4生活中的圆周运动\n1．做匀速圆周运动的物体所受的合外力总是指向_____,所以叫向心力,它是根据力的_________来命名的.2.向心力公式：F=_____=_____=_____=___.3．向心力总是指向_____,而线速度沿圆的切线方向,故向心力始终与线速度_____,所以向心力的作用效果只是改变线速度的_____,而不改变线速度的_____.4．变速圆周运动的合力可以分解为沿半径与切线两个方向的分力,径向分力产生___________,切向分力改变速度_____.圆心作用效果mω2rmωvma圆心垂直方向大小向心加速度大小\n一、铁路的弯道1.运动特点：火车转弯时实际是在做_____运动,因而具有向心加速度,由于其质量巨大,所以需要很大的_____力.2.向心力来源：(1)若转弯时内外轨一样高,则由_____对轮缘的弹力提供向心力,这样铁轨和车轮极易受损.(2)若内外轨有高度差,依据规定的行驶速度行驶,转弯时向心力几乎完全由______和_________的合力提供.圆周向心外轨重力G支持力FN\n二、拱形桥汽车过凸形桥汽车过凹形桥受力分析向心力Fn=_____=Fn=_____=对桥的压力FN′=________FN′=________结 论汽车对桥的压力小于汽车的重量,而且汽车速度越大,对桥的压力_____汽车对桥的压力大于汽车的重量,而且汽车速度越大,对桥的压力_____mg-FNFN-mg越小越大\n三、航天器中的失重现象1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力,______=2.支持力分析：FN=_________.3.讨论:当v=_____时,座舱对宇航员的支持力FN=0,宇航员处于_________状态.mg-FN完全失重\n四、离心运动1.定义:物体沿切线飞出或做_________圆心的运动.2.原因:向心力突然_____或合外力不足以提供___________.3.应用：洗衣机的_______,制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等.逐渐远离消失所需向心力脱水筒\n【思考辨析】1.判断正误：(1)铁路的弯道处,内轨高于外轨.()(2)汽车行驶至凸形桥顶时,对桥面的压力等于车重.()(3)汽车过凹形桥底部时,对桥面的压力一定大于车重.()(4)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员处于完全失重状态.()(5)做离心运动的物体可以沿半径方向运动.()\n提示:(1)×.铁路的弯道处,内轨低于外轨.(2)×.汽车行驶至凸形桥顶时,合力方向向下,对桥面的压力小于车重.(3)√.汽车在凹形桥上行驶通过桥的底部时,合力方向向上,对桥面的压力一定大于车重.(4)√.绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员所受重力完全提供向心力,处于完全失重状态.(5)×.做离心运动的物体的运动轨迹可能沿切线方向,或是沿切线与圆周之间的某一曲线,但不会沿半径方向.\n2.问题思考：(1)航天员在太空舱内处于完全失重状态,他们是不受重力作用了吗？提示：他们仍然受重力作用,只不过重力全部提供了向心力,产生向心加速度.\n(2)做离心运动的物体是否受到离心力的作用?提示:不是.物体做离心运动的原因是它受到的合力突然为零或比所需要的向心力小.离心力是人们在离心运动中一个以个人的主观意念增添的力,实际中离心力并不存在.\n一火车转弯问题1.火车车轮的特点:火车的车轮有凸出的轮缘,火车在铁轨上运行时,车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面,这种结构特点,主要是避免火车运行时脱轨,如图所示.\n2.圆周平面的特点:弯道处外轨高于内轨,但火车在行驶过程中,重心高度不变,即火车的重心轨迹在同一水平面内,火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心.3.向心力的来源分析:火车速度合适时,火车受重力和支持力作用,火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供,合力沿水平方向,大小F=mgtanθ.\n4.规定速度分析：若火车转弯时只受重力和支持力作用,不受轨道压力,则mgtanθ=可得v0=(R为弯道半径,θ为轨道所在平面与水平面的夹角,v0为转弯处的规定速度)\n5.轨道压力分析:(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时,所需向心力仅由重力和弹力的合力提供,此时火车对内外轨道无挤压作用.(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时,火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供,此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用,具体情况如下.