小学数学讲义秋季四年级A版第13讲整除特征进阶优秀A版

第13讲第十三讲整除特征进阶知识站牌四年级春季四年级寒假进位制初步质数与合数初步四年级秋季整除特征进阶四年级暑假三年级春季整除性质页码问题涉及数论中的整除特征，及整除特征的综合运用漫画释义第7级下优秀A版教师版1\n课堂引入公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数.毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身.”有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数.圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了.教学目标1.掌握常见数字的整除特征；2.体会位值原理在整除中的运用；3.培养数感以及分析、综合、抽象、概括等思维能力经典精讲一、数的整除判断法：1.尾数判断法:(1)能被2，5所整除的数的特征：看个位．如果一个数的个位数能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除．(2)能被4，25所整除的数的特征：看末两位．如果一个数的末两位能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除．(3)能被8，125所整除的数的特征：看末三位．如果一个数的末三位能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除.2.求和判断法:能被3和9整除的数．如果一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数就能被3（或9）整除．3.数段差判断法：(1)11：如果一个数从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，则这个数就能被11整除，并且算出的差除以11余几就代表这个数除以11余几.(2)7、11、13：把一个数从末三位开始，三位为一段断开，奇数段的和与偶数段的和的差是7，11，13的倍数，则这个数能被7、11、13整除，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被7,11,13除余几就代表这个数除以7,11,13余几.2第7级下优秀A版教师版\n第13讲二、数的整除性质主要有：(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除．(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除．(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除．(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个．(5)几个数相乘，如果其中一个乘数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除．三、试除法：在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最大）.当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数.知识点回顾一、判断．（1）一个自然数不是奇数就是偶数．（）（2）能被2除尽的数都是偶数．（）（3）能同时被25、整除的数个位上的数字一定是0．（）（4）两个奇数的和一定能被2整除．()（5）奇数一定不能被2整除．()（6）个位上是13579、、、、的自然数，都是奇数．()（7）在相邻的两个自然数中，偶数一定比奇数小．()【分析】√、×、√、√、√、√、×二、下面6个自然数：152、660、414、4375、9064、24125中，（1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？（2）哪些能被4整除？哪些能被25整除？（3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？（4）哪些能被3整除？哪些能被9整除？【分析】（1）能被2整除的数有152，660，414，9064能被5整除的数有660，4375，24125（2）能被4整除的数有152，660，9064能被25整除的数有4375，24125（3）能被8整除的数有152，9064能被125整除的数有4375，24125（4）能被3整除的数有660,414能被9整除的数有414第7级下优秀A版教师版3\n例题思路模块一：数的整除特征应用（例1、例2、例3）；模块二：试除法的运用（例4）；模块三：整除综合运用（例5）；例1⑴28□，32□既能被2整除，又能被3整除．⑵□15，22□既能被3整除，又能被5整除．【分析】⑴这些数要能被2整除，则个位上可以填0、2、4、6、8，但是同时又要能被3整除，因此各个数位上的数字的和能被3整除，则答案有282、288；312、342、372.⑵这些数要能被5整除，则个位上可以填0、5，但是同时又要能被3整除，因此各个数位上的数字的和能被3整除，则答案有315、615、915；225．【想想练练】在50，4的每个里分别填上一个数字，使它们都能同时被2、3、5整除．【分析】这些数要同时能被2、5、3整除，则个位上填0，其次各个数位上的数字的和能被3整除，则答案有510、540、570；420、450、480．例2下面五个自然数：128114、94146、64152、6139、491678中，哪些能被7整除？哪些能被11整除？哪些能被13整除？（学案对应：学案1）【分析】能被7整除的数：128114、6139能被11整除的数：64152、491678能被13整除的数：941464第7级下优秀A版教师版\n第13讲数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支.素有“数学王子”之称的19世纪德国数学大师高斯就曾说过，数学是科学的皇后，数论是数学的皇后.由于整数的性质复杂深刻，难以琢磨，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科.美国芝加哥大学著名数学家迪克森(L.E.Dickson)就曾说过：感谢神使得数论没有被任何应用所玷污.20世纪世界级数学大师、剑桥大学的哈代也曾说过：数论是一门与现实、与战争无缘的纯数学学科.哈代本人则因主要从事数论的研究而被尊称为“纯之又纯的纯粹数学家”.当然，上述两位大数学家所说的并不完全符合今天的现实.事实上，在计算机科学与电子技术深入发展的今天，数论已经不仅仅是一门纯数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，比如在今天，数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电子、通讯，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用.例3小新一共买了28支价格相同的钢笔给大家作为奖品，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？（学案对应：学案2、学案3）【分析】9□.2□元=9□2□分，2847，4和7均能整除9□2□，4｜2□可知□处能填0或4或8.因为7不能整除9020，7不能整除9424，7｜9828，所以□处应该填8,即9828分98.28元，98.28283.51(元)【想想练练】学校买了72只足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是□67.9□元，你知道每只足球多少钱吗？