2013年辽宁省辽阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案的字母填入下表中相应题号下的空格内）)1.的相反数是（）A.B.C.D.2.下列运算正确的是（）A.䁞䁞䁞B.䁞䁞䁞C.䁞䁞D.䁞䁞3.下列几何体的主视图、俯视图和左视图都是长方形的是（）A.B.C.D.4.数据，，，，，，的中位数是（）A.B.C.D.5.如图，将矩形纸片晦䁚沿对角线晦折叠，点䁚落在点处，晦与相交于点，，则晦的度数是（）A.B.C.D.6.如图，在晦䁚中，䁚，是晦䁚的角平分线，䁚，晦䁚，则䁚的长是（）A.B.C.D.7.如图，、晦是反比例函数䁞图象上的两点，䁚轴于点䁚，晦䁞轴于点，晦与䁚相交于点，记的面积为，四边形晦䁚的面积为，试卷第1页，总11页
则、的大小关系是（）A.B.C.D.无法确定8.已知二次函数䁞ܾ䁞的图象如图所示，有下列结论：①ܾ；②ܾ；③；④ܾ．其中正确结论的个数是（）A.个B.个C.个D.个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）)9.ܯʹ是指大气中直径小于或等于ʹͲ的颗粒物，将ʹ用科学记数法表示为________．10.分解因式：䁞________．11.数据，，，，的平均数是，则＝________．12.已知点是晦䁚外接圆的圆心，若晦䁚，则的度数是________．13.已知圆锥的侧面积为________，底面半径为________，则圆锥的高是________．14.如图，在的正方形网格格点上有两点、晦，在其它格点上随机取一点记为䁚，能使以、晦、䁚三点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为________．15.如图，已知正方形晦䁚的边长为，点在晦䁚边上，且晦＝，为对角线䁚上的一个动点，则晦周长的最小值为________．16.如图，在晦䁚中，䁚，晦䁚，䁚，四边形䁚晦䁚、晦䁚、试卷第2页，总11页
晦䁚…都是正方形，且、、…在䁚边上，晦、晦、晦…在晦边上．则线段晦䁚的长用含的代数式表示为________．（为正整数）三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）)．17.计算：ܾܾ18.先化简，再求值：，其中，ܾ．ܾܾܾܾ四、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）)19.某市中小学开展“关注校车，关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽查了多少名学生？（2）将图①、图②补充完整；（3）求图②中“骑自行车”所对应的扇形圆心角的度数；（4）如果该校共有名学生，请你估计乘公交车上学的学生约有多少名？20.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球个，篮球个．若从中随机摸出一个球，摸到篮球的概率是．（1）求口袋里红球的个数；（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率．五、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）)21.某商场第一次用元购进甲、乙两种商品，销售完成后共获利元，其中甲种商品每件进价元，售价元；乙种商品每件进价元，售价元．（1）求该商场购进甲、乙两种商品各多少件？试卷第3页，总11页
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，且购进甲、乙商品的数量分别与第一次相同，甲种商品按原售价出售，而乙种商品降价销售，要使第二次购进的两种商品全部售出后，获利不少于元，乙种商品最多可以降价多少元？22.如图，已知䁚为的直径，弦晦䁚，垂足为，连接、䁚，点在䁚延长线上，连接，且䁚＝䁚晦．（1）求证：为的切线；（2）若＝，sin䁚，求晦的长．六、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）)23.如图，海中有一个小岛䁚，今有一货船由西向东航行，在处测得小岛䁚在北偏东方向，货船向正东方向航行海里到达晦处，在晦处测得小岛䁚在北偏东方向，求此时货船与小岛䁚的距离．（结果精确到ʹ海里）（参考数据：ʹ，ʹ）24.某商场以每台元的价格购进一批计算器，原售价每台元，现为了促销，商场采取如下方式：买一台单价为元，买两台每台都为元，依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减元，但最低不能低于每台元．某单位一次性购买该计算器䁞台，实际购买单价为元．（䁞为正整数）（1）求与䁞的函数关系式；（2）若该单位一次性购买该计算器不超过台，购买多少台时，商场获利最大？最大利润是多少？25.已知晦䁚为等腰直角三角形，䁚晦，点在晦䁚边上（不与晦、䁚重合）或点在晦䁚内部，连接䁚、晦，将䁚绕点䁚逆时针旋转，得到线段䁚；将晦绕点晦顺时针旋转，得到线段晦，连接交晦于点．（1）如图，当点在晦䁚边上时，求证：晦；（2）如图ܾ，当点在晦䁚内部时，①晦是否成立？请说明理由；②直接写出晦䁚为多少度时，晦．试卷第4页，总11页