①当火车行驶速度v>v0时,外轨道对轮缘有侧压力.②当火车行驶速度v<v0时,内轨道对轮缘有侧压力.\n【特别提醒】(1)汽车、摩托车赛道拐弯处和高速公路转弯处设计成外高内低,也是为了减小车轮受到地面施加的侧向力的作用.(2)火车拐弯时做匀速圆周运动,合力沿水平方向,而不是沿轨道斜面方向.\n【典例1】铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的,已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ,如图所示,弯道处的圆弧半径为R,若质量为m的火车转弯时速度等于则()A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压C．这时铁轨对火车的支持力等于D．这时铁轨对火车的支持力大于\n【解题探究】(1)在铁路弯道处,内轨比外轨高还是低?提示:内轨低于外轨.(2)火车拐弯时按铁路的设计速度行驶时,向心力由哪些力提供?提示:由火车的重力和轨道的支持力的合力提供.\n【标准解答】选C.由牛顿第二定律F合=解得F合=mgtanθ,此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用,如图所示,FNcosθ=mg,则FN=内、外轨道对火车均无侧压力,故C正确,A、B、D错误.\n【总结提升】火车转弯问题的解题策略(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向,指向圆心方向的合外力提供物体做圆周运动的向心力,方向指向水平面内的圆心.(2)弯道两轨在同一水平面上时,向心力由外轨对轮缘的挤压力提供.(3)当外轨高于内轨时,向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供,这还与火车的速度大小有关.\n【变式训练】公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图,某公路急转弯处是一圆弧,当汽车行驶的速率为v0时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势.则在该弯道处()A.路面外侧高内侧低B.车速只要低于v0,车辆便会向内侧滑动C.车速虽然高于v0,但只要不超出某一最高限度,车辆便不会向外侧滑动D.当路面结冰时,与未结冰时相比,v0的值变小\n【解析】选A、C.当汽车行驶的速率为v0时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势,即不受静摩擦力,此时由重力和支持力的合力提供向心力,所以路面外侧高内侧低,选项A正确;当车速低于v0时,需要的向心力小于重力和支持力的合力,汽车有向内侧运动的趋势,但并不会向内侧滑动,静摩擦力向外侧,选项B错误;当车速高于v0时,需要的向心力大于重力和支持力的合力,汽车有向外侧运动的趋势,静摩擦力向内侧,速度越大,静摩擦力越大,只有静摩擦力达到最大以后,车辆才会向外侧滑动,选项C正确;由mgtanθ=可知,v0的值只与斜面倾角和圆弧轨道的半径有关,与路面的粗糙程度无关,选项D错误.\n二竖直平面内圆周运动的两类模型1.细绳模型：如图所示,细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球,在最高点时的临界状态为只受重力,由mg=得\n在最高点时：(1)v=时,拉力或压力为零.(2)v＞时,物体受向下的拉力或压力,并且随速度的增大而增大.(3)v＜时,物体不能达到最高点(实际上球未到最高点就脱离了轨道).即绳类在最高点的临界速度为v临=\n2.轻杆模型：如图所示,在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球,由于杆和管能对小球产生向上的支持力,所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零,小球的受力情况为：\n(1)v=0时,小球受向上的支持力FN=mg.(2)0＜v＜时,小球受向上的支持力且随速度的增大而减小.(3)v=时,小球只受重力.(4)v＞时,小球受向下的拉力或压力,并且随速度的增大而增大.即杆类在最高点的临界速度为v临=0.\n【特别提醒】(1)绳模型和杆模型中小球做的都是变速圆周运动,在最高点、最低点时由小球竖直方向所受的合力充当向心力.(2)绳模型和杆模型在最低点的受力特点是一致的,在最高点杆模型可以提供竖直向上的支持力,而绳模型不能.\n【典例2】如图所示,长为L=0.5m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动,A端连着一个质量为m=2kg的小球,取g=10m/s2.(1)如果小球的速度为3m/s,在最低点时杆对小球的拉力为多大？(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4N,杆旋转的角速度为多大？\n【解题探究】(1)小球运动至最低点时,杆对小球的拉力与小球重力的大小关系如何?