小学数学讲义秋季五年级超常第6讲神奇的9超常体系

第6讲第六讲神奇的9知识站牌五年级春季五年级寒假带余除法因数与倍数进阶五年级秋季神奇的9五年级秋季因数与倍数初步五年级暑假质数与合数进阶综合数字谜和数论的弃九法漫画释义第9级下超常体系教师版1\n课堂引入九，这个数字王国中的明珠，它太神奇，太美妙啦！得到人们最高的崇尚，最好的赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱.看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数10差1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九之规律所在，你会为此兴奋不已，感叹不尽.可你要知道，你这也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳而已！要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，无论是哪个数学爱好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的钻研.那么我们今天就研究一下九到底神奇在什么地方？教学目标1、掌握加减法数字和与9的关系2、掌握多位数的计算中数字和与9的关系3、了解9在余数与数字谜中的应用知识点回顾9的整除特征：一个数各数位数字和能被9整除，这个数就能被9整除.1.在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数.请随便填出一种，并检查自己填的是否正确.【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4□32□是9的倍数，而4329,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．依次填入3、6，因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数.2.一个数字互不相同的四位数乘以9后，得到它的反序数，则原数为多少？【分析】1089×9=98013.计算：12345679×9【分析】12345679×9=111111111例题思路模块1：例1-3，加减法中数字的规律2第9级下超常体系教师版\n第6讲模块2：例4-5，弃九法模块3：例6-8，弃九法在数字谜中的应用例1通过枚举一些数回答下面的问题.(1)A的数字之和为5,B的数字之和为3,则A+B的和的数字之和为____.(2)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A+B进位1次,则A+B的和的数字之和为____.(3)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A-B没有借位,则A-B的差的数字之和为____.(4)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A-B借了1次位,则A-B的差的数字之和为____.通过上面几道例题,你能否总结出数的加减与数字之和或差的关系.（学案对应：超常1）【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,…可发现结果为5+3=8;(2)591+58=649,555+904=1459,…可发现结果为15+13-9=19(3)555-535=20,5127-4126=11,…可发现结果为15-13=2(4)555-418=137,5622-5503=119,…可发现结果为15-13+9=11结论:(1)若A的数字之和为x,B的数字之和为y,A+B进位k次,则和的数字之和为x+y-9k(2)若A的数字之和为x,B的数字之和为y,A-B借位k次,则差的数字之和为x-y+9k原因:求和时,会将低位的10当成高位的1用,因此数字和会减少9;求差时,会将高位的1当成低位的10用,因此差的数字之和会增加9.【巩固】A的数字之和为46,B的数字之和为54,A+B进位9次,则A+B的和的数字之和为____.【分析】46+54-9×9=19例2如下式,从1-9中选出6个不同的数字填入方框中,使竖式成立,则方框中的6个数字之和为_____1209（学案对应：带号1）【分析】由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位，百位相加均进位了，因此共进位2次，由例1的结论可知：原来六个数字之和为1+2+9+9×2=30.例3（1）111111×999999乘积的各位数字之和为______.（2）33333336666666乘积的各位数字之和为_____.（3）1993×123×999999乘积的各位数字之和为______.第9级下超常体系教师版3\n（4）M999...9(其中M为自然数，且M≤999...9)乘积的各位数字之和为_______．k个9k个9（5）111...11111...11乘积的各位数字之和为_______.1989个11989个1（学案对应：带号2）【分析】（1）法1：观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中999999很接近1000000,于是我们采用添项凑整，简化运算.原式=111111×(1000000-1)=111111×1000000-111111×1=111111000000-111111=111110888889数字之和为9654法2：原式=111111×(1000000-1)=111111×1000000-111111×1=111111000000-111111两式相减，借位6次，所以差的数字之和为6-6+9×6=54（2）法1：本题可用找规律方法：3×6=18；33×66=2178；333×666=221778；3333×6666=22217778；……所以：33....366....622...2177...78，则原式数字之和26176863n个3n个6(n-1)个2(n-1)个7法2：原式99999992222222(100000001)222222222222220000000222222222222217777778所以，各位数字之和为7963法3：原式99999992222222(100000001)2222222222222200000002222222两式相减，借位7次，所以差的数字之和为6-6+9×7=63（3）我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000-1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．