2006年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题满分48分）)lim̀옙1.计算：________．̀2.方程log옙̀െ的解________．3.函数െ̀，晦䁧的反函数̀െ________．̀옙4.不等式晦的解集是________．̀5.已知圆：̀െ옙̀옙＝옙晦െ和直线ǣ̀̀＝晦．若圆与直线没有公共点，则的取值范围是________晦䁧晦െ．6.已知函数െ是定义在̀䁧̀െ上的偶函数．当̀䁧晦െ时，െ̀，则当晦䁧̀െ时，െ________．7.电视台连续播放个广告，其中含个不同的商业广告和옙个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式（结果用数值表示）．8.正四棱锥底面边长为，侧棱长为，则其体积为________．9.在䳌中，已知䳌知，，三角形面积为옙，则cos옙________．10.若向量、的夹角为晦，，，则옙̀________．11.已知直线过点옙䁧െ且与轴、轴的正半轴分别交于、䳌两点，为坐标原点，则三角形䳌面积的最小值为________．12.同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列，옙，…，满足옙，则________（结论用数学式子表示）．二．选择题（本大题满分16分）)13.抛物线옙的焦点坐标为（）A.晦䁧െB.䁧晦െC.晦䁧옙െD.옙䁧晦െ14.若，，，，则下列不等式成立的是െ옙옙A.B.C.D.옙̀옙̀옙옙15.若，则“”是“方程̀表示双曲线”的()̀̀A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.，̀，䳌옙̀，晦，则䳌െA.̀䁧B.̀䁧C.D.试卷第1页，总6页
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.)17.在长方体䳌ܥ̀䳌ܥ中，已知ܥܥ，ܥܥ，求异面直线䳌与䳌所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.已知复数满足̀̀옙െ（为虚数单位），̀̀옙，求一个以为根的实系数一元二次方程．19.已知函数െ옙siǹെ̀옙cos，，．옙െ若sin，求函数െ的值；옙െ求函数െ的值域．20.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行옙옙（按顺时针方向）的轨迹方程为̀，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛晦晦옙物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、晦䁧െ为顶点的抛物线的实线部分，降落点为ܥ知䁧晦െ．观测点䁧晦െ、䳌䁧晦െ同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点、䳌测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21.设函数െ옙̀̀．（1）在区间̀옙䁧上画出函数െ的图象；（2）设集合െ，䳌̀䁧̀옙晦䁧䁧̀െ．试判断集合和䳌之间的关系（要写出判断过程）；（3）当옙时，求证：在区间̀䁧上，̀的图象位于函数െ图象的上方．22.已知数列，옙，…晦，其中，옙，…晦，是首项为，公差为的等差数列；列，，…，是公差为的等差数列；，，…，是公差为옙的等差数晦옙晦옙晦옙晦列晦െ．（1）若옙晦晦，求；试卷第2页，总6页
（2）试写出晦关于的关系式，并求晦的取值范围；（3）续写已知数列，使得，，…，是公差为的等差数列，…，依此类推，晦晦把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？试卷第3页，总6页
参考答案与试题解析2006年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题满分48分）1.2.옙3.̀െ，䁧知4.̀䁧옙5.晦䁧晦െ6.̀̀7.知8.9.옙10.옙11.̀옙̀̀̀옙̀̀̀̀̀옙̀̀̀옙̀̀12.െ和െ̀二．选择题（本大题满分16分）13.B14.C15.A16.B三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.解：连接ܥ，∵ܥ䳌，∴䳌ܥ为异面直线䳌与䳌所成的角．连接䳌ܥ，在ܥ䳌中，䳌ܥ，䳌ܥ옙，䳌옙̀ܥ옙̀䳌ܥ옙옙̀옙̀옙则cos䳌ܥ．옙䳌ܥ옙옙∴异面直线䳌与䳌所成角的余弦值为옙即异面直线䳌与䳌所成角的大小为arccos옙18.解：[解法一]∵复数满足̀̀옙െ，∴̀옙െ̀，∴̀옙െ̀옙െ̀െ̀옙െ，试卷第4页，总6页
∴晦̀，∴옙̀．옙̀െ∴̀옙̀̀옙̀옙̀̀̀．옙̀옙̀െ옙̀െ若实系数一元二次方程有虚根̀，则必有共轭虚根̀．∵̀，晦，∴所求的一个一元二次方程可以是옙̀̀晦晦．[解法二]设̀，䁧െ，∴̀̀̀옙̀옙，̀옙옙得解得，∴옙̀，̀옙̀以下解法同[解法一]．19.解：െ∵sin，，옙∴cos̀̀̀옙∴െ옙siǹെ̀옙cossiǹcos̀옙cossiǹcos̀̀（2）െ옙siǹെ̀옙cossiǹcos̀옙cossiǹcos옙siǹെ∵，옙∴̀∴siǹെ옙∴െ的最大值为옙，最小值为，值域为䁧옙20.当观测点、䳌测得、䳌距离分别为옙、时，应向航天器发出变轨指令．21.解：（1）设̀옙，当옙̀̀晦时，即或̀̀옙时，െ옙̀̀̀옙െ옙̀当옙̀̀晦时，即̀时，െ̀옙̀̀െ̀̀옙െ옙̀故作图如下：（2）方程െ的解分别是옙̀，晦，和옙̀，由于െ在̀䁧̀和옙䁧上单调递减，试卷第5页，总6页
在̀䁧옙和䁧̀െ上单调递增，∴̀䁧옙̀晦䁧옙̀䁧̀െ．由于옙̀，옙̀̀옙∴䳌．（3）当̀䁧时，െ̀옙̀̀．옙옙̀옙െ̀െ̀̀̀̀െ̀̀െ̀̀െ̀െ̀옙옙̀옙晦̀，̀∵옙，∴．又̀，옙̀①当̀，即옙时，옙̀옙̀옙晦̀옙取，െmiǹ̀̀晦െ̀．옙∵̀晦െ옙，∴̀晦െ옙̀晦，则െ晦．miǹ②当̀，即时，取̀，െmin옙晦．옙由①、②可知，当옙时，െ晦，̀䁧．因此，在区间̀䁧上，̀െ的图象位于函数െ图象的上方．22.解：（1）晦̀晦．옙晦晦̀晦晦，∴．（2）̀晦옙晦̀̀옙െ晦െ，晦옙晦옙晦晦̀െ̀，옙当̀䁧晦െ晦䁧̀െ时，晦䁧̀െ（3）所给数列可推广为无穷数列，其中，옙，…，晦是首项为，公差为的等差数列，当时，数列，，…，是公差为的等差数列．晦晦̀晦（̀）研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围．晦（̀）晦（̀）研究的结论可以是：由̀晦晦̀̀옙̀െ，晦晦̀̀晦，依此类推可得晦̀̀̀െ̀．晦（̀）晦̀െ䁧当晦时，的取值范围为晦䁧̀െ等．晦（̀）试卷第6页，总6页
