§1.2 常用逻辑用语基础篇【基础集训】考点一 命题及其关系(旧课标)1.命题“若α=,则sinα=1”的逆否命题是( )A.若α≠,则sinα≠1 B.若α=,则sinα≠1C.若sinα≠1,则α≠ D.若sinα=1,则α=答案 C2.有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题为( )A.①② B.②③ C.③④ D.①③答案 D考点二 充分条件与必要条件3.已知等比数列{an}中,a1>0,则“a1<a4”是“a3<a5”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A4.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D5.已知直线m、n和平面α,在下列给定的四个结论中,m∥n的一个必要但不充分条件是( )A.m∥α,n∥α B.m⊥α,n⊥αC.m∥α,n⊂α D.m、n与α所成的角相等答案 D6.“k=-”是“直线y=kx+1与圆(x-2)2+y2=1相切”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案 A考点三 简单的逻辑联结词(旧课标)7.已知命题p:∀x∈R,3x>0;命题q:∃x0∈R,log2x0<0.则下列命题为真命题的是( )A.p∧q B.(¬p)∨(¬q)C.(¬p)∧q D.p∧(¬q)答案 A8.设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为π;命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=对称,则下列结论正确的是( )A.p为假 B.¬q为假C.p∨q为假 D.p∧q为假答案 D9.已知a∈R,命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,若命题p∧q为真命题,则实数a的取值范围是 . 答案 a≤-2或a=1考点四 全称量词与存在量词
10.命题“∀x∈R,x2-2x+4≤0”的否定为( )A.∀x∈R,x2-2x+4≥0 B.∃x0∈R,-2x0+4>0C.∀x∉R,x2-2x+4≥0 D.∃x0∉R,-2x0+4>0答案 B11.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1答案 A12.下列命题为真命题的是( )A.∃x0∈R,-x0+2=0B.命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∃x0∈R,+x0+1=0”C.∀θ∈R,函数f(x)=sin(2x+θ)都不是偶函数D.在△ABC中,“A=B”是“sinA=sinB”的充要条件答案 D[教师专用题组]【基础集训】考点一 命题及其关系(旧课标)1.(2018豫南豫北高三第二次联考,2)若原命题为“若z1,z2为共轭复数,则|z1|=|z2|”,则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为( )A.真、真、真 B.真、真、假 C.假、假、真 D.假、假、假答案 C 因为原命题为真,所以它的逆否命题为真;若|z1|=|z2|,当z1=1+i,z2=-1+i时,这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题为假,故其否命题也是假命题,故选C.
2.(2017福建泉州惠南中学2月模拟,4)A,B,C三个学生参加了一次考试,其中A,B的得分均为70分,C的得分为65分,已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格,在下列四个命题中,为p的逆否命题的是( )A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格B.若A,B,C都及格,则及格分不低于70分C.若A,B,C至少有1人及格,则及格分不低于70分D.若A,B,C至少有1人及格,则及格分不高于70分答案 C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格的逆否命题是若A,B,C至少有1人及格,则及格分不低于70分.故选C.3.(2020广西南宁二中8月月考,6)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题答案 B 易知选项A,D错误.∵f(x)=ex-mx,∴f'(x)=ex-m,又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f'(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1,∴原命题是真命题,而其逆否命题为“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,由原命题与其逆否命题的等价性可知其逆否命题也为真命题,故选B.4.(2018山东济南外国语学校月考,3)原命题:“a,b为两个实数,若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”,下列说法错误的是( )A.逆命题:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,为假命题B.否命题:若a+b<2,则a,b都小于1,为假命题