设1993×123=M，则(1000×123=)123000<M<(2000×123=)246000，所以M为6位数，并且末位不是0；令M=abcdef则M×999999=M×（1000000-1）=1000000M-M=abcdef000000-abcdef相减时借位6次，所以差的数字之和为（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+6×9=54M999...91000MM（4）相减时借位k次，因此差的数字之和为M的数字之和-Mk个9k个0的数字之和+9k=9k4第9级下超常体系教师版\n第6讲1（5）111...11111...11999...99111...11999...99N，其中N＜999...9991989个11989个11989个91989个11989个91989个9所以111...11111...11的各个位数字之和为：9×1989=179011989个11989个1神奇的九九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将天称为“九天”、“九重”、“九霄”；将地划为“九州”、“九域”；将宗庙称为“九庙”；道路谓之“九陌”；山有“九崇”；水曰“九河”；地有“九泉”；人分“九级”；官为“九品”。在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位；作为一个数学爱好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。《易经》上说，九数含有吉祥的意思，如果按照"阴阳"来说，奇数为阳，偶数为阴，而九是阳数中最大的，称为"极阳数"。十是一个完美的数，而九接近十而不到十，具有很强的倾向性，数字只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。也许，就是这个原因，九有着最多的奇妙特点，最多的趣味性质。九有一个非常奇妙的性质，是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以九的余数，则只要将这个数各位数字相加，其和除以九的余数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点，总使数学爱好者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常用“弃九”法验算学生的算式是否有误。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数是一个非常和谐圆满的数系。例4根据整除的特征，我们知道一个数能否被9整除，只需要看其各个数字之和即可.而一个数除以9的余数，也可以用其各个数字之和除以9计算.例如712÷9的余数与（7+1+2）÷9的余数是一样的.通过以上文字，判断以下（1）（2）（3）题各数除以9的余数分别是多少？（整除时，余数认为是0）（1）57，359，687，2457，35698，123456789（2）12345678910…99（3）135791113…99（4）12345678910…20122013的数字之和为A，A的数字之和为B，……，直到某个数字之和为一位数为止，则这个一位数是______.（学案对应：超常2，带号3）【分析】（1）除以9的余数可以在数中将和为9的数直接划去，再用剩下的数计算余数.结果分别为：3，8，0，0，4，0（2）任意连续9个自然数之和必定是9的倍数，因此在连续数求除以9的余数时，可以9第9级下超常体系教师版5\n个数直接划去.99可以分成11组连续9个数.因此余数为0.（3）等差数列中9个连续的也可以直接划去.1到99中的奇数共50个.50÷9余数为5，最终剩下5个数，设剩下前5个，而13579÷9余7，因此余数为7.（4）实际是求除以9的余数.2013÷9余6，剩下前6个数.而123456÷9余3，因此最后剩下的一位数为3.2009【拓展】设2009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D，那么D______.2009【分析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以2009与A、B、20092009C、D除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则2009除以9的余数与2除以9334620096334565的余数相同，而264除以9的余数为1，所以2222除以9的余数为52除以9的余数，即为5．2009200980362009另一方面，由于20091000010，所以2009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324，即A72324；那么A的各位数字之和B9545，B的各位数字之和C9218，C小于18且除以9的余数为5，那么C为5或14，C的各位数字之和为5，即D5．【拓展】1234567891011121314…20082009除以9，商的个位数字是_________.【分析】首先看这个多位数是否能被9整除，如果不能，它除以9的余数为多少.由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除.由于200992232，所以1234567891011121314…20082009这个数除以9的余数等于20082009（或者12）除以9的余数，为3.那么1234567891011121314…20082009除以9的商，等于这个数减去3后除以9的商，即1234567891011121314…20082006除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为4.