小学数学讲义秋季五年级超常第8讲排列组合进阶超常体系

第8讲第八讲排列组合进阶知识站牌五年级春季五年级秋季概率初识几何计数进阶五年级秋季排列组合进阶五年级暑假枚举法进阶四年级春季排列组合初步介绍捆绑法，插板法，插空法等计数方法.漫画释义1第9级下超常体系教师版\n课堂引入有10个年轻人到一家饭馆去吃饭,为座位该如何安排的问题发生了争吵.饭馆的老板给他们提了一个建议，他们便停止了争吵，并非常愿意接受老板的建议.老板的建议是：“假如你们今天按一个排列的次序坐，明天来吃午饭时，再按另一个次序入座.这样，当你们10个人的次序都变换完了，再也不会有新的次序出现的时候，从那天起，我免费供应你们最好的午餐.”但一连过了几个月，新的次序还没有排完，这些年轻人仔细一算，才知道，要这样吃下去根本吃不到免费的午餐.为什么？答案：10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800种3628800/365≈9942年如果要想排到不再有新的次序，需要轮上差不多9942年.所以根本吃不到免费午餐.教学目标1.熟悉排列组合常用的几种方法2.灵活运用排列组合的特点用对应的方法解决对应的题目.经典精讲排列组合公式：m1.排列数公式：Ann(1)(n2)(nm1)nn2.全排列公式：An!n(n1)(n2)21nmnn(1)(n2)(nm1)3.组合数公式：Cnm!4.关于组合数的几个重要结论：0nmnm012nnCnCn1CnCnCnCnCnCn2排列组合常用的方法：1.优限法（特殊位置/元素优先考虑）2.捆绑法（相邻问题）3.插空法（不相邻问题）4.大除法（有相同元素排列，圆圈排列，平均分组等问题）5.插板法（相同元素分组问题）6.排除法（正难则反）7.对应法（化归策略）2第9级下超常体系教师版\n第8讲知识点回顾m21.已知：Ann(1)(n2)(nm1)，如A5420.试计算下面几题：n5A3____；A2_____；A3____；A3_____.46105n32.已知：n!Annn(1)(n2)21，如3!A33216.试计算下面几题：4!___；5!____；6!____；7!___.m2mAnnn(1)(n2)(nm1)2A5543.已知：Cn，如C510.试计算下面几题：m!m!2!212323C4___；C5___；C7____；C6____.mnm234.已知：CnCn，如C5C5.试计算下面几题：C3___；C4___；C5___；C98___.457100【分析】1.24，30，720，602.24，120，720，50403.6，10，21，204.4，5，21，4950例题思路例1：优限法例2：捆绑法例3：插空法例4：大除法例5，6：插板法例7：对应法例8：排列组合综合例14名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．【分析】⑴先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人8随意排，也就是8个元素全排列的问题，有A8765432140320(种)选择．由8乘法原理，共有640320241920(种)排法．3第9级下超常体系教师版\n2⑵甲、乙先排，有A2212(种)排法；剩下的7个人随意排，有7A76543215040(种)排法．由乘法原理，共有2504010080(种)排法．72⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有A212(种)不同排列方法，再分别2对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有45A432124(种)和A54321120(种)排法．45由乘法原理，共有2241205760(种)排法．4⑷先排4名男生，有A432124(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有45A54321120(种)排法．由乘法原理，一共有241202880(种)排法．5例24个男生2个女生共6人站成一排合影留念，有___种不同的排法;要求2个女生紧挨着有___种不同的排法;如果要求2个女生紧挨着排在正中间有____种不同的排法.【分析】⑴4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一个位置的人，有6种选择；第二步，确定第二个位置的人，有5种选择；第三步，排列第三个位置的人，有4种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有654321720种排法．⑵法1：分为三步：第一步：4个男的先排，一共有432124种不同的排法；第二步：2个女的排次序一共有2种方法；第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5个位置可插．根据乘法原理，一共有2425240种排法．法2：将2个女生当成一个人，这样就相当于5个人排队，共有5!120种排法，但2个女生还可以左右换位置，所以共有2×120=240种排法.（3）根据题意分为两步来排列．第一步，先排4个男生，一共有432124种不同的排法；第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法．根据乘法原理，一共有24248种排法．【铺垫】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?【分析】把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排列，所以9共有A362880．9【巩固】A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多少种不同的排列方法？【分析】法1:七人排成一列，其中B要与C相邻，分两种情况进行考虑．5若B站在两端，B有两种选择，C只有一种选择，另五人的排列共有A种，所以这种情况55有21A240种不同的站法．