高考原生态满分练6 解析几何(本题满分12分)如图,动点M与两定点A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=-2x+m与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.学生解答教师批阅分析1:求的范围难以入手,需转化为点的横坐标之比.分析2:(1)∠MBA=2∠MAB与tan∠MBA=不等价.当∠MBA=90°时,单独考虑;(2)tan∠MBA=与kMB=不等价,易漏点M在x轴下方的情况;(3)轨迹C是去掉右顶点(1,0)的双曲线右支,易使x的范围增大;(4)解直线与曲线方程的方程组时,易漏掉Δ>0的条件.分析3:本题也可用设而不求法:因,故设t=,t+,代入根与系数的关系得函数f(m),求出f(m)的范围,再求t的范围.满分答题
高考原生态满分练6 解析几何解(1)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0.当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3).当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,得tan∠MBA=2分即-,化简可得,3x2-y2-3=0.而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).4分(2)由消去y可得x2-4mx+m2+3=0.(*)6分由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内.设f(x)=x2-4mx+m2+3,所以解得m>1,且m≠2.8分设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|<|PR|有xR=2m+,xQ=2m-所以=-1+10分由m>1,且m≠2,有1<-1+<7+4,且-1+7.所以的取值范围是(1,7)∪(7,7+4).12分
