高中数学高考冲刺-双曲线练习题含解析1．(北京高考)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2解析：选C 该双曲线离心率e＝，由已知＞，故m＞1，故选C.2．(广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为( )A. B. C. D.解析：选C 设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，由正弦定理得＝，由双曲线的标准方程和定义可知，A，C是双曲线的焦点，且b＝10，|c－a|＝8.所以＝＝.故选C.
3．(杭州质检)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线C的离心率为5，则cos∠PF2F1等于( )A. B. C. D.解析：选C 据题意可知PF1⊥PF2，设|PF1|＝n，|PF2|＝m，又由双曲线定义知m－n＝2a ①；由勾股定理可得m2＋n2＝4c2 ②；又由离心率e＝＝5 ③，由①②③解得m＝8a，故cos∠PF2F1＝＝＝＝.故选C.4．(山东高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1解析：选A 由题意得－＝1(a＞0，b
＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，又圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)，所以a2＋b2＝32＝9，且＝2，解得a2＝5，b2＝4.所以该双曲线的方程为－＝1.故选A.5．(皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使·＝0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为( )A. B.C．2 D．5解析：选D 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c，由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边．由双曲线的性质和勾股定理得由①③得代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，两边同时除以a2，得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.又e＞1，所以e＝5.故选D.6．(太原模拟)设F1、F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2
|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0解析：选C 设线段PF1的中点为M，由于|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线的定义得4b－2c＝2a.所以2b－a＝c，所以(2b－a)2＝a2＋b2，化简得3b2－4ab＝0，所以3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝x，即4x±3y＝0.选C.7．(苏锡常镇调研)若双曲线x2－＝1(a＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为______．解析：x2－＝1 双曲线x2－＝1(a＞0)的一个焦点(，0)到一条渐近线－y＝0的距离为＝，解得a＝3，故此双曲线方程为x2－＝1.8．(陕西五校模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是______．
解析：(，＋∞) 双曲线的渐近线方程为y＝±x.若双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则＞2，从而＞4.所以＞4，解得e2＝＞5，故e＞.9．(茂名质检)设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析： 由条件知c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－，所以S＝×(5－3)×＝.10．(湖南高考)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．解析： 不妨设|PF1|＞|PF2|，由
得由2a＜2c，得∠PF1F2＝30°，由余弦定理得cos30°＝，整理得c2＋3a2－2ac＝0，所以e2－2e＋3＝0，解得e＝.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解：由e＝知a＝b.故设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵双曲线过点P(4，－)，∴16－10＝λ，解得λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，∴kMF1·kMF2＝＝－.∵点(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0.(3)解：在△F1MF2中|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.所以△F1MF2的高h＝|m|＝，从而S△F1MF2＝×4×＝6.12．(泰州质检)已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，且＝(＋)．(1)求直线AB的方程；(2)若过N的另一条直线交双曲线于C，D两点，且·＝0，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？解：(1)由题意知直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2，由消去y整理得(2－k2)x2－2k·(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根，所以2－k2≠0且x1＋x2＝.
∵＝(＋)，∴N是AB的中点，∴＝1，∴k(2－k)＝－k2＋2，解得k＝1，所以AB的方程为y＝x＋1.(2)将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，设A(－1,0)，B(3,4)．∵·＝0，∴CD垂直平分AB.∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点为M(x0，y0)，则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，∴x0＝＝－3，∴y0＝6，故点M(－3,6)．∵|CD|＝|x3－x4|＝＝4，∴|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，又|MA|＝|MB|＝2，∴A，B，C，D到M的距离相等，∴A，B，C，D四点共圆.
1．(辽宁五校联考)已知点M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，P点的轨迹方程为( )A．x2－＝1(x＞1)B．x2－＝1(x＞0)C．x2－＝1(x＞0) D．x2－＝1(x＞1)解析：选A 如图设过点P的两切线分别与圆切于S、T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，故P点的轨迹方程为x2－＝1(x＞1)．故选A.2．(邯郸摸底考试)已知F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点为M，且有|MF1|＝c，则此双曲线的离心率为( )A. B.C．2 D．2
解析：选D 因为F2关于渐近线的对称点为M，又由双曲线的几何性质知焦点到渐近线的距离为b，所以|MF2|＝2b，又|F1M|＝c，|F1F2|＝2c，由勾股定理得4c2＝c2＋4b2，所以3c2＝4(c2－a2)，所以c2＝4a2，c＝2a，e＝2.故选D.3．(重庆质检)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且2a2＝3c.若双曲线C上的点P满足·＝1，则||·||的值为( )A．5B．4C．3 D．2解析：选C 由题意得，解得，所以b2＝c2－a2＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1.设||＝r1，||＝r2，不妨令r1＞r2＞0，∠F1PF2＝θ，∵·＝1，∴r1r2cosθ＝1，又r1－r2＝2，∴r＋r－2r1r2＝12，∴r＋r＝2r1r2＋12，又由余弦定理得4c2＝r＋r－2r1r2cosθ，即16＝2r1r2＋12－2，∴r1r2＝3，即||·||＝3.故选C.4．(大纲全国高考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y＝2与C
的两个交点间的距离为.(1)求a、b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．(1)解：由题设知＝3，所以＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x＝±.由题设知2＝，解得a2＝1.所以a＝1，b＝2.(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.设l的方程为y＝k(x－3)，|k|＜2，由消去y整理得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，且x1＋x2＝，x1·x2＝.所以|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|，得－(3x1＋1)＝3x2＋1，所以x1＋x2＝－，故＝－，解得k2＝，从而x1·x2＝－.由于|AF2|＝＝＝1－3x1，|BF2|＝＝＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