C.逆否命题:若a,b都小于1,则a+b<2,为真命题D.“a+b≥2”是“a,b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件答案 D 原命题:“a,b为两个实数,若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,逆命题:“a,b为两个实数,若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,否命题:“a,b为两个实数,若a+b<2,则a,b都小于1”,逆否命题:“a,b为两个实数,若a,b都小于1,则a+b<2”,逆否命题显然为真命题,故原命题也为真命题,当a=1.5,b=0时,a+b≥2不成立,即逆命题为假命题,故否命题为假命题.所以“a+b≥2”是“a,b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件.故选D.5.(2018河北衡水金卷A信息卷(五),14)命题p:若x>0,则x>a;命题q:若m≤a-2,则m<sinx(x∈R)恒成立.若p的逆命题,q的逆否命题都是真命题,则实数a的取值范围是 . 答案 [0,1)解析 命题p的逆命题是若x>a,则x>0,故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题,所以命题q为真命题,则a-2<-1,解得a<1.则实数a的取值范围是[0,1).6.下列命题正确的有 (填写所有正确命题的序号). ①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.答案 ①④解析 对于①,若log2a>0,则a>1,所以函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在其定义域内是增函数,故①不正确;易知②正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,
如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上,可知正确的有②④.考点二 充分条件与必要条件1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,2)“a=1”是“复数z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的( )A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 复数z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则∴a=1,∴“a=1”是“复数z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件,选A.2.(2019浙江“七彩阳光”联盟期初联考,5,4分)“直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行”是“m=-3”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B 由直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行,可得3×2=m(m+1)⇔m=-3或m=2,所以“直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行”是“m=-3”的必要不充分条件.选B.3.(2018天津滨海新区七校联考,4)已知集合A={x||x-1|+|x-4|<5},集合B={x|y=log2(2x-x2)},则“x∈A”是“x∈B”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B 对于|x-1|+|x-4|<5,当x>4时,2x-5<5,解得x<5,∴4<x<5;当1≤x≤4时,x-1+4-x<5,即3<5,解得1≤x≤4;当x<1时,-(x-1)-(x-4)<5,解得0<x<1.综上,可得A=(0,5).由y=log2(2x-x2),得2x-x2>0,解得0<x<2,∴B=(0,2),则“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.4.(2018江西南昌二中4月月考,3)下列命题:①已知a,b∈R,“a>1且b>1”是“ab>1”的充分条件;
②已知平面向量a,b,“|a|>1,|b|>1”是“|a+b|>1”的必要不充分条件;③已知a,b∈R,“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件;④命题p:“∃x0∈R,使≥x0+1且lnx0≤x0-1”的否定为¬p:“∀x∈R,都有ex<x+1且lnx>x-1”.其中真命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 C ①已知a,b∈R,“a>1且b>1”能够推出“ab>1”,“ab>1”不能推出“a>1且b>1”,故①正确;②已知平面向量a,b,“|a|>1,|b|>1”不能推出“|a+b|>1”,|a+b|>1不能推出|a|>1且|b|>1,故②不正确;③已知a,b∈R,当a2+b2≥1时,a2+b2+2|a|·|b|≥1,则(|a|+|b|)2≥1,则|a|+|b|≥1,又a=0.5,b=0.5满足|a|+|b|≥1,但a2+b2=0.5<1,所以“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件,故③正确;④命题p:“∃x0∈R,使≥x0+1且lnx0≤x0-1”的否定为¬p:“∀x∈R,都有ex<x+1或lnx>x-1”,故④不正确.所以真命题的个数为2.故选C.5.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= . 答案 3或4解析 由题意可知一元二次方程有根,所以判别式Δ=16-4n≥0,解得n≤4,又n∈N*,逐个分析,当n=1,2时,方程没有整数根;而当n=3时,方程有整数根1,3;当n=4时,方程有整数根2.故一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=3或4.6.设命题p:|4x-3|≤1,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( )A. B.C.(-∞,0]∪ D.(-∞,0)∪答案 A 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.
