专题11直线与圆一、选择题部分1.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T11)已知点在圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，【答案】ACD．【解析】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选ACD.2.(2021•江苏盐城三模•T3)同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax＋By＋C＝0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0，y0)，向量＝(A，B)为直线l的法向量，设直线l上任意-11-,一点P(x，y)，则×＝0，得直线l的方程为，即可转化为直线方程的一般式．类似地，在空间中，若平面α过定点Q0(1，0，－2)，向量为平面α的法向量，则平面α的方程为A．2x－3y＋z＋4＝0B．2x＋3y－z－4＝0C．2x－3y＋z＝0D．2x＋3y－z＋4＝0【答案】C．【考点】新情景问题下的直线方程的求解【解析】由题意可知，平面α的方程为2(x－1)－3(y－0)＋1×(z＋2)＝0，化简可得，2x－3y＋z＝0，故答案选C．3.(2021•河南焦作三模•理T9)已知曲线y＝与直线kx﹣y+k﹣1＝0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由曲线y＝，得（x﹣2）2+y2＝1（y≥0），是以（2，0）为圆心半径为1的上半个圆，直线kx﹣y+k﹣1＝0过点D（﹣1，﹣1），如图，过D（﹣1，﹣1）与A（1，0）两点的直线的斜率k＝＝；设过（﹣1，﹣1）且与圆（x﹣2）2+y2＝1相切的直线方程为y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣1＝0．由＝1，解得k＝0或k＝．∴要使曲线y＝与直线kx﹣y+k﹣1＝0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是：．4.(2021•河北张家口三模•T4)“a＞0”是“点（0，1）在圆x2+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件-11-,C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】将x2+y2﹣7ax﹣2y+a+1＝3化为标准方程，得（x﹣a）2+（y﹣1）3＝a2﹣a．当点（0，1）在圆x2+y2﹣2ax﹣5y+a+1＝0外时，有解得a＞1．所以“a＞3”是“点（0，1）”在圆x7+y2﹣2ax﹣2y+a+1＝0外”的必要不充分条件．5.(2021•山东聊城三模•T4.)已知直线l:(a-1)x+y-3=0，圆C:(x-1)2+y2=5．则“a=-1”是“l与C相切”的（）．A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与圆的位置关系【解析】【解答】圆C:(x-1)2+y2=5的圆心为(1,0)，半径r=5，由直线l和C相切可得：圆心到直线的距离d=|a-4|(a-1)2+1=5，解得2a2-a-3=0，解得a=-1或a=32，故a=-1是a=-1或a=32的充分不必要条件，故答案为：B.【分析】根据直线与圆相切的性质解得a=-1或a=32，再由充分必要条件即可判断B正确。6.(2021•江西南昌三模•理T12．)已知直线l：x﹣y+4＝0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2＝4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为（ ）A．B．C．D．3【答案】A．【解析】由题意设点P（t，t+4），C（x1，y1），D（x2，y2），因为PD，PC是圆的切线，所以OD⊥PD，OC⊥PC，所以C，D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为，又C，D在圆x2+y2＝4上，将两个圆的方程作差得直线CD的方程为：tx+（t+4）y﹣4＝0，即t（x+y）+4（y﹣1）＝0，所以直线CD恒过定点Q（﹣1，1），又因为OM⊥CD，M，Q，C，D四点共线，所以OM⊥MQ，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，如图所示所以|AM|min＝|AO′|﹣r＝﹣＝2，-11-,所以|AM|的最小值为．7.(2021•四川内江三模•理T10．)已知直线l：y＝m（x﹣2）+2与圆C：x2+y2＝9交于A，B两点，则使弦长|AB|为整数的直线l共有（ ）A．6条B．7条C．8条D．9条【答案】C．【解析】根据题意，直线恒过点M（2，圆C：x2+y6＝9的圆心C为（0，7），则CM＝2当直线与CM垂直时，M为|AB|中点＝2，此时直线有一条，当直线过圆心C时，|AB|＝2r＝6，此时直线有一条，则当|AB|＝3，2，5时，综上，共8条直线．8.(2021•安徽马鞍山三模•文T7．)若过点（2，﹣1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x+3y+3＝0的距离为（ ）A．B．C．D．【答案】C．