例5如果等式成立，则等式两边除以同一个数的余数也一定是相等的.利用这一特点，如果等式两边除以同一个数的余数不相等，则这个等式一定是错误的.在长期的计算中，人们发现用两边都除以9可以比较快的验算出等式是否成立.这种方法也叫弃九法.检验下面的算式是否正确：（1）46872×9537=447156404（2）383831÷253=1517【分析】（1）46872是9的倍数，447156404÷9余8，即左边是9的倍数，而右边不是，因此算式错误.（2）化除为乘，即判断253×1517=383831是否正确.253÷9余1，1517÷9余5，最终左边除以9的余数为1×5=5.右边383831÷9的余数为8，因此算式错误.注：弃九法仅能判断出错误，若左右两边余数相等，等式不一定成立.如：18×365=6480.左右两边均是9的倍数，但算式却是错误的.【拓展】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________.【分析】根据弃九法可得知，乘积是310313171113，适当组合可得知两数为317217和6第9级下超常体系教师版\n第6讲1113143，和为360.例6（1）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中，选出9个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是____.□□+□□□+□□□□=2010（2）将0-9放入下面的10个方框中，使等式成立，则减数处的数字是_____.□□□□+□□□+□□－□=2010（3）下面算式由1～9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字.那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是_______.最大值是_____.（学案对应：超常3）【分析】（1）根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍．由于2010的各位数字之和为3，而0+1+2+…+9=45，所以应该从中去掉6．（2）设减数为x，则左边等于□□□□+□□□+□□+x-2x，除以9的余数与45-2x的除以9余数相同.右边的余数是3，当x=3时，左右余数会相等.所以减数处的数字是3.（3）9个数字选8个，即有一个数字未选.设未选的数字为x，则45-x除以9的余数与2010除以9的余数相同.当x=6时成立，即未选中的数字为6.这样加数的数字之和为45-6=39，而和的数字之和为3，差为36，即进位4次.为了“数学解题”与“能力”的差最小，则“数学解题”越小越好.由进位可知，当十位向百位进2时，“数学”最小.其他的个位向十位进1，百位向千位进1.之后构造出一种答案.184295732010于是差最小为1842-95=1757.最大值时，十位向百位进1，其他的个位向十位进2，百位向千位进1.之后构造出一种答案.194825372010差最大为1948-25=1923例7用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．（学案对应：超常4，带号4）第9级下超常体系教师版7\n【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的和除以9的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以9的余数，而这五个四位数的各位数字之和为0129290，除以9的余数为0，所以这五个四位数的和除以9的余数也是0，也就是说这五个四位数的和是9的倍数．由于每个四位数都小于10000，所以这五个四位数的和小于50000，那么这个和的首位不超过4，由于各位数字都是奇数，所以首位最大为3，千位和百位最大为9．当前三位分别为3、9、9时，要使这个和是9的倍数，后两位数字的和除以9应余6，可能为6和15；然而这两个数都是奇数，它们的和为偶数，所以只能是6，那么这两个数应分别为5和1才能使和最大，此时最大和为39951．而当这五个四位数分别为9348，9247，8236，7115，6005时，它们的和恰好为39951，因此所求的最大值为39951．注：最值问题，需要证明出理论最值，之后构造成功后才行.例8下图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，不同的汉字代表不同的数字.如果“北”和“京”分别代表1和9.请写出“奥运会”所代表的所有的三位整数，并且说明理由.北奥运会=京梦想成真【分析】设“奥运会”对应的字母分别为ABC,,;“梦想成真”对应的字母为DEFG,,,，因为9ד奥运会”=“梦想成真”，∴“梦想成真”为9的倍数于是：“D”＋“E”＋“F”＋“G”为9的倍数而：“D”＋“E”＋“F”＋“G”最大为：8＋7＋6＋5=26最小为：2＋3＋4＋5=14所以：“D”＋“E”＋“F”＋“G”=18“A”、“B”、“C”、“D”、“E”、“F”、“G”分别代表2-8所以：“A”＋“B”＋“C”=2＋3＋……＋8-18=17可以得出：“A”、“B”、“C”必是下面四组中的一组：8、7、28、6、38、5、47、6、4ABC×9DEFG9倍再加原来的数，即为原来的数的10倍。即ABC+DEFGABC0根据数字和分析，加数的数字之和为A+B+C+D+E+F+G=35，和的数字和为A+B+C+0=17，35-17=18，说明进了两次位，个位一定向十位进一位，百位一定向千位进一位，所以十位没有向百位进位。所以有CG10,BF1C,进而有BFG9234所以有G2,3,48第9级下超常体系教师版\n第6讲当G2时，C8:情况1：B3,F4,A=6(8,6,3的组合),有63857426380情况2：B=4,F=3,A=5(8,5,4的组合)，有548+4932=5480（舍）以下只写正确答案.当G3时，C7,B4,F2,A=6,有64758236470当G4时，C6,B3,F2,A=8,有83675248360所以“奥运会”有836，647，638共3种取值．