若B站在中间，B有五种选择，B无论在中间何处，C都555有两种选择．另五人的排列共有A5种，所以这种情况共有52A51200种不同的站法．所以共有24012001440种不同的站法．法2:由于B与C必须相邻，可以把B与C当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的全排列，另外注意B、C内部有2种不同的站法，6所以共有2A1440种不同的站法．64第9级下超常体系教师版\n第8讲阶乘与双阶乘阶乘(factorial)是基斯顿·卡曼(ChristianKramp,1760～1826)于1808年发明的运算符号.阶乘，也是数学里的一种术语,指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数.如：n!n(n1)(n2)21另外，数学家定义，0！=1.通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的，小数没有阶乘，像0.5！，0.65！，0.777！都是错误的.双阶乘用“m!!”表示.当m是自然数时，表示不超过m且与m有相同奇偶性的所有正整数的乘积.如：(2n1)!!135(2n1)(2)!!246n2n例36名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排.（1）若A、B两人必须相邻，一共有____种不同的站法；（2）若A、B两人不能相邻，一共有____种不同的站法；（3）若A、B、C三人不能相邻，一共有____种不同的站法.（学案对应：带号1）【分析】（1）若A、B两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为25AA=2×120=240（种）25（2）法1：排除法.A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件，因为不6加任何条件的站法总数为A=720（种），所以A、B两个人不能相邻的站法总数为6720-240=480（种）．法2：插空法.先排C，D，E，F四人，共有4！=24种排法，这时四人共产生了5个空位（包2含两端），在这5个空位上选2个位置站人，一定不会相邻.因此共有24A480种站法.5（3）注：此题若用排除法，需要排除三人相邻及任意两人相邻的情况，不是特别简单.3插空法.3!A6241444【巩固】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有____种不同的放法.3543【分析】四盆黄花摆好后，剩下5个位子可插进红花，选三个位置将三盆红花插入，C==10，5321所以有10种选择.【巩固】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？【分析】要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有3名女5第9级下超常体系教师版\n34生，考虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位．则站法总数为：A3A4624144（种）例4（1）6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排.若A必须在B的前面（可以不相邻），则有____种站法；若A在B的前面（可以不相邻），B在C的前面（可以不相邻），则共有____种站法.（2）6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一圈，共有____种站法.（旋转后相同算一种）（3）6名小朋友A、B、C、D、E、F平均分成三组，每组两个人，共有___种分法.（组与组不做区分）（学案对应：超常1）6!【分析】（1）A在B前面，可认为全排列后，除去AB之间的排列方式，即360种.A，B，C2!6!定序时，可需要在全排列的基础上，除去ABC之间的排列方式，即120种.3!（2）法1：可先固定一人，其他人就只有5！=120种站法.法2：6人站一圈，共有6！种站法，但每种站法都可以旋转6次，因此要除以6才是不同6!实质的站法.答案为120.6（3）法1：6人中先选2人作为第一组，再剩下4人中选2人作为第二组，最后的2人作222CCC642为第3组，因为组与组不做区分，因此要除以组数的全排列.答案为153!法2：随意排6个人，共有6！种排法，将人按2人一组截开，组内人可以互换，三个组也6!可以互换，因此共有15种分法。2!2!2!3!【巩固】10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？【分析】法1:大除法．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共就有71070种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，却算作了两种，所以最后的结果应该是(10111)10235(种)．2法2:排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为C，而被选的两102个人相邻的情况有10种，所以共有C10451035(种)．10例510个相同的球完全分给3个小朋友.（1）若每个小朋友至少得1个，那么共有___种分法.（2）若每个小朋友至少得2个，那么共有___种分法.（3）若可以有小朋友不得，那么共有___种分法.（学案对应：超常2）【分析】（1）题是标准的插板法.只要在10个球的9个间隔中插入2个板就可以达到题目的要求.298因此（1）题答案为C36.921（2）题每人至少2个，不符合插板法，但我们可以先拿出3个球放在每个人的面前，现在6第9级下超常体系教师版\n第8讲265就变成7个球完全分给3个小朋友了，答案为C15.621（3）题可以有人不得，可以先分完后，再借3个球，在每人面前放一个，这样每人的面前都至少是1个.而此时相当于13个球分给3个小朋友，每人至少一个了.