2005年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．)1.方程lgx2-lg(x+2)=0的解集是________．2.limn→∞n+21+2+…+n=________．3.若cosα=35，且α∈(0, π2)，则tanα2=________．4.函数f(x)=-x2(x∈(-∞, -2])的反函数f-1(x)=________5.在△ABC中，若∠C=90∘，AC=BC=4，则BA→⋅BC→=________．6.某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________．（结果用最简分数表示）7.双曲线9x2-16y2=1的焦距是________8.若(x+2)n=xn+...+ax3+bx2+cx+2n(n∈N，且n≥3)，且a:b=3:2，则n=________．9.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，关于数列{an}有下列三个命题①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an=an+1(n∈N*)；②若Sn=an2+bn(a, b∈R)，则{an}是等差数列；③若Sn=1-(-1)n，则{an}是等比数列；这些命题中，真命题的序号是________．10.若集合A={x|3cos2πx=3x, x∈R}，B={y|y2=1, y∈R}，则A∩B=________．11.函数y=sinx+arcsinx的值域是________．12.已知函数f(x)=2x+log2x，数列{an}的通项公式是an=0.1n(n∈N)，当|f(an)-2005|取得最小值时，n=________．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.)13.知直线l、m、n及平面α，下列命题中的假命题是（）A.若l // m，m // n，则l // nB.若l⊥α，n // α，则l⊥nC.若l⊥m，m // n，则l⊥nD.若l // α，n // α，则l // n14.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形15.若a、b、c是常数，则“a>0且b2-4ac<0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R试卷第5页，总6页
，且x≠x0，有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值．这些命题中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．)17.已知z是复数，z+2i，z2-i（i为虚数单位）均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18.已知tanα是方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根，求α的值．19.已知正三棱锥P-ABC的体积为723，侧面与底面所成的二面角的大小为60∘．（1）证明：PA⊥BC；（2）求底面中心O到侧面的距离．20.某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房．假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%．（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积．（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）21.已知函数f(x)=x+ax的定义域为(0, +∞)，且f(2)=2+22．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|⋅|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．22.（1）求右焦点坐标是(2, 0)，且经过点(-2, -2)的椭圆的标准方程．试卷第5页，总6页
（2）已知椭圆C的方程是x2a2+y2b2=1(a>b>0)．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．试卷第5页，总6页
参考答案与试题解析2005年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1.{-1, 2}2.03.124.--x(x≤-4)5.166.12607.568.119.①②③10.{1}11.[-sin1-π2, sin1+π2]12.110二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.13.D14.B15.A16.C三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.解：设z=x+yi(x，y∈R)，所以z+2i=x+(y+2)i，由题意，得y=-2．因为z2-i=x-2i2-i=15(x-2i)(2+i)=15(2x+2)+15(x-4)i，由题意，得x=4，所以z=4-2i．因为(z+ai)2=12+4a-a2+8(a-2)i，根据条件，可知12+4a-a2>08(a-2)>0，解得2<a<6．所以实数a的取值范围是(2,6)．18.解：∵tanα是方程x2+2xsecα+1=0的较小根，∴方程的较大根是cotα．∵tanα+cotα=-2secα，即试卷第5页，总6页
1sinαcosα=-2cosα∴sinα=-12．解得α=2kπ+7π6，或α=2kπ-π6，k∈Z．当α=2kπ+7π6(k∈Z)时，tanα=33，cotα=3；当α=2kπ-π6(k∈Z)时，tanα=-33，cotα=-3，不合题意．∴α=2kπ+7π6，k∈Z．19.（1）证明：取BC边的中点D，连接AD、PD，则AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD．∴PA⊥BC．（2）解：如图，由（1）可知平面PBC⊥平面APD，则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角．过点O作OE⊥PD，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离．设OE为h，由题意可知点O在AD上，∴∠PDO=60∘，OP=2h．∵OD=2h3，∴BC=4h，∴S△ABC=34(4h)2=43h2，∵723=13⋅43h2⋅2h=833h3，∴h=3．即底面中心O到侧面的距离为3．20.解：（1）2005年底的住房面积为：1200(1+5%)-20=1240（万平方米），2006年底的住房面积为：1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282（万平方米），∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米．（2）2024年底的住房面积为：1200(1+5%)20-20(1+5%)19-20(1+5%)18-...-20(1+5%)-20=1200(1+5%)20-20×1.0520-10.05≈2522.64（万平方米），∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米．21.解：（1）∵f(2)=2+a2=2+22，∴a=2．试卷第5页，总6页
（2）设点P的坐标为(x0, y0)，则有y0=x0+2x0，x0>0，由点到直线的距离公式可知，|PM|=|x0-y0|2=1x0，|PN|=x0，∴有|PM|⋅|PN|=1，即|PM|⋅|PN|为定值，这个值为1．（3）由题意可设M(t, t)，可知N(0, y0)．∵PM与直线y=x垂直，∴kPM⋅1=-1，即y0-tx0-t=-1．解得t=12(x0+y0)．又y0=x0+2x0，∴t=x0+22x0．∴S△OPM=12x02+22，S△OPN=12x02+22．∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=12(x02+1x02)+2≥1+2．当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+2．22.解：（1）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，a>b>0，∴a2=b2+4，即椭圆的方程为x2b2+4+y2b2=1．∵点(-2, -2)在椭圆上，∴4b2+4+2b2=1．解得b2=4或b2=-2（舍）．由此得a2=8，即椭圆的标准方程为x28+y24=1．（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A(x1, y1)、B(x2, y2)，y=kx+m，则有x2a2+y2b2=1．解得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0．∵△>0，∴m2<b2+a2k2，即-b2+a2k2<m<b2+a2k2．则x1+x2=-2a2kmb2+a2k2，y1+y2=kx1+m+kx2+m=2b2mb2+a2k2，∴AB中点M的坐标为(-a2kmb2+a2k2, b2mb2+a2k2)．∴线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上．（3）解：如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．试卷第5页，总6页