解|4x-3|≤1,得≤x≤1,故A=.解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.解法一:¬p所对应的集合为∁RA=,¬q所对应的集合为∁RB={x|x<a或x>a+1}.由¬p是¬q的必要不充分条件,知∁RB⫋∁RA,所以或解得0≤a≤.故实数a的取值范围是.解法二:∵¬p是¬q的必要不充分条件,∴q是p的必要不充分条件,即p是q的充分不必要条件.∴A⫋B,∴或解得0≤a≤.∴实数a的取值范围为.故选A.考点三 简单的逻辑联结词(旧课标)1.(2017重庆第一次诊断,2)命题p:甲的数学成绩不低于100分,命题q:乙的数学成绩低于100分,则p∨(????q)表示( )A.甲、乙两人数学成绩都低于100分
B.甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C.甲、乙两人数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分答案 D 由题设可知,????q表示乙的数学成绩不低于100分,则p∨(????q)表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分,应选D.2.(2019安徽六安第一中学模拟(四),3)已知命题p:若△ABC为锐角三角形,则sinA<cosB;命题q:∀x,y∈R,若x+y≠5,则x≠-1或y≠6.则下列命题为真命题的是( )A.p∨(¬q) B.(¬p)∧q C.p∧q D.(¬p)∧(¬q)答案 B 命题p:若△ABC为锐角三角形,则0<C<,∴π>A+B>,∴>A>-B>0,则sinA>sin=cosB,可知p是假命题;命题q:∀x,y∈R,若x+y≠5,则x≠-1或y≠6的逆否命题是∀x,y∈R,若x=-1且y=6,则x+y=5,是真命题,∴原命题q是真命题.∴(¬p)∧q为真命题.故选B.3.(2019广东天河高中毕业班综合测试,7)已知命题p:若a=0.20.2,b=1.20.2,c=log1.20.2,则a<c<b;命题q:“x-2≥0”是“x-2>0”的必要不充分条件,则下列命题为真命题的是( )A.p∧q B.p∧(¬q)C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∧q答案 D 命题p:因为b=1.20.2>1,0<a=0.20.2<1,c=log1.20.2<0,故b>a>c.故命题p为假命题.命题q:“x-2≥0”是“x-2>0”的必要不充分条件,故命题q是真命题.则(¬p)∧q为真命题.故选D.4.(2019河北唐山第一次模拟,6)已知命题p:f(x)=x3-ax的图象关于原点对称;命题q:g(x)=xcosx的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是( )A.¬p B.q C.p∧q D.p∧(¬q)
答案 D 对于f(x)=x3-ax,有f(-x)=(-x)3-a(-x)=-(x3-ax)=-f(x),为奇函数,其图象关于原点对称,所以p为真命题;对于g(x)=xcosx,有g(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-g(x),为奇函数,其图象关于原点对称,所以q为假命题,则¬p为假命题,p∧q为假命题,p∧(¬q)为真命题,故选D.5.(2019陕西西安二模,5)已知命题p:对任意x>0,总有sinx<x;命题q:直线l1:ax+2y+1=0,l2:x+(a-1)y-1=0,若l1∥l2,则a=2或a=-1.则下列命题中是真命题的是( )A.p∧q B.(¬p)∧(¬q)C.(¬p)∨q D.p∨q答案 D 命题p:令f(x)=x-sinx,x∈(0,+∞),则f'(x)=1-cosx,易知f'(x)≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x-sinx>f(0)=0,所以x>sinx.故命题p为真命题.命题q:直线l1:ax+2y+1=0,l2:x+(a-1)y-1=0,若l1∥l2,则a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1,当a=-1时,两直线重合.故命题q为假命题.故p∨q为真命题.故选D.6.(2019安徽六安一中3月模拟,7)设命题p:∃x0∈(0,+∞),+x0=;命题q:∀a,b∈(0,8),a+,b+中至少有一个不小于2,则下列命题为真命题的是( )A.p∧q B.(¬p)∧qC.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)答案 B 因为f(x)=3x+x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=1>,∴p假;假设a+,b+都小于2,则a++b+<4,又根据基本不等式可得a++b+≥4,矛盾,∴q真,∴(????p)∧q为真命题,故选B.解题关键 正确判断每个简单命题的真假与正确应用真值表是求解此类问题的关键.
