2011年辽宁省辽阳市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共24分）1.|-3|的相反数是（）A.3B.-3C.13D.-132.下列运算正确的是（）A.a2+a2=2a4B.(-2a2)2=4a4C.(a+b)(-a-b)=a2-b2D.(a+2)2=a2+43.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.4.如图，已知等边△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，若向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是（不考虑落在线上的情形）（）A.14B.12C.34D.235.用一个半径为36cm、圆心角为120∘的扇形，制作一个圆锥形的玩具帽，则这个帽子的底面圆的半径为（）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm6.关于反比例函数y=-2x的图象，下列说法正确的是（）A.经过点(-1, -2)B.无论x取何值时，y随x的增大而增大C.当x<0时，图象在第二象限D.图象不是轴对称图形7.如图，直线l1 // l2，AB与直线l1垂直，垂足为点B，若∠ABC=37∘，则∠EFC的度数为（）A.127∘B.133∘C.137∘D.143∘8.如图，等边△ABC的边长为4，M为BC上一动点（M不与B、C重合），若EB=1，∠EMF=60∘，点E在AB边上，点F在AC边上．设BM=x，CF=y，则当点M从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A.B.C.D.第13页共14页◎第14页共14页
二、填空题（每小题3分，共24分）9.函数y=x-3x-1的自变量x的取值范围是________．10.据统计2011年高考的报名人数约为9 600 000人，用科学记数法表示9 600 000为________．11.高6m的旗杆在水平地面上的影子长4m，同一时刻附近有一建筑物的影子长20米，则该建筑物的高为________．12.不等式组7+x≤3xx-3<2的解集为________．13.某校九年级安全疏散演习中，各班疏散的时间分别是3分钟，2分40秒，3分20秒，3分30秒，2分45秒．这次演习中，疏散时间的极差为________秒．14.如图，AB为⊙O直径，CD⊥AB，∠BDC=35∘，则∠CAD=________．15.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60∘，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为________．16.如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC，则∠BCM的大小为________．三、解答题（每题8分，共16分）17.计算：0.25×(12)-2+(3.14-π)0-2sin60∘．18.先化简，再求值：(aa-1-1)÷aa2-2a+1，其中a=2．四、解答题（每题10分，共20分）19.为庆祝建党90周年，某中学开展了“红诗咏诵”活动，九年一班为推选学生参加此项活动，在班级内举行一次选拔赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，并将收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中所给出的信息，解答下列各题：（1）求九年一班共有多少人；（2）补全折线统计图；（3）在扇形统计图中等极为“D”的部分所占圆心角的度数为________；（4）若等级A为优秀，求该班的优秀率．20.随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2008年底报名人数为3 200人，截止到2010年底报名人数已达到5 000人．（1）若该驾校2008年底到2010年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率．（2）若该驾校共有10名教练，预计在2011年底每个教练平均需要教授多少人？五、解答题（每题10分，共20分）21.有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被分成3等份；转盘B被分成4等份，数字标注如图所示．有人设计了一个游戏，其规则如下：甲、乙两人同时转动两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，将转得的数字相乘，如果积为偶数，则甲胜；如果积为奇数，则乙胜．（若指针落在分格线上，则无效，需重新转动转盘）（1）你认为这个游戏公平吗？请你用所学的数学知识说明理由；第13页共14页◎第14页共14页
（2）如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．22.如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得∠ADP＝60∘，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP＝30∘，求这条河的宽．（结果保留根号）六、解答题（每题10分，共20分）23.如图，⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C=90∘，BE平分∠ABC．（1）试说明直线AC是⊙O的切线；（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O的半径及BC的长．24.甲、乙两名自行车爱好者准备在一段长为3 500米的笔直公路上进行比赛，比赛开始时乙在起点，甲在乙的前面．他们同时出发，匀速前进，已知甲的速度为12米/秒，设甲、乙两人之间的距离为s（米），比赛时间为t（秒），图中的折线表示从两人出发至其中一人先到达终点的过程中s（米）与t（秒）的函数关系．根据图中信息，回答下列问题：（1）乙的速度为________米/秒；（2）当乙追上甲时，求乙距起点多少米．（3）求线段BC所在直线的函数关系式．七、解答题（本题12分）25.已知直角梯形ABCD，AB // CD，∠C=90∘，AB=BC=12CD，E为CD的中点．（1）如图(1)当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；（2）如图(2)当点M在线段EC上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．八、解答题（本题14分）26.如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90∘，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=30∘，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处．（1）求D点坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过B、D两点，求此抛物线的表达式；（3）若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M．是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(-b2a, 4ac-b24a)．第13页共14页◎第14页共14页
