竞赛辅导课------动力学行星的运动\n第二部分:万有引力定律第一部分:开普勒三定律行星的运动第三部分:引力势能第四部分:万有引力定律的应用\n所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳是在这些椭圆的一个焦点上第一定律(轨道定律)一、开普勒定律\n对每个行星来说,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积.第二定律(面积定律)则\n行星太陽近日點遠日點bacxy橢圓方程式：a為半長軸；b為半短軸.橢圓面積：焦點位置：(c,0)及(-c,0)\n推論一：行星與太陽之間距離r的平方與其公轉角速度ω的乘積為一定值.即證明：面積掃描速率=定值\nθsrθ推論二：行星與太陽之間距離r與其公轉速度v滿足證明：面積掃描速率=定值\n例題1：設一行星繞太陽在橢圓形軌道運行,其橢圓的長軸與短軸各為10R與8R,而太陽S至橢圓形軌道對稱中心O點之距離為3R,且行星在遠日點B之速率為v,則行星在C點之速率為何？答案：2v\nR第三定律(周期定律)所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等.)(軌道如為圓形,則R=圓的半徑.\n例題2：設地球半徑為R,一太空船以軌道半徑3R的圓軌道環繞地球運轉,其週期為T.現太空船欲返回地球,可在其軌道上某點A將速率降低至某適當數值,然後使太空船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行,此橢圓軌道與地表相切於B點,如圖.太空船由A至B需時________T.\n例題3：如图所示,从地球发射火箭到火星探测,发射后火星饶日沿椭圆轨道运行,为了节省能量,火箭离地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致,并且选择适当的发射时机,使火箭椭圆轨道的远日点为火星,近日点为地球,假定地球和火星均饶日作圆运动,圆轨道半径分别为和,忽略其他行星对火箭的引力作用,试问:(1)火箭以多大的相对速度离开地球?(2)火箭到达火星要用多长时间?火星轨道太阳地球轨道火星地球\n火星轨道太阳地球轨道火星地球\n二万有引力定律1引力公式任何兩質點之間存在一互相吸引之力,稱為萬有引力或重力.此力的大小與兩質點的質量成正比,與兩質點之間的距離平方成反比.FFrm1m21798年,英國科學家卡文迪许利用兩對大小鉛球之間的萬有引力對連桿產生的力矩,在實驗室中準確的測出萬有引力常數G值.\n(a)卡文迪许的扭擺實驗裝置.(b)現今教學實驗室所使用的實驗裝置.\n牛頓的球壳定理：均勻薄球壳對球壳內的质点所产生的萬有引力為零r1r2m1m2\n例題：密度均勻,質量為M,半徑為R的球體對距離其球心為r,質量為m的質點,所產生的萬有引力為何？mrR質點受到均勻球體的吸引力F隨其與球心距離r的關係圖如右圖所示.FrR\n例題：獨立系統中,密度均勻,質量M、半徑R之實心球,挖掉切過球面且半徑為R∕2的球體,如右圖所示,則在下列條件下,質量m之質點所受之引力若干？質點在(A)離球表面垂直距離R處之A點(B)球表面上之B點(C)球心O點(D)空球心C點.RRABOCR/2\n----引力做的功与路径无关,只取决于两个质点始末的相对位置三引力势能----万有引力是保守力引力势能无穷远处作为势能零点\n四萬有引力定律的應用人造衛星：牛頓在其著作中曾討論人造衛星環繞地球的可能性.將物體在地球表面的高處以足夠大的水平初速發射,則其軌道可從通常落至地面的拋物線,轉變成環繞地球的圓形軌道,甚至橢圓形的軌道.人造衛星依其用途可分為軍事用途或作為全球衛星定位系統的地表衛星與通訊用途的同步衛星.牛頓在其原著中的插圖.\nm1m2dr1r2雙星系統：兩星球以彼此間的萬有引力相吸,繞著共同的質心作圓形軌道運行,構成雙星系統.如兩星球的質量各為m1、m2,相距為d,則軌道半徑：週期：軌道速率：\n例題：三個質量同為M的質點,位於邊長為L的等邊三角形的頂點.在萬有引力影響下,這三質點在外接此等邊三角形的圓形軌道運轉,且仍保持彼此間的距離.求(1)各質點所受的萬有引力的大小(2)運轉的角速度的大小.[82.夜大]F\n月球AB潮汐現象：潮汐現象是由月球對地球上的各處不均勻的引力所造成.水為流體,最靠近月球的A處受到的引力最大,水往此處集中.另一處漲潮的地方是背對月球的B點,因此處受到月球的引力最小.月球與地球間的引力對地球--月球的系統而言為內力,不影響系統的質心位置,因此當A處漲潮時,B處也必須漲潮.結合地球的自轉與月球繞地球的轉動,地球同一處連續兩次面對月球的時間約為25小時.因此每經12.5小時即會漲潮一次.\n在农历每月的初一即朔点时刻处太阳和月球在地球的一侧,所以就有了最大的引潮力,所以会引起“大潮”,在农历每月的十五或十六附近,太阳和月亮在地球的两侧,太阳和月球的引潮力你推我拉也会引起“大潮”；在月相为上弦和下弦时,即农历的初八和二十三时,太阳引潮力和月球引潮力互相抵消了一部分所以就发生了“小潮”,故农谚中有“初一十五涨大潮,初八二十三到处见海滩”之说\n第一宇宙速度：在地面上发射一物体,能使该物体绕地球轨道运行所需的最小发射速度；或物体能绕地球运转的最小速度三个宇宙速度第二宇宙速度：在地面上发射一物体,能使该物体脱离地球引力场所需的最小发射速度\n第三宇宙速度：在地面上发射一物体,不但能使该物体脱离地球引力场,还能脱离太阳引力场所需的最小发射速度(1)物体脱离地球的束缚后具有速率,则最小值应满足(2)地球绕太阳公转速率为,(3)从发射到脱离地球,机械能守恒为航天器相对于地球的速度\n总结起来说,白矮星中子星和黑洞,就是晚年恒星的三种变化结果.白矮星中子星和黑洞恒星演化的总趋势是密度增大,而质量丢失、碎裂、不稳定或爆炸等现象使其质量减小.恒星的演化必定以三种可能的冷态之一为终结：白矮星,中子星,黑洞.\n一个星体(例如恒星),由于自身引力作用,将呈球状,那么,因自身引力作用能否继续收缩呢?当物质粒子热运动的压力抗衡引力达平衡时收缩停止,粒子热运动的能量来自恒星核心区域的热核聚变,有那么一天(对太阳而言约在50亿年后),核心区的热核反应因原料耗尽而停止,恒星将进入晚期,由于引力长存,恒星必然收缩,当恒星密度增大到一定值时,电子简并,如果这时恒星总质量不过分大(不超过1.4个太阳质量),简并电子气的压力可以平衡压力,收缩停止,此恒星变成白矮星白矮星\n如果恒星的质量更大,晚期核心区引力收缩使简并电子气压力无法招架,以至电子被挤入原子核内,与质子结合成中子,使核心区中子化,随即恒星发生猛烈爆发(所谓超新星爆发),炸后所剩的中子化核心,被称为中子星中子星\n如果一个已停止热核聚变,质量又超过3个太阳质量的恒星,就没有任何力量能够阻止自身引力,进一步塌缩到其引力半径以下(任何粒子包括光子均不能脱离其引力束缚),这颗星从此消失,没有任何信息可以从它的内部传到外部世界,人们称其为黑洞,这是恒星晚期演化的结局.黑洞
