§6.2 等差数列基础篇【基础集训】考点一 等差数列的有关概念及运算1.若{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于( )A.-2 B.- C. D.2答案 B2.已知在等差数列{an}中,a1=1,a3=2a+1,a5=3a+2,若Sn=a1+a2+…+an,且Sk=66,则k的值为 ( )A.9 B.11 C.10 D.12答案 B3.设等差数列{an}满足3a8=5a15,且a1>0,Sn为其前n项和,则数列{Sn}的最大项为( )A.S23 B.S24 C.S25 D.S26答案 C4.已知数列{an}满足a1=,且an+1=.(1)求证:数列是等差数列;(2)若bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.考点二 等差数列的性质5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=( )A.1 B.-1 C.2 D.答案 A
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=,S9=9,则a7=( )A. B.1 C.- D.2答案 C7.已知数列{an}是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,若-=100,则d的值为( )A. B. C.10 D.20答案 B8.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8= . 答案 749.已知An及Bn是等差数列{an}、{bn}的前n项和,且=,则= . 答案 10.已知数列{an}是等差数列.(1)前四项和为21,末四项和为67,且各项和为286,求项数;(2)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33.求数列的中间项和项数.[教师专用题组]【基础集训】考点一 等差数列的有关概念及运算1.已知等差数列{an}中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为( )A.-3 B.- C.-2 D.-4答案 D 设等差数列{an}的公差为d,
因为所以解得d=-4,故选D.2.(2019福建龙岩新罗模拟,12)已知等差数列{an}的公差为-2,前n项和为Sn,a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立,则实数m=( )A.7 B.6 C.5 D.4答案 B ∵等差数列{an}的公差为-2,又a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,∴=+-2a4·a5cos120°,即(a4+2)2=+(a4-2)2+2a4(a4-2)×,整理为-5a4=0,又a4≠0,∴a4=5,∴a3=7,a5=3,a6=1,a7=-1.∵Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立,∴实数m=6.故选B.3.(2020浙江慈溪期中,11)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),若a1=3,a5=-11,则a3= ,S5= . 答案 -4;-20解析 本题考查等差数列的前n项和、通项公式及性质;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.解法一:由2a3=a1+a5,得a3==-4.S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=-20.解法二:设等数列{an}的公差为d,由得所以a3=a1+2d=-4,S5=5a1+d=-20.
考点二 等差数列的性质及应用 (2018河北唐山第二次模拟,7)设{an}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( )A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4YC.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y答案 D 设数列{an}的前3n项和为R,则由等差数列的性质得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差数列,所以2(Y-X)=X+R-Y,得R=3Y-3X,又因为2(R-Y)=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故选D.综合篇【综合集训】考法一 等差数列的判定与证明1.(2019河北冀州模拟,9)已知{an},{bn}均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{an},{bn}的公共项组成新数列{cn},则c10=( )A.18 B.24 C.30 D.36答案 C2.(2021届湖北宜昌葛洲坝中学9月月考)已知数列{an}满足a1=3,(n+2)an+1=(n+3)an+n2+5n+6(n∈N*).(1)证明:为等差数列;(2)设bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
考法二 等差数列前n项和及性质问题3.(2020福建泉州毕业班适应性线上测试)已知{an}是公差为3的等差数列.若a1,a2,a4成等比数列,则{an}的前10项和S10=( )A.165 B.138 C.60 D.30答案 A4.(2020浙江高中发展共同体期末)已知{an}是公差为d的等差数列,前n项和是Sn,若S9<S8<S10,则( )A.d>0,S17>0 B.d<0,S17<0C.d>0,S18<0 D.d>0,S18>0答案 D5.(2021届江苏启东中学检测,19)在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a4,a8成等比数列.(1)已知数列{an}的前10项和为45,求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,且数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn=-,求数列{an}的公差.6.(2020河北邯郸空中课堂备考检测,17)数列{an}是公差不为0的等差数列,若a4=2a2,且4,a4,a8成等比数列.(1)证明:4是数列{an}中的一项;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,求数列的前n项和Tn.[教师专用题组]【综合集训】考法一 等差数列的判定与证明1.(2019广东珠海3月联考,5)已知数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}( )A.既非等差数列,又非等比数列