【解析】设圆心为（a，b），由已知得，解得a＝1，b＝﹣1，或a＝5，b＝﹣5，所以圆心为（1，﹣1）或（5，﹣5）．当圆心为（1，﹣1）时，圆心到直线2x+3y+3＝0的距离d＝＝；当圆心为（5，﹣5）时，圆心到直线2x+3y+3＝0的距离d＝＝．-11-,9.(2021•安徽蚌埠三模•文T12．)已知圆C：（x+）2+y2＝（p＞0），若抛物线E：y2＝2px与圆C的交点为A，B，且sin∠ABC＝，则p＝（ ）A．6B．4C．3D．2【答案】D．【解析】设A（，y0），则B（，﹣y0），由圆C：（x+）2+y2＝（p＞0），得圆心C（﹣，0），半径r＝，所以CD＝+，因为∠ABC＝∠BAC，所以sin∠ABC＝sin∠BAC＝＝＝，所以cos∠BAC＝＝＝，即，解得y0＝3，p＝2．10.(2021•上海嘉定三模•T13．)已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1＝0，l2：a2x+b2y+c2＝0，那么“＝0是“两直线l1，l2平行”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件-11-,【答案】B．【解析】若“＝0则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2，若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，∴＝0，故“＝0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件．11.(2021•辽宁朝阳三模•T11．)已知曲线C的方程为＝|x+2y|，M：（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0），则（ ）A．C表示一条直线B．当r＝4时，C与圆M有3个公共点C．当r＝2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是（4，+∞）【答案】BCD．【解析】曲线C的方程为＝|x+2y|，两边平方可得x2+y2＝x2+4y2+4xy，化为y＝0或4x+3y＝0，即曲线C表示两条直线，故A错误；当r＝4时，圆M的圆心为（5，0），半径为4，圆M与y＝0有两个交点；又圆心M到直线4x+3y＝0的距离为d＝＝4＝r，所以C与圆M有3个公共点，故B正确；当r＝2时，圆M的圆心为（5，0），半径r＝2，存在圆N，圆心N（1，0），半径为2，圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点，故C正确；当C与圆M的公共点最多时，且为4个．由r＝4时，C与圆M有3个公共点，可得当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是（4，+∞），故D正确．12.(2021•江苏常数三模•T7．)在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上一动点，过圆M外一点P向圆M引﹣条切线，切点为A，若|PA|＝|PO|，则|PQ|的最小值为（ ）A．B．C．D．【答案】C．【解析】设P（a，b），∵|PA|＝|PO|，圆心M（1，1），r＝1，∴＝，∴化简可得2a+2b﹣1＝0，-11-,∵点P满足表达式2a+2b﹣1＝0，∴即点P在直线l：2x+2y﹣1＝0，由题意可知，|PQ|的最小值可转化为圆心到直线l的距离d与半径的差，∴|PQ|＝d﹣r＝．13.(2021•宁夏中卫三模•理T9．)已知圆M过点A（1，1）、B（1，﹣2）、C（3，﹣2），则圆M在点B处的切线方程为（ ）A．2x+y＝0B．3x+2y+1＝0C．2x+3y+4＝0D．x+2y+3＝0【答案】C．【解析】根据题意，设圆心M的坐标为（m，n），圆M过点A（1，1）、B（1，﹣2）、C（3，﹣2），则点M在线段AB的垂直平分线上，则n＝﹣，同理：点M在线段BC的垂直平分线上，则m＝2，即圆心的坐标为（2，﹣），则KMB＝＝，则切线的斜率k＝﹣，又由B（1，﹣2），则圆M在点B处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），变形可得2x+3y+4＝0．14.(2021•天津南开二模•T5．)已知直线l与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为D（2，）（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】A．【解析】圆C：x2+y2﹣3x+5＝0的圆心（5，0），直线l与圆C：x2+y4﹣6x+5＝5交于A，B两点，），所以弦心距为：＝，所以弦长|AB|为：5＝2．15.(2021•广东潮州二模•T11．)已知圆C：x2﹣2ax+y2+a2﹣1＝0与圆D：x2+y2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是（ ）A．﹣3B．3C．2D．﹣2【答案】CD．【解析】根据题意，圆C：x2﹣2ax+y2+a2﹣1＝0，即（x﹣a）2+y2＝1，其圆心为（a，0），半径R＝1，D：x2+y2＝4，其圆心D（0，0），半径r＝2，若两个圆有且仅有两条公共切线，则两圆相交，则有2﹣1＜|a|＜2+1，即1＜|a|＜3，解可得：﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3，分析选项可得：CD符合．