和长度有关的最值1．如图，一只螳螂在树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为，，两点的距离为，求螳螂爬行的最短距离（π取3）．【解析】解：将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得AB即为螳螂爬行的最短距离AF=2π×10≈60cm，BF=45cm∴cm答：螳螂爬行的最短距离为75cm．2．如图，在△中，，的平分线交于；若，点为边上的动点，求长度的最小值．【解析】解：由点P是AC上的动点，要使DP的长度最小，根据点到直线垂线段最短，,∴DP⊥AC，如图所示：∵AD平分∠BAC，∠ABC=90°，∴BD=DP，∵BD=3，∴DP=3，即DP的最小值为3．3．如图，是边长为的等边三角形，点为下方的一动点，．（1）若，求的长；（2）求点到的最大距离；（3）当线段的长度最大时，求四边形的面积．【解析】是等边三角形，又,;取的中点，连接:∠ACB=90°，AB=2,又点为下方的一动点，当时，点到的距离最大为连接为等边三角形，.根据三角形三边关系即共线时，最大，的最大长度为此时，四边形的面积为．,4．已知抛物线与轴交于点，且．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）若，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围；（3）点为抛物线在直线下方图象上的一动点，当面积最大时，求点的坐标．【解析】解：（1）把代入，即，解得：，故抛物线的表达式为：，=则顶点．（2）由（1）知抛物线的对称轴，所以点关于对称点在抛物线上,∵∴的取值范围为（3）令y=0,即=0，解得x1=1,x2=3,∴C（3,0）将点、的坐标代入一次函数表达式：得解得：∴直线的表达式为：，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，∴则，∵，故有最大值，此时，,故点．5．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得PA十PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B．请利用上述模型解决下列问题；（1）如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；（2）如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值．【解析】（1）作点A关于直线BC的对称点，连接，交BC于P，如图所示，点P即为所求；（2）作点P关于直线OA的对称点，作点这P关于直线OB的对称点，连接，分别交OA、OB于M、N，如图：,根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为，由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30，OP=5，∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2，OF=OG=5，∴△FOG为边长为5的等边三角形，，答：ΔPMN的周长的最小值为．6．如图，在平面直角坐标系中，、、，连接，点是轴上任意一点，连接，求的最小值．【解析】解：如图，过点作的垂线，垂足为点，与轴交于点．,∵、、，∴，．∴为等腰直角三角形．∴．∴．∵，∴此时的值最小，最小值为的长．∵，，∴．∴的最小值为．7．如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，．,（1）求点D的坐标；（2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由；（3）点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由．【解析】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴OC＝AB＝4，∵∠OAC＝30°∴AC＝2CO＝8，AO＝CO＝4，∠CAB＝60°，∵长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°，∴∠DAO＝30°，如图1，过点D作DF⊥AO于F，,∵DF⊥AO，∠DAO＝30°，∴DF＝AD＝2，AF＝DF＝2，∴OF＝AO﹣AF＝2，∴点D坐标（2，﹣2）；（2）如图2，过点E作y轴的对称点G，过点E作AC的对称点H，连接GH交y轴于点N，与AC交于M，即△EMN的周长最小值为GH，∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90°∴AE＝，∴OE＝，∵点G，点E关于y轴对称，点E，点H关于AC对称，∴点G（﹣，0），点H（，4）∴GH＝，∴△EMN的周长最小值为8；,（3）存在点P使得△CPQ为等腰三角形，∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠OCE＝30°，①若CP＝CQ，如图3，∵CP＝CQ，∠OCE＝30°，∴∠CPQ＝75°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°，②若PQ＝CQ时，如图4，∵CQ＝PQ，∴∠QPC＝∠PCQ＝30°，,∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°；③若CP＝PQ，如图5，∴∠PCQ＝∠PQC＝30°，∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°，∴不存在这样的点P，综上，满足条件的点P存在，并且∠OAP=15º或60º．8．如图1，直线分别与坐标轴交于点和点，点的坐标是．点是直线上的一个动点，以为边在一侧作正方（、、、四点始终为逆时针顺序）（1）求直线的解析式；（2）当正方形的一个顶点恰好落在轴上时（点除外），求出对应的点的坐标；（3）如图2，，且的两边分别交边和于、两点，连接，在点运动的过程中，当的周长最小时，直接写出对应的点的坐标和周长的最小值．,【解析】（1）设直线解析式为，，两点在直线上，，，∴的解析式:（2）正方形顶点落于轴上，且点横坐标为2，点纵坐标为2，将，代入中，得．∴；当点在轴上时，同法可得；（3）将向左旋转得到，,，，，三点一线，，，在和中，，，，周长，在点运动的过程中，的周长存在最小值．