§9.3 椭圆基础篇【基础集训】考点一 椭圆的定义及标准方程1.已知椭圆+=1的一个焦点为,则m=( )A.1 B.2 C.3 D.答案 D2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1 B.+y2=1C.+=1 D.+=1答案 A3.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交,且弦长为b,则椭圆的标准方程为( )A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1答案 B
4.(多选题)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是( )A.|PF1|+|PF2|=2B.离心率e=C.△PF1F2面积的最大值为D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切答案 AD5.过点P作圆x2+y2=1的切线l,已知A,B分别为切点,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和下顶点,则直线AB的方程为 ;椭圆的标准方程是 . 答案 2x-y-2=0;+=1考点二 椭圆的几何性质6.设椭圆E:+=1(a>b>0)的右顶点为A,右焦点为F,B为椭圆在第二象限上的点,直线BO交椭圆E于点C,若直线BF平分线段AC于M,则椭圆E的离心率是( )A. B. C. D.答案 C7.设椭圆的方程为+=1,右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则+的取值范围是( )A. B. C. D.
答案 D考点三 直线与椭圆的位置关系8.与椭圆+y2=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案 B9.(多选题)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F、E,直线x=m(-1<m<1)与椭圆相交于点A、B,则( )A.当m=0时,△FAB的面积为B.不存在m,使△FAB为直角三角形C.存在m,使四边形FBEA面积最大D.存在m,使△FAB的周长最大答案 AC10.已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,且弦与椭圆交于A、B两点,则此弦所在直线的方程为 . 答案 x+2y-3=011.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.[教师专用题组]
【基础集训】考点一 椭圆的定义及标准方程 (2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,14)已知椭圆的方程为+=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长的最小值为 ,△ABF2的面积的最大值为 . 答案 10;2解析 设F1为椭圆左焦点,连接AF1,BF1,则由椭圆的中心对称性可得=AF2+BF2+AB=AF1+AF2+AB=6+AB≥6+4=10,=≤×2×2=2.考点二 椭圆的几何性质 (2018甘肃酒泉中学月考,9)已知椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为M,上顶点为N,右焦点为F,若·=0,则椭圆的离心率为( )A. B.C. D.答案 D 椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为M(-a,0),上顶点为N(0,b),右焦点为F(c,0),∵·=0,∴NM⊥NF,∴a2+b2+b2+c2=(a+c)2,又a2=b2+c2,所以a2-c2=ac,
即e2+e-1=0,∵e∈(0,1),∴e=.故选D.方法总结 求椭圆离心率的方法有两种:一是直接法,即e==;二是间接法,即利用方程求解.考点三 直线与椭圆的位置关系1.(2018广东清远模拟,11)已知m、n、s、t∈R+,m+n=3,+=1,其中m、n是常数且m<n,若s+t的最小值是3+2,满足条件的点(m,n)是椭圆+=1的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程为( )A.x-2y+3=0 B.4x-2y-3=0C.x+y-3=0 D.2x+y-4=0答案 D ∵m、n、s、t为正数,m+n=3,+=1,s+t的最小值是3+2,∴(s+t)的最小值是3+2,∴(s+t)=m+n++≥m+n+2,当且仅当=时等号成立,此时m+n+2=3+2,解得mn=2,又m+n=3,m<n,∴m=1,n=2.设以(1,2)为中点的弦交椭圆+=1于A(x1,y1),B(x2,y2),由中点坐标公式知x1+x2=2,y1+y2=4,把A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入4x2+y2=16,
得两式相减得2(x1-x2)+(y1-y2)=0,∴k==-2,∴此弦所在直线的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.故选D.2.(2019吉林实验中学高三第四次月考,10)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2、点M为椭圆上不同于A1,A2的一点,若直线MA1与直线MA2的斜率之积等于-,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案 C 由已知得A1(-a,0),A2(a,0),设M(x0,y0),则=,=,∵·=-,∴=-,①又∵+=1,∴=(a2-).②由①②可得=,∴e====,故选C.综合篇【综合集训】考法一 与椭圆定义相关的问题1.(2020北京师范大学附属实验中学月考,6)△ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(4,0),