提示:小球在最低点存在竖直向上的加速度,处于超重状态,杆对小球的拉力一定大于小球的重力.(2)小球在最高点时所受合力的方向_________.竖直向下\n【标准解答】(1)小球在最低点受力如图甲所示:\n合力等于向心力：FA-mg=解得：FA=56N(2)小球在最高点受力如图乙所示：则：mg-FB=mω2L解得：ω=4rad/s答案：(1)56N(2)4rad/s\n【互动探究】上题中,求在下述的两种情况下,通过最高点时,小球对杆的作用力的大小和方向：(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0r/s；(2)球做匀速圆周运动的线速度为2.0m/s.\n【解析】小球在最高点的受力如图所示:(1)杆的转速为2.0r/s时,ω=2π·n=4πrad/s由牛顿第二定律得:F+mg=mLω2故小球所受杆的作用力:F=mLω2-mg=2×(0.5×42π2-10)N=138N即杆对球提供了138N的拉力.由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138N,方向竖直向上.\n(2)球做匀速圆周运动的线速度为2.0m/s时,同理由牛顿第二定律得：F+mg=故小球所受杆的作用力：力F为负值表示它的方向与受力分析中所分析的方向相反,故小球对杆的压力大小为4N,方向竖直向下.答案：(1)138N竖直向上的拉力(2)4N竖直向下的压力\n【总结提升】竖直平面内圆周运动的分析方法物体在竖直平面内做圆周运动时：(1)明确运动的模型,是轻绳模型还是轻杆模型.(2)明确物体的临界状态,即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点.(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况,根据牛顿第二定律列式求解.\n【变式备选】一质量为m的小物块沿半径为R的竖直圆弧轨道下滑,滑到最低点时的速度为v,若小物块与轨道间的动摩擦因数为μ,则当小物块滑到最低点时所受到的摩擦力为()A.μmgB.C.μm(g+)D.μm(g-)【解析】选C.设小物块滑到最低点时所受支持力为F,则F-mg=由此得F=mg+小物块滑到最低点时所受到的摩擦力Ff=μF=μm(g+),C正确.\n三对离心运动的理解1.离心运动的实质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象,它的本质是物体惯性的表现.做圆周运动的物体,总是有沿着圆周切线飞出去的趋向,之所以没有飞出去,是因为受到指向圆心的力.2.离心运动的条件：做圆周运动的物体,提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力.\n3．离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动是离心运动还是近心运动,由实际提供的向心力Fn与所需向心力(或mrω2)的大小关系决定.\n(1)若Fn=mrω2(或),即“提供”满足“需要”,物体做圆周运动.(2)若Fn＞mrω2(或),即“提供”大于“需要”,物体做半径变小的近心运动.(3)若Fn＜mrω2(或),即“提供”不足,物体做离心运动.(4)若Fn=0,物体做离心运动,并沿切线方向飞出.\n【特别提醒】(1)物体做离心运动时并不存在“离心力”,“离心力”的说法是因为有的同学把惯性当成了力.(2)离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动.\n【典例3】如图所示,光滑水平面上,质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动.若小球运动到P点时,拉力F发生变化,下列关于小球运动情况的说法中正确的是()A．若拉力突然变大,小球将沿轨迹Pb做离心运动B．若拉力突然变小,小球将沿轨迹Pb做离心运动C．若拉力突然消失,小球将沿轨迹Pa做离心运动D．若拉力突然变小,小球将沿轨迹Pc做近心运动\n【解题探究】(1)物体做离心运动的条件是:_____________或_______________________.(2)离心运动一定是直线运动吗?提示:不一定.离心运动可能是直线运动,也可能是曲线运动.合力小于所需要的向心力合力突然为零\n【标准解答】选B、C.若拉力突然变大,则小球将做近心运动,不会沿轨迹Pb做离心运动,A错误.若拉力突然变小,则小球将做离心运动,但由于力与速度有一定的夹角,故小球将做曲线运动,B正确,D错误.若拉力突然消失,则小球将沿着P点处的切线运动,C正确.\n【变式训练】下列说法中,正确的是()A.物体做离心运动时,将离圆心越来越远B.物体做离心运动时,其运动轨迹是半径逐渐增大的圆C.做离心运动的物体,一定不受到外力的作用D.做匀速圆周运动的物体,因受合力大小改变而不做圆周运动时,将做离心运动【解析】选A.离心运动指离圆心越来越远的运动,A对.物体做离心运动时,运动轨迹可能是直线,也可能是曲线,但不是圆,B错.