-11-,16.(2021•安徽淮北二模•文T11．)已知圆C1：x2+y2＝2，圆C2：（x﹣2）2+y2＝4．若过（0，﹣2）的直线l与圆C1、C2都有公共点，则直线l斜率的取值范围是（ ）A．[，1]B．C．D．【答案】D．【解析】由题意可知，过（0，﹣2）的直线与两个圆相切，即可满足题意，就是图形中的两条红色直线之间的部分，所以直线方程为y＝kx+2，所以，解得k＝1，k＝﹣1（舍去），＝2，解得k＝，（k＜0的解舍去），所以直线l斜率的取值范围是．17.(2021•河南郑州二模•文T5．)若直线x+ay﹣a﹣1＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（ ）A．B．πC．2πD．3π【答案】B．【解析】直线x+ay﹣a﹣1＝0可化为：（x﹣1）+a（y﹣1）＝0，则当x﹣1＝0且y﹣1＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M（1，1），设圆的圆心为C（2，0），半径r＝2，当MC⊥直线AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2＝2＝2，此时弦长AB对的圆心角为，所以劣弧长为×2＝π．18.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T9．)已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则其一条边所在直线的斜率是（ ）A．﹣3B．﹣2C．D．2【答案】B．【解析】根据题意，设正方形的边所在的直线的斜率为k，-11-,正方形的对角线与四边的夹角都为45°，则有tan45°＝＝1，解可得：k＝或﹣2．二、填空题部分19.(2021•上海嘉定三模•T11．)若圆O的半径为2，圆O的一条弦AB长为2，P是圆O上任意一点，点P满足，则的最大值为 ．【答案】10．【解析】【法一：建系法】如图以AB中点C为原点建系，则，所以圆O方程为，所以设，Q（x0，y0），因为，，所以，所以，因为cosθ∈[﹣1，1]，所以的最大值为10．【法二：投影法】连接OA，OB过点O作OC⊥AB，垂足为C，则．∴，-11-,因为，所以Q所以，＝．且仅当且同向时取等号，∴的最大值为10．20.(2021•上海浦东新区三模•T9．)若直线3x+4y+m＝0与曲线（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 ．【答案】m＞10或m＜0．【解析】曲线（θ为参数）表示的是以（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆，由于直线3x+4y+m＝0与圆没有公共点，所以圆心（1，﹣2）到直线的距离d＝，整理得：|m﹣5|＞5，解得m＞10或m＜0．21.(2021•湖南三模•T15．)直线l：（2a﹣1）x+（a﹣3）y+4﹣3a＝0与圆（x﹣2）2+y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为 ；此时a＝ ．【答案】；．【解析】∵直线l：（2a﹣1）x+（a﹣3）y+4﹣3a＝0恒过定点（1，1），∴当圆心与点（1，1）的连线与直线AB垂直时，弦长|AB|最小，∵圆心（2，0）与点（1，1）间的距离为，半径为3，∴弦长|AB|的最小值为．∵圆心（2，0）与点（1，1）连线的斜率为，∴此时直线l的斜率为1，由，解得a＝．22.(2021•河北邯郸二模•理T14．)直线l1：x+ay﹣2＝0（a∈R）与直线l2：平行，则a＝ ，l1与l2的距离为 ．【答案】﹣，．【解析】根据题意，直线l2：，即3x﹣4y﹣4＝0，-11-,若直线l1与直线l2平行，则有1×（﹣4）＝3a，解可得a＝﹣，当a＝﹣时，直线l1：x﹣y﹣2＝0，即3x﹣4y﹣6＝0，直线l1与直线l2平行，符合题意，故a＝﹣，此时两直线间的距离d＝＝．23.(2021•河北秦皇岛二模•理T13．)已知直线x+y﹣5＝0与圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4相交于A，B两点，则△ABC面积为 ．【答案】2．【解析】圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的圆心坐标为C（2，1），半径r＝2，圆心C到直线x+y﹣5＝0的距离d＝，直线x+y﹣5＝0被圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4截得的弦长为|AB|＝．∴△ABC面积为S＝．24.(2021•北京门头沟二模•理T7)点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为( )A.[125,175]B.[75,125]C.[75,175]D.[125,245]【答案】C．【解析】记d为点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y-12=0的距离，即：d=15|3cosθ+4sinθ-12|=15|5sin(θ+φ)-12|，其中tanφ=34；当θ变化时，d的最大值为175，d的最小值为75，故选：C.利用点到直线的距离公式，三角函数的性质可得答案．本题考查的知识点是点到直线的距离公式，三角函数的性质，属于基础题．-11-