它的周长是18,则顶点C的轨迹方程是( )A.+=1 B.+=1(y≠0)C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)答案 D2.(2019豫东豫北十校4月联考,8)椭圆C:+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2,则△PF1F2的周长是( )A.2(+) B.4+2C.+ D.+2答案 A3.(2020湖南长沙长郡中学月考,7)设P,Q分别是圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A.5 B.+C.6 D.7+答案 C4.(2020浙江杭州4月模拟,10)已知方程(k-1)x2+(9-k)y2=1,若该方程表示椭圆的方程,则k的取值范围是 . 答案 {k|1<k<5或5<k<9}考法二 椭圆离心率问题的求法5.(2020福建龙岩质量检查,8)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,
若△AFB是直角三角形,则椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.答案 D6.(2020湘赣皖十五校第二次联考,15)已知直线x+2y-3=0与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,且线段AB的中点在直线3x-4y+1=0上,则此椭圆的离心率为 . 答案 7.(2020浙江温州中学3月模拟,19)已知直线l:y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)恰有一个公共点P,l与圆x2+y2=a2相交于A,B两点.(1)求k与m的关系式;(2)点Q与点P关于坐标原点O对称.当k=-时,△QAB的面积取到最大值a2,求椭圆的离心率.考法三 直线与椭圆位置关系问题的解法8.(多选题)(2020山东潍坊6月模拟,11)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为D.若=,则椭圆C的长轴长为+
答案 ACD9.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.[教师专用题组]【综合集训】考法一 与椭圆定义相关的问题1.(2018山东青岛城阳期末,7)若椭圆+=1的焦距为4,则实数a的值为( )A.1 B.21 C.4 D.1或9答案 D 当焦点在x轴上时,2=,解得a=1;当焦点在y轴上时,2=,解得a=9.故选D.2.(2019湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟联考,4)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若△F1AB的周长为8,则椭圆方程为( )A.+=1 B.+=1C.+y2=1 D.+=1答案 A 由椭圆的定义可知,△F1AB的周长为4a,∴4a=8,a=2,又离心率为,即=,∴c=1,则b2=3,
故椭圆方程为+=1,故选A.3.(2019江西五校协作体4月联考,11)已知点F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上的动点,动点Q满足·=||||且||=||,其中≠0,≠0,若||的最小值为1,最大值为9,则椭圆的方程为( )A.+=1 B.+y2=1C.+=1 D.+y2=1答案 A 由·=||||知点F1,P,Q共线,且与同向.由椭圆的定义知||+||=2a,又||=||,所以||+||=||=2a,所以动点Q在以F1为圆心,2a为半径的圆上.由平面几何知识知当点P位于左顶点时,||取得最大值a+c,当点P位于右顶点时,||取得最小值a-c,所以解得所以b2=a2-c2=25-16=9,所以椭圆的方程为+=1,故选A.考法二 椭圆的离心率问题的求法1.(2018豫南九校3月联考,9)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为( )A. B. C. D.答案 A 不妨设椭圆方程为+=1(a>1),与直线l的方程联立得消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,由题意易知Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)≥0,
解得a≥,所以e==≤,所以e的最大值为.故选A.2.(2019四川第一次诊断,6)设椭圆+=1(m>0,n>0)的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同,离心率为,则m-n=( )A.2-4 B.4-3 C.4-8 D.8-4答案 A 抛物线x2=8y的焦点为(0,2),∴椭圆的焦点在y轴上,由离心率e=,可得=,则n=4,∴m=2,故m-n=2-4.故选A.3.(2018湖南湘东五校联考,11)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.答案 B 由题意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2=4c2+4c2-2·2c·2c·cos∠PF1F2,即|PF2|=2c·,所以a==c+c·,又60°<∠PF1F2<120°,∴-<cos∠PF1F2<,所以2c<a<(+1)c,则<<,即<e<.故选B.思路分析 首先根据余弦定理求出等腰三角形底边PF2的长,进而根据椭圆的定义可得椭圆的
长半轴长a=c+c·,结合60°<∠PF1F2<120°可得出a的范围,再根据椭圆离心率的定义进行运算,即可得出椭圆离心率的取值范围.4.(2018四川达州模拟,7)以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点,以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是( )A. B. C. D.答案 C x2+y2=4与x轴的交点为(±2,0),抛物线y2=10x的焦点为,即椭圆的焦点为(±2,0),椭圆的一个顶点为,则椭圆中c=2,a=,所以椭圆的离心率e===,故选C.5.(2020浙江“七彩阳光”联盟期初联考,15)已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点,P为C上一点,O为坐标原点,若△POF为等边三角形,则C的离心率为 . 答案 -1解析 本题考查椭圆的概念其性质;考查学生数学运算的能力和数形结合的思想;考查了数学运算的核心素养.不妨令F为椭圆C的右焦点,P为椭圆C在第一象限内的点,由题意可知P,代入椭圆方程中得+=1,即e2+=4⇒e2-4=-2⇒e=-1.