当物体的合外力突然为零或小于向心力时,物体做离心运动;当合外力大于向心力时,物体做近心运动,C、D错.\n【典例】在质量为M的电动机飞轮上固定着一个质量为m的重物,重物到转动的轴的距离为r,如图所示,为了使放在地面上的电动机不会跳起,电动机飞轮的角速度不能超过()\n【标准解答】选A.当重物运动到最高点时,由牛顿第二定律,对重物有F+mg=mω2r电动机恰能离开地面时,对电动机有F′=Mg其中F与F′为作用力和反作用力,故F=F′解得飞轮的角速度故A正确.\n汽车过桥问题分析方法汽车过拱形桥问题属于竖直面内的圆周运动问题,高中阶段一般只研究汽车经最高点或最低点时的情形.此时汽车的合外力等于向心力,即向心力仅由桥面对车的支持力FN及车的重力mg的合力提供.常用表达式：最高点：mg-FN=最低点：FN-mg=\n【案例展示】一辆质量m=2t的轿车,驶过半径R=90m的一段凸形桥面,g=10m/s2,求：(1)轿车以10m/s的速度通过桥面最高点时,对桥面的压力是多大?(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时,车的速度大小是多少？\n【标准解答】(1)轿车通过凸形桥面最高点时,受力分析如图所示：\n合力F=mg-FN,由向心力公式得mg-FN=故桥面的支持力大小FN=mg-=(2000×10-2000×)N=1.78×104N根据牛顿第三定律,轿车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104N.(2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时,向心力F′=mg-FN=0.5mg,而F′=所以此时轿车的速度大小v′=答案：(1)1.78×104N(2)\n【名师点评】处理汽车过桥问题的基本步骤(1)选取研究对象；(2)确定圆轨道平面、圆心位置及轨道半径；(3)分析受力、向心力来源；(4)根据牛顿第二定律列方程、解方程.\n1.(基础理论辨析题)下列说法正确的是()A.火车弯道处的内轨与外轨高度相同B.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力C.汽车经过拱形桥顶时,速度不能太大D.汽车经过拱形桥顶时的速度越大,对桥的压力越大E.做离心运动的物体一定受到离心力的作用F.离心运动是物体惯性的表现\n【解析】选C、F.火车弯道处的内轨比外轨略低,这样做的目的是让火车通过弯道时的向心力由火车的重力及轨道对火车的支持力的合力提供,A、B错.汽车经过拱形桥顶时对桥的压力F=mg-所以速度越大,对桥的压力越小,当速度达到时,汽车会离开桥面从而出现事故,故汽车经过拱形桥顶时,速度不能太大,C对,D错.当合力突然消失或突然小于向心力时,物体会逐渐远离圆心运动,即物体做离心运动并不是受到离心力的作用,而是由于物体的惯性作用,E错,F对.\n2.火车轨道在转弯处外轨高于内轨,其高度差由转弯半径与火车速度确定.若在某转弯处规定行驶速度为v,则下列说法中正确的是()A．当以v的速度通过此弯路时,火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力B．当以v的速度通过此弯路时,火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力C．当速度大于v时,轮缘挤压外轨D．当速度小于v时,轮缘挤压外轨\n【解析】选A、C.火车拐弯时按铁路的设计速度行驶时,向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供,A对,B错；当速度大于v时,火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力,外轨对轮缘有向内的弹力,轮缘挤压外轨,C对,D错.\n3.物体做离心运动时,运动轨迹的形状为()A.一定是直线B.一定是曲线C.可能是直线也可能是曲线D.可能是一个圆【解析】选C.离心运动是指合力突然变为零或合力不足以提供向心力时物体逐渐远离圆心的运动.若合力突然变为零,物体沿切线方向做直线运动；若合力比向心力小,物体做曲线运动,但逐渐远离圆心,故A、B、D错,C对.\n4.6月11日至26日,“神舟十号”飞船圆满完成了太空之行,期间还成功进行了人类历史上第二次太空授课,女航天员王亚平做了大量失重状态下的精美物理实验.关于失重状态,下列说法正确的是()A.航天员仍受重力的作用B.航天员受力平衡C.航天员所受重力等于所需的向心力D.航天员不受重力的作用【解析】选A、C.做匀速圆周运动的空间站中的航天员,所受重力全部提供其做圆周运动的向心力,处于完全失重状态,并非航天员不受重力作用,A、C正确,B、D错误.\n5.某公园里的过山车驶过轨道的最高点时,乘客在座椅里面头朝下,人体颠倒,若轨道半径为R,人体重为mg,要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力,则过山车在最高点时的速度大小为()【解析】选C.由题意知F+mg=2mg=故速度大小v= C正确.