26.如图，直线＝䁞与䁞轴交于点䁚，与轴交于点，点晦的坐标为标抛物线＝䁞ܾ䁞经过、䁚两点．（1）求抛物线的解析式，并验证点晦是否在抛物线上；（2）作晦䁚，垂足为，连接晦，为轴左侧抛物线点，当晦与晦的面积相等时，求点的坐标；（3）点在直线䁚上，点在抛物线＝䁞ܾ䁞上，是否存在、，使以、晦、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第5页，总11页
参考答案与试题解析2013年辽宁省辽阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案的字母填入下表中相应题号下的空格内）1.B2.A3.D4.C5.B6.C7.A8.C二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9.ʹ10.䁞䁞11.12.或13.Ͳ,Ͳ,Ͳ14.15.16.三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）17.原式＝＝．ܾܾܾ18.解：原式ܾܾܾܾܾܾܾܾܾܾܾܾܾܾܾܾ，ܾ把，ܾ代入上式得：原式．四、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）19.解：（1）䁞人；（2）步行人数：，所占百分比：䁞䁞；乘公交车人数所占百分比：䁞䁞，试卷第6页，总11页
如图所示：；（3）“骑自行车”所对应的扇形圆心角的度数：䁞；（4）乘公交车上学的学生人数：䁞名．20.设红球有䁞个，根据题意得：，䁞解得：䁞＝，经检验䁞＝是原方程的根．则口袋中红球有个；列表如下：红黄黄蓝红--（（（-黄黄蓝，，，红红红）））黄（--（（红-黄蓝，，，黄黄黄）））黄（（--（红黄-蓝，，，黄黄黄）））蓝（（（--红黄黄-，，，蓝蓝蓝）））所有等可能的情况有种，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有种，则．试卷第7页，总11页
五、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）21.该商场购进甲、乙两种商品分别是件、件；乙种商品最多可以降价元22.证明：如图，连接，晦䁚，∵直径䁚晦，∴䁚＝晦䁚，＝，∴䁚晦＝䁚，＝，∴䁚＝䁚晦＝䁚，∵＝，∴＝，∵＝∴䁚䁚晦＝即＝∴为的切线．∵＝䁚，sin䁚，∴sin，∴＝sin＝，∴晦＝．六、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）23.此时货船与小岛䁚距离是ʹ海里．24.∵原售价每台元，现为了促销，商场采取如下方式：买一台单价为元，买两台每台都为元，依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减元，∴与䁞的函数关系式为：＝䁞䁞；设商场获利为元，购买䁞台时，商场获利最大，则＝䁞䁞＝䁞䁞＝䁞，试卷第8页，总11页
∴当䁞＝时，＝．最大值25.（1）证明：∵晦䁚为等腰直角三角形，∴䁚䁚晦，晦䁚，由旋转可知：䁚䁚，晦晦，∴䁚䁚䁚晦䁚，即晦，∴晦．又∵䁚晦，∴晦，在和晦中，晦晦，晦∴晦，∴晦；（2）成立，理由如下：连接，则䁚晦䁚，∴晦，䁚晦䁚，∵晦晦，∴晦，∵䁚，晦晦晦䁚晦䁚，∴晦，在和晦中，晦晦，晦∴晦，∴晦，②当晦䁚时，晦．理由如下：解法一：当晦时，由①知晦，∴晦．设䁚晦，由旋转可知，䁚．连接䁚，则䁚晦，∴䁚，∴䁚䁚．设晦䁚，则晦，晦晦．∵晦，∴晦．在四边形晦䁚中，䁚晦䁚晦䁚，即：，解得：，∴晦䁚．试卷第9页，总11页
解法二（本溪赵老师提供，更为简洁）：当晦时，四边形晦为矩形则晦晦，∴点落在线段晦上．∵䁚为等腰直角三角形，∴䁚，∴晦䁚䁚．26.在＝䁞中，令䁞＝，得＝；令＝，得䁞＝，∴标，䁚标．∵抛物线＝䁞ܾ䁞经过、䁚两点，∴，ܾܾ解得，∴抛物线的解析式为＝䁞䁞，当䁞＝时，＝＝，∴点晦标在抛物线上；∵标，晦标，∴＝晦＝，∵䁚，晦䁚，∴晦，∴四边形晦是平行四边形，∵＝，∴平行四边形晦是矩形，∴晦．设䁞标䁞䁞，则晦晦•䁞䁞＝䁞䁞，晦晦䁞䁞，∵晦＝晦，∴䁞䁞䁞，解得䁞，䁞＝（舍去），∴点的坐标为标；存在、，使以、晦、、为顶点的四边形为平行四边形．理由如下：设点的坐标为䁞标䁞，分两种情况：①当晦为边时；Ⅰ）如果四边形晦为平行四边形，那么晦䁞轴，且＝晦＝，∴点坐标为䁞标䁞，∵点在抛物线＝䁞䁞上，∴䁞＝䁞䁞，整理得䁞䁞＝，解得䁞＝，䁞＝（舍去），试卷第10页，总11页
∴点的坐标为标；Ⅱ）如果四边形晦为平行四边形，那么晦䁞轴，且＝晦＝，∴点坐标为䁞标䁞，∵点在抛物线＝䁞䁞上，∴䁞＝䁞䁞，整理得䁞䁞＝，解得䁞，䁞，∴点的坐标为标或标；②当晦为对角线时，则晦与互相平分，∵标，晦标，∴晦中点坐标为标，∵点的坐标为䁞标䁞，∴点的坐标为䁞标䁞，∵点在抛物线＝䁞䁞上，∴䁞＝䁞䁞，整理得䁞䁞＝，解得䁞＝，䁞＝（舍去），∴点的坐标为标；综上所述，符合条件的点坐标为标或标或标或标．试卷第11页，总11页