答案为21211C1266.21【巩固】12个苹果分给4个人，每人至少1个，则共有___种分法.311109【分析】C16511321【巩固】15个苹果分给4个人，每人至少2个，则共有___种分法.31098【分析】C1201541321【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？63【分析】10块糖有9个空，选6个空放挡板，有C9C984(种)不同的吃法．【拓展】插板法：前提：1.物品相同；2.人不同；3.完全分完，并且完整；4.每人至少1个.结论：m个相同的物品完全分给n个人n1（1）若每人至少1个，则共有Cm1种分法；n1（2）若每人至少k个，则共有Cm1nk(1)种分法；n1（3）若有人可以不得，则共有Cmn1种分法.应用：以下字母均为整数，求下面几式的解的个数.298（1）xyz10(,,xyz1)答案：C36921265（2）xyz10(,,xyz2)答案：C156212（3）xyzm(,,xyzk)答案：Cm1nk(1)21211（4）xyz10(,,xyz0)答案：C661221n1（5）aaaam(ak)答案：C123nim1nk(1)【拓展】一支足球队除了守门员还有10个队员上场比赛，教练在比赛前会按照“后场，中场，前场”的位置把这10个人排兵布阵．比如常见阵型“4，3，3”就代表后场4人，中场3人，前场3人这样的阵型．当然，你也可以排出“0，0，10”这样疯狂进攻的阵型（后场中场都不要人了，全跑前场去）．现在，请你算一算一共可以排出多少种不同的阵型．（管他输赢呢）2【分析】C6612例6（1）数字和为8，且不含0的三位数有___个；（2）数字和为8，且每个数字不小于2的三位数有___个；（3）数字和为8的三位数有___个；（4）小于1000，且数字和为8的数有___个；（5）数字和为10的三位数有___个.7第9级下超常体系教师版\n（学案对应：超常3，带号2）【分析】插板法的应用.2（1）相当于将8个球分给3个人，每人至少1个，共有C721个2（2）相当于将8个球分给3个人，每人至少2个，共有C46个.（3）相当于将8个球分给3个人，可以有人不得，但第1个人必须得至少1个，因此共2有C36个.83112（4）相当于将8个球分给3个人，可以有人不得，共有C45个.注：这种算法若第110人不得，相当于百位为0，即相当于2位数或1位数.2（5）百位至少为1，之后三个位置分9个数，共有C55个数，但不能出现（9，0，9310）的情况，因此共有55-1=54个.例7圆周上有12个点，其中一个点涂红色，还有一个点涂了蓝色，其余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点(蓝点)的多边形称为红色(蓝色)多边形．不包含红点及蓝点的称无色多边形．试问，以这12个点为顶点的所有凸多边形(边数可以从三角形到12边形)中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？（学案对应：超常4，带号3，带号4）【分析】从任意一个双色的N边形出发(N5时)，在去掉这个双色多边形中的红色顶点与蓝色顶点后，将得到一个无色的N2边形；另一方面，对于一个任意的无色的M边形，如果加上红色顶点和蓝色顶点，就得到一个双色的M2边形，所以无色多边形与双色多边形中的五边形以上的图形是一一对应的关系，所以双色多边形的个数比较多，多的是双色三角形2和双色四边形的个数．而双色三角形有10个，双色四边形有C45个，所以双色多边形10比无色多边形多104555个．【拓展】⑴有49个相同的苹果，小明要用7天吃完，每天至少吃1个，问有多少种不同的吃法？⑵有49个相同的苹果，小明要用7天吃完，问有多少种不同的吃法？⑶有49个相同的苹果，小明要用7天吃完，且每天必须吃奇数个，问有多少种不同的吃法？⑷有49个不同的苹果，小明要用7天吃完，问有多少种不同的吃法(同一天所吃的苹果之间不考虑顺序)？⑸有49个不同的苹果，小明要用7天吃完，问有多少种不同的吃法(同一天所吃的苹果之间考虑顺序)？6【分析】⑴49个苹果分在7天，每天至少一个，因此有C种不同的吃法.48716⑵题目没有规定每天都必须吃一个，也就是允许有些天吃的数目为0，因此有CC497155种不同的吃法.⑶这个问题不同于我们前面所说的三种基本类型，我们就得想办法把不会解决的类型转化成我们熟悉的三种类型之一，我们来看看要求的不同：题目要求我们每天都吃奇数个苹果，也就是说可以吃1，3，5，7，……插板法要求我们每天吃的个数为正整数就可以了，也就是说吃1，2，3，4，……怎样把奇数变成正整数而且保持一一对应的关系呢？我们发现，我们把奇数加上1然后除以2，就可以变成对应的正整数了（因为奇数都可以表示成(2n1)的形式，加1除以2之后就和正整数一一对应了），7天都吃的奇数个苹果，所以我们把苹果的总数加上7然后除以2，相当于(497)228个苹果，同样分成7天，每天至少吃1个，这种情况与原来情况下的吃法是一一对应的关系.8第9级下超常体系教师版\n第8讲天数第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天总数实际a1a2a3a4a5a6a749对应a1a1a1a1a1a1a1497123456728222222226因此一共有C27种不同的吃法.⑷如果同一天的苹果不考虑顺序，我们可以把7天看作7个筐，然后把不同的49个苹果一个一个扔到筐里，有多少种扔的方法，就有多少种吃的方法，因为每个苹果都有可能扔进497个筐中的任意一个，因此吃法的总数应该是7种.6⑸如果是49个相同的苹果，我们在第⑵问中已经解决过了，一共有C种不同的吃法，也556就是说把所有的苹果排成一排，有C55种插板的方法.但是如果苹果不同，就会产生不同的649排列，在每一种排列下都会出现C55种插板的方法，而49个苹果排列的种数为A49，因此496一共有AC种不同的吃法.4955例88个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【分析】法1：冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇．