第十四章整式的乘法与因式分解
14.1.4整式的乘法第3课时一、教学目标【知识与技能】1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的原理.【过程与方法】1.经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条件的表达能力.2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.二、课型新授课三、课时第3课时\n四、教学重难点【教学重点】应用整式除法法则进行计算.【教学难点】根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.五、课前准备教师：课件、直尺、计算器等。学生：练习本、钢笔或圆珠笔。六、教学过程（一）导入新课木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2）木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.
想一想：上面的式子该如何计算?
（二）探索新知1.师生互动，探究同底数幂的除法法则教师问1：请完成下面的题目：(出示课件4)(1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.\n学生回答：（1）28；（2）x10；（3）2m+n.教师问2：本题是直接利用什么乘法法则计算的？学生回答：同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加.教师问3：思考下面的题该如何计算？(1)()()×23=28(2)x6·()()=x10(3)()()×2n=2m+n学生回答：可以把乘法法则反过来利用.教师问4：反过来就我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？学生讨论后解答：（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？教师问5：你是如何计算的呢？学生回答：本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算.
教师问6：能不能试着完成下列各题：计算：(1)28÷23； (2)x10÷x6；(3)2m+n÷2n学生回答：(1)28÷23=25； (2)x10÷x6=x4；(3)2m+n÷2n=2m教师问7：观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5）(1)28÷23=25=28-3； (2)x10÷x6=x4=x10-6；(3)2m+n÷2n=2m=2m-n学生回答：底数不变，指数相减.\n教师总结：同底数幂相除，底数不变，指数相减.教师问8：以上法则能用字母表示吗？学生总结：am÷an＝am－n.教师问9：对指数有何要求吗？学生回答：m，n都是正整数，且m>n.教师总结：am÷an=am–n(m，n都是正整数，且m>n)教师问10：如何验证其正确性呢？学生回答：验证：因为am–n·an=am–n+n=am，所以am÷an=am–n.
教师问11：对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？学生回答：对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).教师问12：计算：am÷am学生计算am÷am时，可能会出现1或a0两个答案.教师顺势归纳：从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定：a0＝1(a≠0).教师问13：为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？学生回答：因为当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.总结点拨：（出示课件6）同底数幂的除法一般地，我们有
am÷an=am–n(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)
即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
\n规定：a0=1(a≠0)
这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.例1：计算：（出示课件7）
(1)x8÷x2;(2)(ab)5÷(ab)2.
师生共同解答如下：解：(1)x8÷x2=x8–2=x6;(2)(ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.
总结点拨：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
例2：已知am＝12，an＝2，a＝3，求am–n–1的值．（出示课件9）师生共同解答如下：解：∵am＝12，an＝2，a＝3，
∴am–n–1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
总结点拨：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am–n–1进行变形，再代入数值进行计算．
2.复习旧知，探究单项式除以多项式的法则教师问14：计算：4a2x3·3ab2学生回答：4a2x3·3ab2=12a3b2x3教师问15：计算：12a3b2x3÷3ab2学生讨论回答：（出示课件11）解法1：12a3b2x3÷3ab2相当于求()·3ab2=12a3b2x3.
由(1)可知括号里应填4a2x3.
\n解法2：原式=4a2x3·3ab2÷3ab2=4a2x3.
理解：上面的商式4a2x3的系数4=12÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.
教师问15：类比上述研究过程计算以下两题.(1)－2x3÷(－x)；(2)8m2n2÷2m2n.学生回答：（1）2x2;（2）4n教师问16：通过计算，你又发现什么规律？学生回答：单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除.师生互动合作交流，得出单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.总结点拨：（出示课件12）单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例3：计算：（出示课件13）(1)28x4y2÷7x3y；(2)–5a5b3c÷15a4b.
师生共同解答如下：解:(1)原式=(28÷7)x4–3y2–1=4xy；(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c\n=-ab2c.总结点拨：单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.
