面积的最值问题1．如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E．求（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长；（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．【解析】解：（1）设PQ＝y，则PN＝2y，∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴＝，即＝，解得y＝，∴PQ＝，PN＝．（2）设AE＝x．∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴＝，∴PN＝x，PQ＝DE＝10﹣x，∴S矩形PQMN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+30，∴当x＝5时，S的最大值为30，∴当AE＝5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是30，此时PQ＝5，PN＝6．2．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，，当、的长是多少时，四边形的面积最大？【解析】解：设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=10-x，则：，
∴当x=5时，S最大=，所以当AC=BD=5时，四边形ABCD的面积最大．3．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；（3）求△FCG的面积的最小值．【解析】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG（AAS），∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此S△FCG=×FM×GC=×2×（7-6）=1；（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为7-，此时DG=，∴当DG=时，△FCG的面积最小为（7-）．4．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；
（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．【解析】（1）①在OB下方取一点K，②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，③分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于E点，④作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N，故△OMN就是所求作的三角形；（2）∵CM∥OB，∴∠C＝∠PON，在△PCM和△PON中，，∴△PCM≌△PON（ASA），∴PM＝PN，∴OP平分△MON的面积；
（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，∵CM∥OB，∴∠GMP＝∠FNP，在△PGM和△PFM中，，∴△PGM≌△PFN（ASA），∴S△PGM＝S△PFN∴S四边形MOFG＝S△MON．∵S四边形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF，∴当点P是MN的中点时S△MON最小．5．如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．
（1）求证：；（2）当，重合时，求的值；（3）若的面积为，求的取值范围．【解析】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN=∠MNC，∵∠MNC=∠PNM，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN．（2）解：点P与点A重合时，如图2中，
设BN=x，则AN=NC=6-x，在Rt△ABN中，AB2+BN2=AN2，即22+x2=（6-x）2，解得x=，∴CN=6-=，，∴，∴，∴．（3）解：当MN过点D时，如图3所示，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为菱形CMPN=，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为，∴．6．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短边长n，且n＝2m﹣4，大正方形的面积为S．（1）求S关于m的函数关系式．（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值．【解析】解：（1）∵小正方形的边长m，直角三角形较短边长n，∴直角三角形较长边长为m+n，∴由勾股定理得：S＝（m+n）2+n2，∵n＝2m﹣4，∴S＝（m+2m﹣4）2+（2m﹣4）2，＝13m2﹣40m+32，∵n＝2m﹣4＞0，∴m＞2，∴S关于m的函数关系式为S＝13m2﹣40m+32（m＞2）；（2）∵S＝13m2﹣40m+32（2＜m≤3），
∴S＝13(m-)2+∵m≥时，S随x的增大而增大，∴m＝3时，S取最大．∴m＝3．7．如图：已知矩形ABCD中，AB=cm，BC=3cm，点O在边AD上，且AO=1cm.将矩形ABCD绕点O逆时针旋转角()，得到矩形A′B′C′D′(1)求证：AC⊥OB；(2)如图1,当B′落在AC上时，求AA′；(3)如图2，求旋转过程中△CC′D′的面积的最大值.【解析】解：(1)Rt△OAB中，∴∠AOB＝60°Rt△ACD中，∴∠CAD＝30°∴∠OMA＝180°－60°－30°＝90°即AC⊥OB
(2)Rt△OAM中，Rt△OAB中，OB′＝OB＝＝2，Rt△OB′M中，B′M＝，BM＝OB－OM＝，Rt△BB′M中，∴，∴(3)如图，过C点作CH⊥于C′D′点H，连结OC，则CH≤OC＋OD′只有当D′在CO的延长线上时，CH才最大.又C′D′长一定，故此时△CC′D′的面积的最大.而
∴△CC′D′的最大面积为8．[问题提出]（1）如图①，在中，为上一点，则面积的最大值是（2）如图②，已知矩形的周长为，求矩形面积的最大值[实际应用]（3）如图③，现有一块四边形的木板余料，经测量且木匠师傅从这块余料中裁出了顶点在边上且面积最大的矩形求该矩形的面积【解析】解：（1）过点A作AE⊥BC，如图所示：
