高考原生态满分练3 数列(本题满分12分)已知数列{an}是公比为2的等比数列,其前n项和为Sn.(1)在①S1+S3=2S2+2,②S3=,③a2a3=4a4这三个条件中任选一个,补充到上述题干中.求数列{an}的通项公式,并判断此时数列{an}是否满足条件P:对任意m,n∈N*,aman均为数列{an}中的项,说明理由;(2)设数列{bn}满足bn=n,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn.注:在第(1)问中,如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.学生解答教师批阅分析1:先写出所选条件,再利用所选条件解题;分析2:理解通项公式的特点是判断aman是否为数列{an}中的项的关键点,选①③判断出“aman是数列{an}中的项”,还应具体指出选①aman是数列{an}的第m+n-1项,选③aman是数列{an}的第m+n+1项,否则扣2分;选②判断出“a1a2不是数列{an}中的项”,若举出反例只有计算结果但不判断该结果不是数列中的项,或无其他判断理由均扣2分;分析3:第(2)问:两式相减得“-Tn=1+21+22+…+2n-1+n×2n”,出现运算符号错误;分析4:第(2)问:算到-Tn=1+21+22+…+2n-1-n×2n=(1-n)2n-1,而未得最终结果Tn=(n-1)2n+1,扣1分.满分答题高考原生态满分练3 数列解(1)选①,因为S1+S3=2S2+2,所以S3-S2=S2-S1+2,即a3=a2+2,
又数列{an}是公比为2的等比数列,所以4a1=2a1+2,解得a1=1,2分所以an=1×2n-1=2n-1.3分此时对任意m,n∈N*,aman=2m-1·2n-1=2m+n-2.因为m+n-1∈N*,所以aman是数列{an}的第m+n-1项,5分所以数列{an}满足条件P.6分选②,由S3=,得a1+a2+a3=,又数列{an}是公比为2的等比数列,所以a1+2a1+4a1=,解得a1=,2分所以an=2n-1.3分此时a1a2=<a1≤an,a1a2不是数列{an}中的项,5分所以数列{an}不满足条件P.6分选③,因为a2a3=4a4,数列{an}是公比为2的等比数列,所以2a1·4a1=4×8a1.又a1≠0,所以a1=4,2分所以an=4×2n-1=2n+1.3分此时对任意m,n∈N*,aman=2m+1·2n+1=2m+n+2.因为m+n+1∈N*,所以aman是数列{an}的第m+n+1项,5分所以数列{an}满足条件P.6分(2)因为数列{an}是公比为2的等比数列,所以=2,所以bn=n·2n-1.7分所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1,2Tn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,两式相减得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n·2n9分=-n·2n=(1-n)2n-1,11分所以Tn=(n-1)2n+1.12分