参考答案与试题解析2011年辽宁省辽阳市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共24分）1.B2.B3.B4.C5.D6.C7.A8.B二、填空题（每小题3分，共24分）9.x≥310.9.6×10611.30米12.72≤x<513.5014.70∘15.316.75∘三、解答题（每题8分，共16分）17.解：原式=14×4+1-2×32=1+1-3=2-3．18.解：原式=a-a+1a-1⋅×(a-1)2a=a-1a．当a=2时，原式=2-12=2-22．四、解答题（每题10分，共20分）19.解：（1）30÷50%=60（人）∴九年一班共有60人．（2）等级为“C”的人数为60×15%=9（人）．等级为“D”的人数为60-3-30-9=18（人）．补全折线统计图如下．（3）18÷60×360∘=108∘．（4）360×100%=5%．∴该班的优秀率为5%．20.解：（1）设该驾校的年平均增长率是x．由题意，得3 200(1+x)2=5 000．解得x1=14，x2=-94（不合实际，舍去）．∴该驾校的年平均增长率是25%．（2）5 000×(1+25%)÷10=625（个）．∴预计2011年每个教练平均需要教授625个学员．五、解答题（每题10分，共20分）21.解：（1）这个游戏不公平．列表如下：AB-12-341(1, -1)(1, 2)(1, -3)(1, 4)-2(-2, -1)(-2, 2)(-2, -3)(-2, 4)3(3, -1)(3, 2)(3, -3)(3, 4)根据列表，共有12种可能的结果，并且每种结果出现的可能性相同，其中两数乘积为偶数的有8种，两数乘积为奇数的有4种．∴P（甲胜）=812=23，P（乙胜）=412=13．∵P（甲胜）>P（乙胜），∴这个游戏不公平．（2）答案不唯一，只要合理即可．第13页共14页◎第14页共14页
如：如果两数的乘积是偶数得，是奇数得等．22.作AE⊥PQ于E，CF⊥MN于F．∵PQ // MN，∴四边形AECF为矩形．∴EC＝AF，AE＝CF．设这条河宽为x米，∴AE＝CF＝x．在Rt△AED中，∵∠ADP＝60∘，∴ED=AEtan60=x3=33x．∵PQ // MN，∴∠CBF＝∠BCP＝30∘．∴在Rt△BCF中，BF=CFtan30=x33=3x．∵EC＝ED+CD，AF＝AB+BF，∴33x+110＝50+3x．解得x＝303．∴这条河的宽为303米．六、解答题（每题10分，共20分）23.（1）证明：连接OE．∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2．∵OE=OB，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE // BC．又∠C=90∘，∴∠AEO=90∘．∴AC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△AEO中，由勾股定理可得OA2=OE2+AE2．∵AE=4，AD=2，∴(2+r)2=r2+42．∴r=3．∵OE // BC，∴AOAB=OEBC．∴2+32+6=3BC．∴BC=245．24.14；（2）由图象可知乙用了150秒追上甲，14×150=2 100（米）．∴当乙追上甲时，乙距起点2 100米；（3）乙从出发到终点的时间为350014=250（秒），此时甲、乙的距离为：(250-150)(14-12)=200（米），∴C点(250, 200)，又B点坐标(150, 0)，设BC所在直线的函数关系式为s=kt+b（k≠0，k，b为常数），将B、C两点代入，得200=250k+b0=150k+b，解得k=2b=-300，∴BC所在直线的函数关系式为s=2t-300．七、解答题（本题12分）25.解：（1）NE=MB且NE⊥MB．（2）成立．理由：连接AE．第13页共14页◎第14页共14页
∵E为CD中点，AB=BC=12CD，∴AB=EC．又AB // CD，即AB // CE．∴四边形ABCE为平行四边形．∵∠C=90∘，∴四边形ABCE为矩形．又AB=BC，∴四边形ABCE为正方形．∴AE=AB．∵等腰直角三角形AMN中，∴AN=AM，∠NAM=90∘．∴∠1+∠2=90∘．又∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3．∴△NAE≅△MAB．∴NE=MB．延长NE、BM交于点F．由△NAE≅△MAB可得，∠AEN=∠ABM．∴∠4=∠6．∵∠5=∠6，∴∠4=∠5．又∠EMF=∠BMC，∴∠EFB=∠C=90∘．∴BM⊥NE．八、解答题（本题14分）26.解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，如图(1)．由翻折可知：DO=AO=3，∠AOB=∠BOD=30∘，∴∠DOE=30∘．∴DE=32在Rt△COD中，由勾股定理，得OE=332∴D(332, 32)（2）在Rt△AOB中，AB=AO⋅tan30∘=3×33=3，∴B(3, 3)．∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过B(3, 3)，D(332, 32)两点，∴3a+3b+3=3274a+332b+3=32解得a=-23b=233∴此抛物线表达式为y=-23x2+233x+3．（3）存在符合条件的点P，设P(x, y)，作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图(2)．∵E为抛物线y=-23x2+233x+3的顶点，∴E(32, 72)．设OB所在直线的表达式为y=kx，将点B(3, 3)代入，得第13页共14页◎第14页共14页
k=3，∴y=3x．∵P在射线OB上，∴P(x, 3x)，F(32, 32)．则H(x, 72)G(x, 32)．∵M在抛物线上，M(x, -23x2+233x+3)．要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH=GM．3x-72=32-(-23x2+233x+3)，即-23x2+233x+3+3x=5．解得x1=23，x2=32．∴P1点坐标为(23, 6)，P2点坐标为(32, 32)与F重合，应舍去．∴P点坐标为(23, 6)．第13页共14页◎第14页共14页