【分析】72=8×9，能被8整除，个位只能是2；6+7+9+2=24，能被9整除，27-24=3.所以，总价是367.92，每只足球5.11元.例41、如果2□□能被79整除，那么它的末两位数是多少？2、如果2098□□能被90整除，那么它的末两位数是多少？（学案对应：学案4）【分析】采用试除法1、299÷79=362，所以减去62，末两位数是37.第7级下优秀A版教师版5\n2、209899÷90=233219，所以减去19，末两位数是80.【想想练练】：如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【分析】19929910518989，所以减去9，末两位数的方格内填入90即可．例51、20092009能否被11整除？2、20092009200909能否被11整除？3个20093、20092009200909能被11整除，那么，n的最小值为多少？n个20094、200920092009736能被11整除，那么，n的最小值为多少？n个2009【分析】1、奇数位数字之和为9+9=9×2=18，偶数位数字之和为2+2=2×2=4，奇数位减偶数位的差为9×2-2×2=（9-2）×2=14，不是11的倍数，所以20092009不能被11整除.2、奇数位数字之和为9+9+9+9=9×4=36，偶数位数字之和为2+2+2=2×3=6，奇数位减偶数位的差为9×3-2×3+9=（9-2）×3+9=30，不是11的倍数，所以20092009200909不能被113个2009整除.3、20092009200909中奇位数减偶位数的差为(92)n97n9，当n5时，(7n9)n个2009是11的倍数，所以n的最小值是5.4、奇数位数字之和为672n，偶数位数字之和为39n，这个多位数整除11，即(39)(67n2)n7n10能整除11，n最小取3．动物医院里的狗医生和猫护士共重27千克．如果狗医生的重量是奇数，而且他的重量是她的2倍，那狗医生和猫护士各重多少千克？【答案】狗小姐重9千克；猫先生重18千克杯赛提高6第7级下优秀A版教师版\n第13讲在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除．则ABCDEF的最小值是；已知当ABCDEF取得最大值时C0，F6，那么ABCDEF的最大值是________.【分析】求最小值，先看A,最小偶数为2，然后AB被3整除，B最小为1，然后依次推出C0.D7,E6,F9求最大值与上述方法类似.最后求出最大值为840736.知识点总结一、数的整除判断法：1.尾数判断法:(1)能被2，5所整除的数的特征：看个位．如果一个数的个位数能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除．(2)能被4，25所整除的数的特征：看末两位．如果一个数的末两位能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除．(3)能被8，125所整除的数的特征：看末三位．如果一个数的末三位能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除.2.求和判断法:能被3和9整除的数．如果一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数就能被3（或9）整除．3.数段差判断法：(1)11：如果一个数从右边开始数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除；如果算出的差不是11的倍数，那么这个差除以11余几就代表这个数除以11余几.(2)7、11、13：把一个数从末三位开始，三位为一段断开，奇数段的和与偶数段的和的差是7，11，13的倍数，则这个数能被7、11、13整除；如果算出的差不是7、11、13的倍数，那么这个差被7,11,13除余几就代表这个数除以7,11,13余几.二、数的整除性质主要有：(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除．(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除．(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除．(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个．(5)几个数相乘，如果其中一个乘数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除．三、试除法：在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最大）.当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数.家庭作业第7级下优秀A版教师版7\n1、下面6个自然数：1036,968,2205,4105,123123,1001中．哪些能被7整除？哪些能被11整除？哪些能被13整除？【分析】能被7整除的数：1036、2205，123123,1001.能被11整除的数：968、123123,1001.能被13整除的数：123123,1001.2、若四位数98aa能被5整除，则a代表的数字是．【分析】a代表的数字是0或5．3、393□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入2个数字，所得到的2个四位数依次可被11，8整除．”问：数学老师先后填入的2个数字的和是多少?【分析】11|393a11|(9a33)11|(3a)a88|393a8|93aa6所以两个数字的和为86=14.4、有一个四位整数12□□，如果要让这个四位数能被89整除，那么这个四位数的末两位上应是什么数？【分析】试除法.1299÷89=14.....53，1299-53=1246.所以，这个四位数的末两位应是46.5、六位数5308能被99整除，是多少？【分析】利用99的整除性，□□+08+53=99，□□=99-8-53=38.6、200920092009200909能否被11整除？4个2009【分析】奇数位数字之和为9+9+9+9+9=9×5=45，偶数位数字之和为2+2+2+2=2×4=8，奇数位减偶数位的差为45-8=37，不是11的倍数，所以200920092009200909不能被11整除.4个2009A版学案【A版学案1】下列数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？哪些能被7整除？哪些能被11整除？414105726731320596【分析】能被4整除的数有1320，596，能被8整除的数有1320，能被9整除的数有414，2673能被7整除的数有1057，能被11整除的数有2673,13208第7级下优秀A版教师版\n第13讲【A版学案2】173□是一个四位数，老师在这个□中先后填入两个数字，所得到的两个四位数，依次可被9、11整除，老师填入的两个数字和是多少？【分析】能被9整除，□填7；能被11整除，□填8.所填两个数字的和为15.【A版学案3】七位数3A8629B是88的倍数，求A和B.【分析】88=11×8.个位只能为6,3+8+2+6=9+6+A=19,A=4.所以A=4，B=6.【A版学案4】六位自然数1082□□能被12整除，末两位数最大是．【分析】因为10829912902411，所以10829911108288能被12整除，且符合末两位是最大.第7级下优秀A版教师版9