即让最短即可，点到直线最短距离为垂线段长度，即即可，直线的斜率，设直线解析式为，直线经过点，代入点坐标得，直线解析式为，直线与的交点为（，），故点时，周长有最小值为8．9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，E为BC上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED绕点E顺时针旋转得到，A′E交AD于P，D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，AED停止转动．（1）求线段AD的长；,（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与的位置关系，并说明理由；（3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．【解析】解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∴△ABE∽△DEA，∴，∴，∴AD＝5；（2）PQ∥A′D′，理由如下：∵，∠AED＝90°,∴＝＝2，∵AD＝BC＝5，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，过点E作EF⊥AD于点F，则∠FEC＝90°，∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，∴∠PEF＝∠CEQ，∵∠C＝∠PFE＝90°，∴△PEF∽△QEC，∴，∵，∴，∴PQ∥A′D′；（3）连接EM，作MN⊥AE于N，,由（2）知PQ∥A′D′，∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，∴PM＝ME，∴∠EPQ＝∠PEM，∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′∴∠EPF＝∠NEM，又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，∴△PEF∽△EMN，∴＝为定值，又∵EF＝AB＝2，∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，∴M的轨迹为△ADE的中位线，∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝＝．10．如图1，点C是线段上一点，将绕点C顺时针旋转90°得到，将绕点C旋转，使点B,的对应点D落在上，连，，并延长交于点F．（1）求证：；（2）连接，猜想，，存在的等量关系，并证明你猜想的结论．（3）如图2，延长到，使，将线段沿直线上下平移，平移后的线段记为，若，当的值最小时，请直接写出的值．【解析】（1）证明：∵CA=CE，CD=CB，∴∴∵（对顶角相等）∴∴（2），，存在的等量关系为：过点C作于点M，作于点N,∵∴四边形CMFN为矩形∵，，CA=CE∴∴CM=CN，AM=EN∴四边形CMFN为正方形∴∵AM=EN∴∴（3）由题意可知，且∵∴，且∴四边形为平行四边形∴当的值最小时，即的值最小,∴点G在上运动时，根据将军饮马模型（或轴对称的性质），若使，应作B关于的对称点，连接，则过作于点H∴∴∴设∴，∴∴．11．如图1，平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，对角线与的交点恰好在轴上，点是中点，直线交于．（1）点的坐标为__________；,（2）如图1，在轴上有一动点，连接．请求出的最小值及相应的点的坐标；（3）如图2，若点是直线上的一点，那么在直线上是否存在一点，使得以、、、为顶．点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）如图1中，四边形是菱形，，，，，，，，，，，,，，，，，，，，，，，直线的解析式为，直线的解析式为，，直线的解析式为，由，解得，．故答案为．（2）如图中，过点作射线，使得，点点作于，过点作于．,，，，直线的解析式为，，直线的解析式为，由，解得，，，，在中，，，，,，的最小值为，此时点的坐标为．（3）如图2中，过点作交于，连接，．是等边三角形，，，，，，，，四边形是平行四边形，当点与重合时，四边形是平行四边形，此时，根据对称性可知，当点与关于点对称时，四边形是平行四边形，此时，，综上所述，满足条件的点的坐标为或，．12．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y,轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上是否存在点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，若没有，说明理由；若有，求出点P，Q的坐标．【解析】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，,∴x＝0（舍）或x＝4，∴E（4，﹣5），∴CE＝4，设直线BC的解析式为y=kx＋c将B（5，0），C（0，﹣5）代入，得解得：∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF＝CE•HF＝﹣2（t﹣）2+，∵-2＜0∴当t=时，S四边形CHEF最大，最大值为∴H（，﹣）；（3）如图2，四边形PQKM的周长=PM＋PQ＋QK＋KM（其中KM为定值）,∵K为抛物线的顶点，y=x2-4x-5=（x-2）2-9∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K′（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴m=16－16－5=-5∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M′（4，5），连接K′M′，分别交x轴于点P，交y轴于点Q∴此时PM=PM′，QK=QK′∴此时四边形PQKM的周长=PM＋PQ＋QK＋KM=PM′＋PQ＋QK′＋KM=M′K′＋KM，根据两点之间线段最短，此时四边形PQKM的周长最小设直线K′M′的解析式为y＝ex＋d将K′、M′的坐标代入，得,解得：∴直线K′M′的解析式为y＝，当y=0时，解得x=；当x=0时，解得y=，∴P（，0），Q（0，﹣）．
