24.4直线与圆的位置关系第3课时切线长定理1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明(重点，难点)；2．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想． 一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点：切线长定理及应用【类型一】利用切线长定理求线段的长如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB.因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.方法总结：在求线段长度时，可以运用切线长定理进行转化，根据题设条件的提示，连接切点与圆心，实现等量转化．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．
解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等三角形的判定，可得到PO平分∠APB.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝8cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝8，∠POA＝30°，∴OP＝8(cm)，即铁环的半径为8cm.方法总结：运用切线长定理解决实际问题，要选择合适的数学模型，解题时要结合切线长的性质等求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题三、板书设计切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．教学过程中，引入切线长定理后，要向学生强调用切线长定理可解决角度和长度问题．使学生在练习中巩固知识，提升学生的独立思考能力.