数字谜有人写了一个横式：ABCDEFF=999999,不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，那么六位数ABCDEF是多少？答：ABCDEF=142857知识点总结结论1：(1)若A的数字之和为x,B的数字之和为y,A+B进位k次,则和的数字之和为x+y-9k(2)若A的数字之和为x,B的数字之和为y,A-B借位k次,则差的数字之和为x-y+9k结论2：M999...9(其中M为自然数，且M≤999...9)乘积的各位数字之和为9k.k个9k个9家庭作业1.A的数字之和为100,B的数字之和为50,A-B借了5次位,则A-B的差的数字之和为____.【分析】100-50+5×9=952.下边的加法算式中，每个“□”内有1个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到．第9级下超常体系教师版9\n【分析】法1：末尾和最大24，十位和最大18，百位和最大18，24+18+18=60法2：三个数字相加，最高可进2位.上式中均可进2位，因此方框内的数字之和最大为2+4+9×6=603.555333乘积的各位数字之和为_____.2007个52007个35552007个5【分析】555333999N99932007个52007个32007个92007个9，N为整数，由结论可知乘积的各位数字之和为2007×9=18063.4.将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数.【分析】法1：以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于19992000被9除的余数，但是由于1999与1999被9除的余数相同，2000与2000被9除的余数相同，所以19992000就与19992000被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余120082008数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：2017036，它被9除的余2数为1．法2：还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．因此，此数被9除的余数为1．5.求4782569352除以9的余数.【分析】47819291，2561394，3521091，4782569351除以9的余数等于1414．6.将数字1至9分别填入下边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？12008【分析】9个方框中的数之和为45．三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，10，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有1819845．所以三个加数的个位数字之和为18，十位数字之和为19，百位数字之和为8．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；则四位数的加数个10第9级下超常体系教师版\n第6讲位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125．7.在下边的加法算式中，若每个字母均表示0到9中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相同，也不与算式中已有的数字相同，则A与B乘积的最大值是多少？ECF9DG10AB【分析】因为ECF9DG10AB，等号两边除以9的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是9的倍数，即10AB是9的倍数，由于AB7815，所以AB8，再根据“和一定，差小积大”，所以A、B的取值为3、5时，A与B乘积的最大值是15．8.在下面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数华杯初赛的最大值是.兔年十六届华杯初赛2011【分析】显然“华”=1.总共有9个数字，也就是说0到9中有一个不能用，根据弃九法，5不能用.每进一位数字和减少9，0+1+2+3+4+6+7+8+9-(2+0+1+1)=36，所以共进4位.所以个位和十位之一需要进两位，有两种可能：(1)个位数字之和为11，十位数字之和为20，百位数字之和为8；(2)个位数字之和为21，十位数字之和为9，百位数字之和为9.为了让“华杯初赛”尽量大，“杯”应尽量大，“十”应尽量小.“十”最少为2，优先考虑情况(2)，此时“杯”可以等于7.剩余数字0，3，4，6，8，9，个位和为21的显然是4+8+9，十位和为9的剩下0+3+6，所以最大为1769.不必再考虑(1)了.超常班学案【超常班学案1】甲数各位数字之和是9，乙数各位数字之和是10，当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式做减法运算时，有2次借位.那么甲乙两数之差的各位数字之和是____.【分析】9-10+2×9=17【超常班学案2】将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=13579111315171921……9799101103.则数a共有_____位，数a除以9的余数是___.【分析】法1：一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a是一个5+2×45+3×2=101（位）数.从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1，3，5，7，0，2，第9级下超常体系教师版11\n4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，…，从1开始，每周期为9个数1，3，5，7，0，2，4，6，8的循环.