3.师生互动，学习多项式除以单项式的法则教师问17：一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.（出示课件16）学生回答：面积为(a+b)m=ma+mb.教师问18：若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？
学生回答：长为(ma+mb)÷m.教师问19：如何计算(am+bm)÷m?（出示课件17）学生讨论后回答：计算(am+bm)÷m就相当于求()·m=am+bm，教师问20：（）填什么呢？学生回答：a+b教师问21：am÷m+bm÷m=？学生回答：a+b教师问22：观察上边的问题，你发现了什么？学生回答：(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m
教师问23：计算下列各式：\n(1)(ax＋bx)÷x;(2)(a2＋ab)÷a；(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.学生回答：(1)a+b;(2)a+b；(3)2x+y.教师问24：说你是怎样计算的？学生回答：多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.教师问25：它们的项数之间有什么发现吗？师生共同解答如下：在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同.教师问26：你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？（出示课件18）学生归纳，教师点拨：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.教师问27：你能把这句话写成公式的形式吗？学生回答：(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.
关键：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
例4：计算：(12a3–6a2+3a)÷3a.（出示课件19）
师生共同解答如下：解：(12a3–6a2+3a)÷3a
=12a3÷3a+(–6a2)÷3a+3a÷3a
=4a2+(–2a)+1
=4a2–2a+1.
\n总结点拨：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.
例5：先化简，后求值：[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.（出示课件21）
师生共同解答如下：解：原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，＝x–y.把x＝2015，y＝2014代入上式，得原式＝x–y＝2015–2014＝1.
（三）课堂练习（出示课件24-29）1．下列说法正确的是()
A．(π–3.14)0没有意义
B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103
D．若(x＋4)0＝1，则x≠–4
2.下列算式中，不正确的是()
A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4
B．9xmyn–1÷3xm–2yn–3＝3x2y2
C.4a2b3÷2ab＝2ab2
D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)
3.已知28a3bm÷28anb2=b2，那么m，n的取值为( )
A．m=4，n=3B．m=4，n=1\n
C．m=1，n=3D．m=2，n=3
4.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.
5.已知一多项式与单项式–7x5y4的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是______.
6.计算：(1)6a3÷2a2；(2)24a2b3÷3ab；
(3)–21a2b3c÷3ab;(4)(14m3–7m2+14m)÷7m.
7.先化简，再求值：(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.
8.（1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值;
（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值;
（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．
参考答案：1.D2.D3.A4.a+25.–3y3+4xy6.解：(1)6a3÷2a2
=(6÷2)(a3÷a2)
=3a.
(2)24a2b3÷3ab\n
=(24÷3)a2–1b3–1
=8ab2.
(3)–21a2b3c÷3ab
=(–21÷3)a2–1b3–1c
=–7ab2c;
(4)(14m3–7m2+14m)÷7m
=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m
=2m2–m+2.
7.解：原式＝x2–y2–2x2＋4y2
＝–x2＋3y2.
当x＝1，y＝–3时，原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.8.解：(1)32•34x+2÷33x+3=81，即3x+1=34，解得x=3；
(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．
(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．
4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．
（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)a0＝1(a≠0)(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.（五）课前预习\n预习下节课（14.2）的相关内容。了解平方差公式七、课后作业1、教材104页练习1,2,32、某高分子聚合材料的性质优于铝合金材料,且密度为9×102kg/m3,已知铝的密度为2.7×103kg/m3.铝的密度是这种材料密度的多少倍?八、板书设计：九、教学反思：1.本课的主要任务是通过教师引导探究同底数幂的除法法则，使学生通过类比，利用乘除互为逆运算的关系，自主探究完成单项式除以单项式，多项式除以单项式法则的推导.实践证明，学生完全有能力通过探究，在原有的认知结构基础上，建构整式的除法法则.同时，教师应重视引导，力求每个问题都是探索性的，引导他们自己发现，并且节奏紧凑，使学生的大脑一直处于兴奋状态，提高探究效率.2\n.本节的内容是整式的除法,内容较多,分三部分,通过运算要求学生说出式子每一步变形的根据,并要求学生养成检验的好习惯,利用乘除互为逆运算,检验商式的正确性.培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质,训练学生形成一定的计算能力,慢慢培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯.
