第十三章轴对称13.3等腰三角形13.3.2等边三角形第1课时一、教学目标【知识与技能】1.探索等边三角形的性质和判定;2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.【过程与方法】经历用数学思想和方法研究数学问题.【情感、态度与价值观】积极参与数学学习活动,增强对数学的好奇心和求知欲.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】等边三角形的概念、性质和判定.【教学难点】等边三角形判定定理的探究与证明,并灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.\n五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。学生：三角尺、直尺、圆规。六、教学过程（一）导入新课我们知道底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形,那么等边三角形除了具有等腰三角形的性质外,还有哪些特殊的性质呢?（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究等边三角形的性质教师问1：小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？（出示课件4）学生讨论后回答：如下图：教师问2：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.\n等边三角形有哪些性质呢？（出示课件5）学生回答：等边三角形的三条边都相等.教师问3：等腰三角形有哪些性质？学生讨论后回答：教师整理如下图：（出示课件6）教师问4：等边三角形的三个内角之间有什么关系？（出示课件7）学生回答：猜想等边三角形的三个内角都相等，每一个内角等于60°.教师问5：如何证明猜想的正确性呢？学生小组内讨论，然后回答，教师订正后得到：（出示课件8）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB=AC=BC，求证：∠A=∠B=∠C=60°.\n证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等边对等角)同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.教师问6：等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？（出示课件9）学生动手作图后回答：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，等边三角形有3条对称轴.总结点拨：如下表：（出示课件10）名称图形边角重要线段对称性等腰三角形两腰相等两个底角相等顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合轴对称图形等边三角形三条边相等每条边上的中线、高和它所对角的平分线都互相重合轴对称图形，有三条对称轴\n三个角相等，且都为60°例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．（出示课件11）师生共同解答如下：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°–40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.总结点拨：（出示课件12）解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个内角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.例2：△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？（出示课件14）\n师生共同解答如下：解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.总结点拨：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.2.探究等边三角形的判定方法教师问7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？学生回答：三条边相等的三角形是等边三角形.教师问8：三个角都相等的三角形是等边三角形吗？学生回答：学生猜想是等边三角形.教师问9：如何证明猜想的正确性呢？学生讨论后回答：在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形.\n师生共同解答如下：证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC,同理可得：BC=AB,AB=AC,∴AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形.教师问10：你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？学生讨论后回答：需要分情况证明.教师问11：分哪些情况呢？学生回答：等腰三角形的顶角是60°或等腰三角形的一个底角是60°.教师问12：当等腰三角形的顶角是60°时，如何证明呢？学生回答：因为三角形的内角和是180°，当顶角是60°时，等腰三角形的两个底角相等，所以每个底角是60°，也就是三个角都是60°，所以是等边三角形.教师问13：当等腰三角形的一个底角是60°时，如何证明呢？学生回答：因为等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是60°，因为三角形的内角和是180°，所以顶角为180°-60°-60°=60°，所以每角都是60°，所以是等边三角形.\n教师问14：从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形.你能用更简洁的语言描述这个结论吗？学生回答：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.总结点拨：（出示课件17）图形等腰三角形等边三角形判 定从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.例3：如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.（出示课件19）师生共同解答如下;证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,\n∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.例4：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．（出示课件23）师生共同解答如下：解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．总结点拨：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.（三）课堂练习（出示课件27-33）\n1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）A．105°B．120°C．135°D．150°2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ）A．10°B．15°C．20°D．25°4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是______________cm.
\n5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．6如图，A,O,D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
7.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
\n参考答案：1.B2.D3.B4.125.证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°–90°–30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．
又∵∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
6.解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.
∵A,O,D三点共线，
∴∠DOB=∠COA=120°.
∴△COA≌△DOB(SAS).
∴∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.
7.解：(1)AN＝BM.\n
∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形．
\n（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60°.2.三个角都相等的三角形是等边角形.3.有一角是60°的等腰三角形是等边三角形.（五）课前预习预习下节课（13.3.2）81页到82页的相关内容。知道含30°角的直角三角形的性质.七、课后作业1、教材80页练习1,22、如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,AD=BD,E为DC中点.(1)求∠CBD的度数.(2)△BDE是等边三角形吗?为什么?八、板书设计：\n九、教学反思：1.本节课主要引导学生明确等边三角形是特殊的等腰三角形,满足等腰三角形的所有性质,让学生在这个探究过程中,自主探索、合作交流,以达到帮助学生从感性认识发展到理性思考,促使学生逐渐形成方法,形成技能.2.本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形.学习等边三角形的定义、性质和判定，在折一折的过程中体会等边三角形的特征，三条边相等，三个角也相等，都是60度.让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力.