考法三 直线与椭圆位置关系问题的解法1.(2019浙江宁波期末,9)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e的取值范围为,直线y=-x+1交椭圆于点M、N,O为坐标原点且OM⊥ON,则椭圆长轴长的取值范围是( )A.[,2] B.[,] C.[,] D.[2,3]答案 C 设M(x1,y1),N(x2,y2),由得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,则x1+x2=,x1x2=.①由OM⊥ON得·=0,即x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0,②将①代入②,化简得b2=.又因为e===∈,所以≤a≤⇒≤2a≤,故选C.小题巧解 根据椭圆的性质,原点O到直线y=-x+1的距离d满足=+,又d=,所以=.又e2==1-=1-,e2∈,所以4a2∈[5,6],所以2a∈[,].故选C.知识拓展 已知椭圆+=1(a>b>0)上的两点M,N满足OM⊥ON,且原点O到直线MN的距离为d,则椭圆有如下性质:=+.证明:设M(r1cosθ,r1sinθ),Nr2cos,r2sin为椭圆上满足题意的两个点,
将两点坐标分别代入椭圆方程得+=1,+=1,所以+=+++=+,根据几何意义可知,+=,命题得证.2.如图,把椭圆+=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P7,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= . 答案 35解析 设椭圆的右焦点为F',由椭圆的对称性知,|P1F|=|P7F'|,|P2F|=|P6F'|,|P3F|=|P5F'|,∴原式=(|P7F|+|P7F'|)+(|P6F|+|P6F'|)+(|P5F|+|P5F'|)+|P4F|=7a=35.疑难突破 椭圆中经常使用对称性转化线段,再搭配定义解决问题.3.(2018四川泸州适应性考试,16)设椭圆的中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.若=6,则k的值为 . 答案 或解析 依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,易知x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=.由=6知x0-x1=6(x2-x0),得x0=(6x2+x1)=x2=.
由D在AB上知x0+2kx0=2,得x0=.所以=,化简得24k2-25k+6=0,解得k=或k=.4.(2019浙江三校联考,17)如图,椭圆C1:+y2=1,椭圆C2:+=1.点P为椭圆C2上一点,直线PO与椭圆C1交于点A,B,则= . 答案 3-2解析 解法一:因为B,A,P三点共线,设直线AP的倾斜角为θ,|OA|=r1,=r2,则A(r1cosθ,r1sinθ),P(r2cosθ,r2sinθ),因为点A在椭圆+y2=1上,所以+sin2θ=1,即+sin2θ=,同理得,+=,两式相除可得=2,即=,所以====3-2.解法二:易知椭圆C1,C2的离心率相等,故可设两个椭圆的离心角为θ,则A(2cosθ,sinθ),B(-2cosθ,-sinθ),P(2cosθ,sinθ),显然=3-2.