小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：32123C7A2C4A2A33360（种）同时满足第一、三个条件，并且满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：32222C6A2A3A2A2960（种）因此同时满足三个条件的站法总数为：33609602400（种）．法2：相邻问题捆绑，小光和小亮有2！种站法；之后让除小慧和大智外其他5人（注：小1光和小亮可视为1人）排列，共5！种方法，但冬冬在小悦和阿奇中间的可能性为；最3222!5!A6后由插空法放入小慧和大智，共A种方法。综上，共有2400种站法.63已知：n!n(n1)(n2)21，并特殊规定：0!1，那么，你能否在下式中等号左边填上适当的符号（四则运算符号或阶乘），使等号成立。1111=240000=24答案：(1111)!24(0!0!0!0!)!249第9级下超常体系教师版\n知识点总结排列组合公式：m1.排列数公式：Ann(1)(n2)(nm1)nn2.全排列公式：An!n(n1)(n2)21nmnn(1)(n2)(nm1)3.组合数公式：Cnm!4.关于组合数的几个重要结论：0nmnm012nnCC1CCCCCC2nnnnnnnn家庭作业1.5个人站成一排，小明不在两端的排法共有____种.【分析】小明有3种位置可以排，其他4人无所谓，共有34!72种排法.2.四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有_____种不同的出场顺序.【分析】要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”．先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列，再分别在各类节目内部排列具体节目的次序．因此出场顺序总数为：3223A3A2A2A3=144（种）．3.用1，2，3，4，5各一次，可以组成___个偶数不相邻的五位数.【分析】法1：排除法，共可以构成5！=120种不同的五位数，其中偶数相邻的共有2×4！=48种，所以符合要求的数共有120-48=72种.法2：插空法，1，3，5共可以组成3！=6种不同的三位数，这时产生4个空位，从4个空位中选2个放2，4，共有4×3=12种方法.所以共有6×12=72种符合要求的数4.甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，则有___种不同的射法.红黄绿【分析】根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即9个物体的排列，当然有9!种排列方法．但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排列的情况，所以应该除以3!，其他黄色气球、绿色气球依此类推．10第9级下超常体系教师版\n第8讲9!所以共有射击方法：12603!2!4!本题也可以这样想：任意一种打法都对应9个物体的排列，从中先选出3个位置给红色气3球，有C种选法；这3个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再92从剩下的6个位置中选出2个给黄色气球，有C6种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的4个位置给绿色气球，它们之间也只有一种排列顺序．所以，根据乘法原理，共有324CCC1260种不同的射法．9645.有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃1块，问共有种吃法．【分析】将12块糖排成一排，中间共有11个空，从11个空中挑出5个空插挡板，把12块糖分成511109876堆，则这样的每一种分法即对应一种吃法，所以共有C11462种．123456.共有____个数字和为12且不含0的三位数.【分析】相当于将12个球分给3个人，每人至少1个.但要去掉（1，1，10）的三种组合，因此共2有C352个数.117.圆周上有12个点，连接其中的一些点可以构成多边形，设边数小于六的多边形（包括三角形）共A个，边数大于六的多边形共B个，则A和B谁大，大多少？【分析】边数小于6的有3，4，5，边数大于6的有7，8，9，10，11，12.因为共12个点，所以三角形的个数与九边形的个数对应；四边形的个数与八边形的个数对应；五边形的个数与七边形的个数对应.因此B大，大的就是十边形，十一边形及十二边形的个数和.1011122112C12C12C12C12C12C1266121798.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【分析】⑴先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，7有A7!76543215040(种)方法．第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞74蹈节目全排列的问题，有A4!432124(种)方法．4根据乘法原理，一共有504024120960(种)方法．⑵首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有6A6!654321720(种)方法．6×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，4这相当于从7个“×”中选4个来排，一共有A7654840(种)方法．7根据乘法原理，一共有720840604800(种)方法．超常班学案【超常班学案1】用六种不同的颜色（全用到）染一个正方体，则不同的染色方式共有____种.（旋转后一样的视为一种）【分析】6种不同的颜色共有6！种染色，但想将正方体定好，可以先定一个底面及一个侧面，因此11第9级下超常体系教师版\n6!