∴，∵D为BC上一点，∴，∴要使△ABC的面积最大，则需满足AD=AE，∵BC=6，AD=4，∴△ABC的面积最大为：；故答案为12；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∵矩形ABCD的周长是12，∴设AB=x，则有AD=6-x，矩形ABCD的面积为S，则有：，此函数为二次函数，由，二次函数的开口向下，∴当x=3时，矩形ABCD的面积有最大值为：；（3）如图所示：
∵四边形PQMN是矩形，∴QM=PN，PQ=MN，∠QMN=∠PNM=90°，∵∠B=∠C=60°，∠QMB=∠PNC=90°，∴△BMQ≌△CNP，∴BM=NC，设BM=NC=x，则有MN=PQ=80-2x，∴，∴，此函数关系为二次函数，由可得开口向下，∴当x=20时，矩形PQMN的面积有最大，即．9．如图，已知，是线段上的两点，，，，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使，两点重合成一点，构成，设．（1）求的取值范围；
（2）求面积的最大值．【解析】解：（1）∵，，，∴．由旋转的性质，得，，由三角形的三边关系，得解不等式①得，解不等式②得，∴的取值范围是．（2）如图，过点作于点，设，由勾股定理，得，，∵，∴，两边平方并整理，得，两边平方整理，得．∵的面积为，∴，
∴当时，面积最大值的平方为，∴面积的最大值为．10．如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．①试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；②是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：∵四边形POBQ为平行四边形，∴PQ∥OB，PQ=OB．又∵OB=OA，∴PQ=AO．又∵PQ∥OA，∴四边形PQOA为平行四边形，
∴PA∥QO，PA=QO．又∵M、N分别为OQ、AP的中点，∴OM=OQ，PN=AP，∴OM=PN，∴四边形OMPN为平行四边形．∵OP=OA，N是AP的中点，∴ON⊥AP，即∠ONP=90°，∴四边形OMPN为矩形；（2）①∵四边形OMPN为矩形，∴S矩形OMPN=ON·NP=ON·AP，即S矩形OMPN=S△AOP．∵△AOP的底AO为定值，∴当P旋转运动90°（运动至最高点）时，△AOP的AO边上的高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值，∴t=90÷15=6秒，∴当t=6秒时，四边形OMPN面积最大．此时，PQ与半圆O相切．理由如下：∵此时∠POB=90°，PQ//OB，∴∠OPQ=90°，∴PQ与半圆O相切；②当点Q在半圆O上时，
∵四边形POBQ为平行四边形，且OB=OP，∴四边形POBQ为菱形，∴OB=BQ=OQ=OP=PQ，∴∠POQ=∠BOQ=60°，即：∠BOP=120°，∴此时，t=120°÷15°=8秒，当点P与点A重合时，t=180°÷15°=12秒，综上所述：当8＜t＜12时，点Q在半圆O内．11．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．
【解析】解：（1）设线段PQ所在直线的函数表达式为y＝kx+b，将P（3，4）和Q（6，0）代入得，，解得，∴线段PQ所在直线的函数表达式为；（2）①如图1，连接CM并延长CM交AB于点F，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，由（1）得BE＝，
∴CE＝，∴，∵∠DCE＝∠ACB，∴△DCE∽△ACB，∴∠DEC＝∠ABC，∴DE//AB，∵点C和点M关于直线DE对称，∴CM⊥DE，∴CF⊥AB，∵，∴6×8＝10×CF，∴CF＝,∵∠C＝90°，CD＝x，CE＝，∴DE＝，∴CM＝，MF＝，过点M作MG⊥AC于点M，过点M作MH⊥BC于点H，则四边形GCHM为矩形，∵∠GCM+∠BCF＝∠BCF+∠ABC＝90°，∴∠GCM＝∠ABC，
∵∠MGC＝∠ACB＝90°，∴△CGM∽△BCA，∴，即，∴MG＝，CG＝，∴MH＝，（Ⅰ）若点M落在∠ACB的平分线上，则有MG＝MH，即，解得x＝0（不合题意舍去），（Ⅱ）若点M落在∠BAC的平分线上，则有MG＝MF，即，解得x＝，（Ⅲ）若点M落在∠ABC的平分线上，则有MH＝MF，即，解得x＝．综合以上可得，当x＝或x＝时，点M落在△ABC的某条角平分线上．②当0＜x≤3时，点M不在三角形外，△DME与△ABC重叠部分面积为△DME的面积，∴，当x＝3时，S的最大值为．当3＜x≤6时，点M在三角形外，如图2，
由①知CM＝2CQ＝，∴MT＝CM﹣CF＝，∵PK//DE，∴△MPK∽△MDE，∴，∴，∵，∴，即：，∴当x＝4时，△DME与△ABC重叠部分面积的最大值为8．综合可得，当x＝4时，△DME与△ABC重叠部分面积的最大值为8．12．问题提出（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值；问题解决
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）如图，Rt△ACB即为所求．（2）如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，设OA=OB=OC=r，则OE=r，BC=2BE=r，∵AO+OE≥AD，AD=3，∴r+r≥3，解得r≥2，∴BC=r≥，
∴S△ABC=BC·AD≥××3=，∴△ABC面积的最小值为．（3）存在；如图，分别延长AB、DC交于点M，则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，∵CB=CD=6m，∴BM=6m，CM=m，AD=DM=（6+）m，∴S四边形ABCD=S△ADM-S△CBM=DM2-BC2=×（6+）2-×62=（36+）m2．将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，则A、D、E′三点共线．∴S四边形AECF=S四边形ABCD–（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD–S△CE′F∵S四边形ABCD为定值，
∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值．∵∠E′CF=135°-90°=45°，∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，设△CE′F的外接圆半径为rm，∴E′F=rm，又∵OC+OD≥CD，∴r+r≥6，∴r≥12-，当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F=r=（-12）m，∴S△CE′F最小=×（-12）×6=（-36）m2，∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE’F最小=36+-（-36）=72m2．