考点四 全称量词与存在量词1.(2017河北五个一名校联考,3)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定形式是( )A.∀x∈R,1<f(x)≤2 B.∃x∈R,1<f(x)≤2C.∃x∈R,f(x)≤1或f(x)>2 D.∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2答案 D 根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2”.故选D.2.(2017青海西宁二模,4)下列命题中的假命题是( )A.∀x∈R,21-x>0B.∃a∈R,使函数y=xa的图象关于y轴对称C.∃a∈R,使函数y=xa的图象经过第四象限D.∀x∈(0,+∞),2x>x答案 C 对于A,根据函数y=21-x的图象可以判断A正确;对于B,当a=2时,函数y=xa的图象关于y轴对称,故B正确;对于C,对于函数y=xa,当x为正值时,y不可能为负,故C错;对于D,根据函数y=2x,y=x的图象,可判定2x>x,故D正确.故选C.3.(2019河南八所重点高中第二次联合测评,2)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:∀f(x)∈A,|f(x)|∈B,则¬p为( )A.∀f(x)∈A,|f(x)|∉B B.∀f(x)∉A,|f(x)|∉BC.∃f(x)∈A,|f(x)|∉B D.∃f(x)∉A,|f(x)|∉B答案 C 全称命题的否定为特称命题,一是要改写量词,二是要否定结论,所以由命题p:∀f(x)∈A,|f(x)|∈B,得¬p为∃f(x)∈A,|f(x)|∉B,故选C.4.(2019北京海淀一模文,4)已知a<b,则下列结论中正确的是( )
A.∀c<0,a>b+c B.∀c<0,a<b+cC.∃c>0,a>b+c D.∃c>0,a<b+c答案 D 判断一个命题正确需要证明,判断一个命题错误,只需举一个反例即可.对于A选项,当a=1,b=3,c=-1时不成立,故A中结论错误;对于B选项,当a=1,b=3,c=-3时不成立,故B中结论错误;对于C选项,当a<b,c>0时,a<b+c恒成立,故C中结论错误,D中结论正确,故选D.5.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,4)给出下列四个命题,其中是假命题的为( )A.“∀x∈R,sinx≤1”的否定为“∃x0∈R,sinx0>1”B.“若a>b,则a-5>b-5”的逆否命题是“若a-5≤b-5,则a≤b”C.∀x∈R,2x-1>0D.∃x0∈(0,2),使得sinx0=1答案 C 逐一考察所给的命题:A.“∀x∈R,sinx≤1”的否定为“∃x0∈R,sinx0>1”,该命题是真命题;B.“若a>b,则a-5>b-5”的逆否命题是“若a-5≤b-5,则a≤b”,该命题是真命题;C.当x=0时,2x-1=0,则∀x∈R,2x-1>0是假命题;D.显然当x0=时,sinx0=1成立,该命题是真命题.故选C.6.(2018安徽马鞍山含山联考,5)已知函数f(x)=ex-lox,给出下列两个命题:命题p:若x0≥1,则f(x0)≥3;命题q:∃x0∈[1,+∞),f(x0)=3.则下列叙述错误的是( )
A.p是假命题B.p的否命题是若x0<1,则f(x0)<3C.¬q:∀x∈[1,+∞),f(x)≠3D.¬q是真命题答案 D 由函数f(x)的解析式可得函数的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ex+,则f'(x)>0,故函数f(x)单调递增,结合f(1)=e1-lo1=e,可得当x≥1时,函数f(x)的值域为[e,+∞),据此可得命题p是假命题,命题q是真命题,¬q是假命题.p的否命题是:若x0<1,则f(x0)<3,¬q:∀x∈[1,+∞),f(x)≠3.故选D.7.(2017四川成都外国语学校期末)若∃x∈,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是( )A.(-∞,2] B.(2,3]C. D.{3}答案 A 本题考查全称命题与特称命题的关系与基本不等式.若∃x∈,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,则∀x∈,使得2x2-λx+1≥0恒成立,即∀x∈,λ≤2x+恒成立,又2x+≥2=2(当且仅当2x=,即x=时,取“=”),所以λ≤=2.8.(2018山东师大附中二模,9)已知命题“∃x0∈R,使2+(a-1)x0+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,3) C.(-3,+∞) D.(-3,1)答案 B ∵命题“∃x0∈R,使2+(a-1)x0+≤0”是假命题,∴命题“∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0”是真命题,∴Δ=(a-1)2-4×2×<0,即(a-1)2<4,∴-2<a-1<2,即-1<a<3,故选B.综合篇【综合集训】考法一 充分条件与必要条件的判断方法1.(2020浙江温州新力量联盟联考,6)已知a>0且a≠1,则“loga(a-b)>1”是“(a-1)b<0”成立的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A2.(2019辽宁鞍山一中一模,2)已知0<α<π,则“α=”是“sinα=”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A3.(2020山东泰安检测,6)“a<-1”是“∃x0∈R,asinx0+1<0”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A4.(2020北京东城二模,8)已知函数f(x)=lnx+ax2,那么“a>0”是“f(x)在(0,+∞)上为增函数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A