共有3064【超常班学案2】光明小学甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会，共演出十四个节目.如果每个班至少演出三个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况共有多少种?【分析】法1：14可以分解成三个数之和(每个数都大于等于3)，共有5组，3，3，8；4，4，6；4，5，5；3，4，7；3，5，6.其中前3组，每组的三个数有3种排列方法；后2组，每组的三个数有326种排列方法.由加法原理，一共有336221种不同的排列方法.每种排列方法对应三个班演出节目数的一种情况，所以共有21种不同的情况.2法2：用插板法.C21种7【超常班学案3】2007的数字和是9，问:大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？【分析】法1：大于2000小于3000的四位数千位数字是2，则其余三位数字和是7，因为，百位数字至多是7，于是根据百位数进行分类：第一类，百位为7时，只有2700一个；第二类，百位为6时，只有2610,2601两个；第三类，百位为5时，只有2520,2511,2502三个；第四类，百位为4时，只有2430,2421,2412,2403四个；第五类，百位为3时，只有2340,2331,2322,2313,2304五个；第六类，百位为2时，只有2250,2241,2232,2223,2214,2205六个；第七类，百位为1时，只有2160,2151,2142,2133,2124,2115,2106七个；第八类，百位为0时，只有2070,2061,2052,2043,2034,2025,2016,2007八个；根据加法原理，总计1+2+3+4+5+6+7+8=36个法2：首位为2，其他三个数位的数字之和为7，但可以出现0，因此相当于7个球分给3298个人，可以有人不得.根据插板法，答案为C36个.73121【超常班学案4】如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比它右边数位上的数字小，那么我们称它为“迎春数”．那么，小于2008的“迎春数”共有个．【分析】小于2008的“迎春数”，只可能是两位数、三位数和1000多的数．计算两位“迎春数”的个数，它就等于从1～9这9个数字中任意取出2个不同的数字，每一种取法对应于一个“迎春数”，即有多少种取法就有多少个“迎春数”．所以两位的“迎2春数”共有C36个．933同样计算三位数和1000多的数中“迎春数”的个数，它们分别有C84个和C56个．98所以小于2008的自然数中，“迎春数”共有368456176个．123班学案【超常123班学案1】在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有______种．【分析】这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3．8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插空法”12第9级下超常体系教师版\n第8讲即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况．奇数的排列一共有4!24种对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有43224种所以一共有243241728种．【超常123班学案2】如果自然数a的各位数字之和等于5，那么称a为“龙腾数”．将所有的“龙腾数”从小到大排成一列，2012排在这一列数中的第_________个．【分析】先计算前三位“龙腾数”的个数，相当于不定方程abc5的自然数解(,,)abc的组数，2显然有C21组；再计算以1开头的四位“龙腾数”的个数，相当于不定方程abc472的自然数解(,,)abc的组数，显然有C15组．考虑到2012是第二个以2开头的四位“龙6腾数”，因此答案是2012是这一列数中的第38个．【超常123班学案3】数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12，21，111．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【分析】法1：相当于1999个球分给1或2或3或4或…或1999人，由插板法知共有01219981998CCCC2.1998199819981998法2：我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：111，111，111，111．可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同1998方法有2222种．1998个2相乘【超常123班学案4】有一类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两位数字大．另有一类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两位数字小．请问符合要求的数M与W，哪一类的个数多？多多少？【分析】M与W都是五位数，都有千位和十位与其它数位的大小关系，所以两类数有一定的对应关系．比如有一个符合要求的五位数MABCDE(A不为0)，那么就有一个与之相反并对应的五位数(9A)(9B)(9C)(9D)(9E)必属于W类，比如13254为M类，则与之对应的86745为W类．所以对于M类的每一个数，n1类都有一个数与之对应．但是两类数的个数不是一样多，因为M类中0不能做首位，而W类中9可以做首位．所以W类的数比M类的数要多，多的就是首位为9的数。设W类中首位为9时，其他四个数分别为a1，a2，a3，a4，且a1a2a3a4，则符合条件的数有9aaaa1324,9aaaa2314,9aaaa1423,9aaaa2413,9aaaa34125种。但这4个数是从0-8中选出的，4因此共有C95630个。13第9级下超常体系教师版