³7、设三个正实数a,b,c满足，求证：a，b，c一定是某三角形的三边长。8、求证个正实数a1，a2，…，an满足9、已知,且求证:。10、设,求证:。11、设,且x+2y+3z=36,求的最小值．