5.(2019河南中原名校联考,6)已知p:->0,q:≤0,则p是q成立的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A6.(2020江苏盐城中学月考,4)设a∈R,则“a=2”是“直线y=-ax+2与直线y=x-1垂直”的 条件. 答案 充分不必要考法二 与全(特)称命题有关的参数的求解方法7.(2019湖南三湘名校教育联盟联考,6)设a∈Z,函数f(x)=ex+x-a,若命题p:“∀x∈(-1,1),f(x)≠0”是假命题,则a的取值有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 D8.(2020江苏六校联盟第三次联考,6)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是 . 答案 (2,+∞)考法三 含有逻辑联结词命题真假的判断方法9.(2020江西抚州临川一中期中,7)已知命题p:函数y=+sinx,x∈(0,π)的最小值为2;命题q:若向量a,b,满足a·b=b·c,则a=c.下列正确的是( )A.(¬p)∧q B.p∨q C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)答案 D10.(2020广东深圳五校联考,5)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2,下列命题中,真命题是( )A.p∧q B.p∨q C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨q
答案 B11.(2020陕西西安中学3月线上考试,3)已知命题p:若a>|b|,则a2>b2;命题q:m、n是直线,α为平面,若m∥α,n⊂α,则m∥n.下列命题为真命题的是( )A.p∧q B.p∧(¬q)C.(¬p)∧q D.(¬p)∧(¬q)答案 B[教师专用题组]【综合集训】考法一 充分条件与必要条件的判断方法1.(2019浙江“七彩阳光”联盟期中,2)设n∈N*,则“数列{an}为等比数列”是“数列{}为等比数列”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 若{an}是公比为q的等比数列,则=q,所以=q2,所以{}是等比数列;反过来,若{}是等比数列,则{an}不一定是等比数列,例如数列1,1,-1,-1,所以选A.2.(2019宁夏顶级名校9月联考,3)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 由f(x)=ax在R上是减函数可得a∈(0,1);由函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数得2-a>0,∴0<a<2,且a≠1.∴“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件,故选A.3.(2019北京人大附中期中,5)设a,b为两个非零向量,则“a·b=|a·b|”是“a与b共线”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 D 充分性:a·b=|a|·|b|·cos<a,b>,|a·b|=|a|·|b|·|cos<a,b>|,∵a·b=|a·b|,∴|a|·|b|·cos<a,b>=|a|·|b|·|cos<a,b>|,∴cos<a,b>=|cos<a,b>|,∴<a,b>∈,a,b不一定共线,充分性不成立.必要性:若a,b共线,则a,b的夹角为0或π,当a,b的夹角为0时,满足a·b=|a|·|b|=|a·b|,当a,b的夹角为π时,a·b=-|a·b|,必要性不成立.故选D.4.(2019云南昆明9月调研,3)对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B 对于①,“a=b”⇒“ac=bc”,但当c=0时,“ac=bc”“a=b”,故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故①为假命题;对于②,“a+5是无理数”⇒“a是无理数”且“a是无理数”⇒“a+5是无理数”,故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故②
为真命题;对于③,“a>b”“a2>b2”且“a2>b2”“a>b”,故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,故③为假命题;对于④,∵{a|a<3}⫋{a|a<5},∴“a<5”是“a<3”的必要条件,故④为真命题.故真命题的个数为2,故选B.方法总结 判断命题为真命题时要进行推理,判断命题为假命题时只需举出反例即可.5.(2020豫北名校尖子生9月对抗赛,6)方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( )A.0≤a≤1 B.a<1C.a≤1 D.0<a≤1或a<0答案 C 当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负实根.当a≠0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ=4-4a≥0,即a≤1.设此时方程的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=.当方程有一个负实根和一个正实根时,有解得a<0;当方程有两个负实根时,有解得0<a≤1.综上所述,a≤1,故选C.方法点拨 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.6.(2019天津一中第一次月考,7)已知函数f(x)=+ex,则“x1+x2>0”是“f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2)”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C 当x>0时,设y==1-,∴y=在(0,+∞)上单调递增.