因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余数为0，从1-89恰为5个周期，所以这个101位数a被9除的余数为1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4.法2：一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同，利用这条性质，a=13579111315171921……9799101103中13579的数字和被9除的余数是7，而111315171921……9799所有数字之和被9除的余数是0，101103的数字和被9除的余数是6.所以，a被9除的余数是（7+6）被9除的余数，是4.【超常班学案3】把0，1，2，…，8，9这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一次，那么加数中的三位数的最小值是多少？2007【分析】从式中可以看出，千位上的方框中的数为1，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为10．由于三位数的百位上不能为1和0，所以要使三位数最小，它的百位应该为2，十位应该为0．那么十位向百位的进位为1，所以四位数的百位为7，且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和为10．又剩下的数字3，4，5，6，8，9中除3+4+5+6=18只向十位进1外，其余任选四数字的和都大于20，由于3+4+5+6的尾数不为7，所以个位上四个数字不能是3，4，5，6，所以个位向十位进位为2，也就是十位上的三个方框中的数的和为8(其中有一个为0)，而剩下的3，4，5，6，8，9中只有3+5=8，所以个位上的四个方框中的数为4，6，8，9，那么加数中的三位数最小为204.【超常班学案4】用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最小是．【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的和除以9的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以9的余数，而这五个四位数的各位数字之和为0129290，除以9的余数为0，所以这五个四位数的和除以9的余数也是0，也就是说这五个四位数的和是9的倍数．最高的前2位和最小为10+10+23+24+34=101，而和的数字均是奇数.因此前三位最小为111，要使结果为9的倍数，最后2位最小可以为15.即和最小为11115.构造如下：1099+1088+2547+2646+3735=11115123班学案【超常123班学案1】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于_______．12第9级下超常体系教师版\n第6讲第十一届+华杯赛2006【分析】法1：显然十位和百位都出现了进位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“华”=9，如果“届”“赛”没有出现进位，那么“一”“杯”=10，“届”“赛”=6，那么“届”和“赛”一个是2另一个是4，那么“一”“杯”中有一个小于5的数必然是3，另一个是7，这样的话就不存在不重复的“十”和“华”使它们的和是9，所以“届”“赛”必定出现进位．由于“届”“赛”出现进位，那么“一”“杯”9，“届”“赛”16，所以7个汉字代表的7个数字之和等于1991635．经过尝试“十”、“华”、“一”、“杯”、“届”、“赛”分别是3、6、4、5、7、9时可满足条件(答案不止一种)．法2：本题也可采用弃九法．由于第十一届华杯赛2006，所以第+十+一++届华+杯+赛除以9的余数等于2006除以9的余数，为8．由于“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，且不同的汉字代表不同的数字，假设1～9中的另外两个数为a和b，那么第+十+一++届华+杯+赛45ab，故45ab除以9的余数为8，则ab除以9的余数为1．由题意可以看出“第”1，所以a、b不能为1，则202ab8917，其中满足除以9余1的只有10，所以ab10，第+十+一++届华+杯+赛45ab451035．【超常123班学案2】如果A333333333，那么A的各位数字之和等于.2010个3【分析】10A3033033303330，所以9A333033333327300，2010个32010个32010次2006个3A333273009370370370369700，数字和为66810256705.2006个3668个370【超常123班学案3】将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是________．【分析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．1～9共有9个数字，10～99共有90个两位数，共有数字：902180(个),100～999共900个三位数，共有数字：90032700(个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是702，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978(组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27．【超常123班学案4】将数字0-9填入下面10个方框内，使等式成立，则共有_____种不同的填法.第9级下超常体系教师版13\n【分析】设加数的数字之和为x，和的数字之和为y，则x+y=0+1+2+…+9=45，且x,y除以9的余数相同，只有x,y均为9的倍数时符合要求.再由数字谜的特点可知，1，0，9的位置固定，如下图.ECF9DG10AB1+0+A+B是9的倍数，只能等于9，即A+B=8=2+6=3+5=5+3=6+2.A，B共4种情况，每种情况下，E，F，G可以互换，C，D可以互换.当A，B为2，6时，C+D=11=3+8=4+7有2种成立的情况.因此共有53!2!60种不同的情况.14第9级下超常体系教师版