B.既是等差数列,又是等比数列C.仅为等差数列D.仅为等比数列答案 B 根据题意,数列{an}中,=,则=(n≥2),则Sn=××…××S1=××…××1=n(n≥2),当n=1时,S1=a1=1符合,则当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)=1,当n=1时,a1=1符合,故an=1(n∈N*),则数列{an}为非零的常数列,它既是等差数列,又是等比数列,故选B.2.(20205·3原创题)数列{an}满足a1=1,an+1=.(1)求证:是等差数列;(2)求an.解析 (1)证明:-=-=-=-=2,因此是等差数列.(2)由(1)知,是以=1为首项,2为公差的等差数列,故=2n-1,解得an=.3.(2018山东济南一中1月检测,18)各项均不为0的数列{an}满足=an+2an,且a3=2a8=.(1)证明:数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}的通项公式为bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.解析 (1)依题意,an+1an+an+2an+1=2an+2an,两边同时除以anan+1an+2,可得+=,故数列
是等差数列.设数列的公差为d.因为a3=2a8=,所以=5,=10,所以-=5=5d,即d=1,故=+(n-3)d=5+(n-3)×1=n+2,故an=.(2)由(1)可知bn==·=,故Sn==.4.(2019浙江金丽衢联考,20)已知数列{an},a1=2,a2=6,且满足=2(n≥2且n∈N*).(1)求证:{an+1-an}为等差数列;(2)令bn=-,设数列{bn}的前n项和为Sn,求{S2n-Sn}的最大值.解析 (1)证明:由=2得an+1+an-1=2an+2,则(an+1-an)-(an-an-1)=2.又a2-a1=4,所以{an+1-an}是首项为4,公差为2的等差数列.(5分)(2)当n≥2时,由(1)知an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=2n+…+4+2=2·=n(n+1).当n=1时,a1=2满足an=n(n+1),故an=n(n+1).(8分)∴bn=-=-.∴Sn=10-,∴S2n=10-.设Mn=S2n-Sn=10-,(11分)
∴Mn+1=10-,∴Mn+1-Mn=10-=10-=-.当n=1时,Mn+1-Mn=->0,即M1<M2;当n≥2时,Mn+1-Mn<0,即M2>M3>M4>…,∴Mn的最大值为M2,M2=10×-1=,即{S2n-Sn}的最大值为S4-S2=.(15分)考法二 等差数列前n项和及性质问题1.(2018广东汕头模拟,8)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,-=-4,则Sn取最大值时的n为( )A.4 B.5 C.6 D.4或5答案 B 由{an}为等差数列,得-=a5-a3=2d=-4,即d=-2,由于a1=9,所以an=-2n+11,令an=-2n+11>0,得n<,所以Sn取最大值时的n为5,故选B.2.(2018广东深圳期末,14)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n= . 答案 6解析 设数列{an}的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,∴d=2.∴Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36.
∴当n=6时,Sn最小.3.(20205·3原创题)等差数列{an}中,an>0,若a1+a3+a5+…+a201=2020,则a2a200的最大值是 . 答案 400解析 易知a1,a3,a5,…,a201成等差数列,且项数为101,由等差数列求和公式得=2020,故a1+a201=40,因为an>0,所以由基本不等式知a2a200≤==400.故a2a200的最大值是400.4.(2018山东青岛调研,17)已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=3×2n-3,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}为等差数列,Tn为其前n项和,b2=a5,b11=S3,求Tn的最值.解析 (1)由Sn=3×2n-3,n∈N*,得(i)当n=1时,a1=S1=3×21-3=3.(ii)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3×2n-3)-(3×2n-1-3)=3×(2n-2n-1)=3×2n-1(*).又当n=1时,a1=3也满足(*)式.所以,对任意n∈N*,都有an=3×2n-1.(2)解法一:设等差数列{bn}的首项为b1,公差为d,由(1)得b2=a5=3×25-1=48,b11=S3=3×23-3=21.由等差数列的通项公式得解得所以bn=54-3n.∵bn+1-bn=-3<0,∴bn随着n的增大而减小,令bn=0,解得n=18,∴当n≤17的bn>0,当n>19时,bn<0.所以Tn有最大值,无最小值,且T18(或T17)为Tn的最大值,
T18==9×(51+0)=459.解法二:由解法一可知Tn=51n+×(-3)=-n2+n=-(n2-35n)=-=-+,∵n∈N*,∴当n=17或18时,Tn有最大值,T17=T18=459.