令h(x)=,则有h(0)=0,h(-x)=-h(x),∴h(x)=是奇函数且在(-∞,+∞)上单调递增,∴f(x)=+ex在(-∞,+∞)上单调递增.∵x1+x2>0,∴x1>-x2,又f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴f(x1)>f(-x2),同理f(x2)>f(-x1),故f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2),充分性成立.记g(x)=f(x)-f(-x),由f(x)=+ex在(-∞,+∞)上单调递增得f(-x)在(-∞,+∞)上单调递减,∴g(x)=f(x)-f(-x)在(-∞,+∞)上单调递增,由f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2)可得f(x1)-f(-x1)>f(-x2)-f(x2),即g(x1)>g(-x2),∴x1>-x2,即x1+x2>0,必要性成立.故选C.考法二 与全(特)称命题有关的参数的求解方法1.(2018湖南湘东五校4月联考,3)已知命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,0) B.[0,4] C.[4,+∞) D.(0,4)答案 D 因为命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,所以命题的否定“∀x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命题,则Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得0<a<4,故选D.方法指导 本题根据已知特称命题是假命题这一条件无法直接求解,但考虑到命题的否定与该
命题的真假相反这一性质,将给出的特称命题转化为全称命题,再利用一元二次方程根的判别式列不等式计算即可.2.(2018广东汕头一模,6)已知命题p:关于x的方程x2+ax+1=0没有实根;命题q:∀x>0,2x-a>0.若“¬p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-2,1]C.(1,2) D.(1,+∞)答案 C 方程x2+ax+1=0无实根等价于Δ=a2-4<0,即-2<a<2;∀x>0,2x-a>0等价于a<2x在(0,+∞)上恒成立,即a≤1.因“¬p”是假命题,所以p是真命题,又因“p∧q”是假命题,则q是假命题,∴得1<a<2,所以实数a的取值范围是(1,2),故选C.方法点拨 解决此类问题的步骤:(1)视简单命题p,q为真命题,求出相应的参数范围;(2)正确解读复合命题真假的含义;(3)根据(2)的解读求出参数的范围.3.(2018豫西南五校4月联考,13)若“∀x∈,m≤tanx+2”为真命题,则实数m的最大值为 . 答案 1解析 由x∈可得-1≤tanx≤.∴1≤tanx+2≤2+.∵“∀x∈,m≤tanx+2”为真命题,∴实数m的最大值为1.4.已知p:x2+2x-3>0,q:x2-5x+6<0.若“(¬q)∧p”为真,则x的取值范围是 . 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)解析 p为真命题时,由x2+2x-3>0,得x>1或x<-3;q为真命题时,由x2-5x+6<0,解得2<x<3.∵“(¬q)∧p”为真,∴p为真命题,q为假命题,
∴可得x<-3或1<x≤2或x≥3.∴x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞).考法三 含有逻辑联结词命题真假的判断方法1.(2018河南郑州外国语中学2月模拟,2)已知命题p:若复数z满足(z-i)·(-i)=5,则z=6i;命题q:复数的虚部为-i,则下列命题中为真命题的是( )A.(¬p)∧(¬q) B.(¬p)∧qC.p∧(¬q) D.p∧q答案 C 复数z满足(z-i)·(-i)=5,则z=-+i=6i,故命题p为真命题,则¬p为假命题;复数==-i,则z的虚部为-,故命题q为假命题,则¬q为真命题.由复合命题真假判断的真值表可知(¬p)∧(¬q)为假命题,(¬p)∧q为假命题,p∧(¬q)为真命题,p∧q为假命题.故选C.2.(2017云南玉溪联考,5)已知命题p:∃x∈(-∞,0),3x<4x;命题q:∀x∈,tanx>x,则下列命题中,为真命题的是( )A.p∧q B.p∨(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q答案 D 当x<0时,>=1,即3x>4x对任意x∈(-∞,0)恒成立,故p是假命题;令g(x)=tanx-x,则g'(x)=-1,∵∀x∈,0<cosx<1,∴g'(x)>0,
∴g(x)>g(0)=0.∴tanx-x>0,即命题q是真命题,∴(¬p)∧q是真命题,故答案为D.3.(2018湖南株洲质量统一检测(二),5)下列各组命题中,满足“‘p∨q’为真、‘p∧q’为假、‘¬q’为真”的是( )A.p:y=在定义域内是减函数;q:f(x)=ex+e-x是偶函数B.p:∀x∈R,x2+x+1≥0;q:x>1是x>2成立的充分不必要条件C.p:x+的最小值是6;q:直线l:3x+4y+6=0被圆(x-3)2+y2=25截得的弦长为3D.p:抛物线y2=8x的焦点坐标是(2,0);q:过椭圆+=1的左焦点的最短的弦长是3答案 B A.y=在(-∞,0)和(0,+∞)上分别是减函数,则命题p是假命题,易知q是真命题,则¬q是假命题,不满足题意.B.判别式Δ=1-4=-3<0,则∀x∈R,x2+x+1≥0成立,即p是真命题,x>1是x>2成立的必要不充分条件,即q是假命题,则“‘p∨q’为真、‘p∧q’为假、‘¬q’为真”,故B满足题意.C.当x<0时,x+的最小值不是6,则p是假命题,圆心到直线的距离d===3,则弦长=2=8,则q是假命题,则p∨q为假命题,不满足题意.D.抛物线y2=8x的焦点坐标是(2,0),则p是真命题,椭圆的左焦点为(-1,0),当x=-1时,y2=,则y=±,则最短的弦长为×2=3,即q是真命题,则¬q是假命题,不满足题意.故选B.
解题关键 本题主要考查复合命题真假的判断,结合条件分别判断命题p,q的真假是解决本题的关键.本题综合性较强,涉及的知识点较多.
