题型四 函数与方程的实际应用1．(2017·衢州)“五·一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算.2．(2017·孝感)为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．(1)劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；(2)2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5(1－n)万元．①A型健身器材最多可购买多少套？②安装完成后，若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%，市政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？3．(2016·南京)如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x(单位：km/h)之间的函数关系(30≤x≤120)，已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km.7
(1)当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为__________L/km、__________L/km.(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？4．(2017·周口模拟)甲、乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．(1)求甲、乙两件服装的进价各是多少元；(2)由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；(3)若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润(定价取整数).5．(2017·7
长春)甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)，甲车间加工的时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．(1)甲车间每小时加工服装件数为________件；这批服装的总件数为________件．(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3)求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间.6．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价(元/部)40002500售价(元/部)43003000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后获毛利润共2.1万元．(毛利润＝(售价－进价)×销售量)(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过17.25万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．7．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．7
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？8．(2016·湖州)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率；(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？题型四 函数与方程的实际应用7
1．解：(1)设y1＝k1x＋80，把点(1，95)代入，可得95＝k1＋80，解得k1＝15，∴y1＝15x＋80(x≥0)；设y2＝k2x，把(1，30)代入，可得30＝k2，即k2＝30，∴y2＝30x(x≥0)；(2)当y1＝y2时，15x＋80＝30x，解得x＝；当y1＞y2时，x＜；当y1＜y2时，x＞；答：当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算.2．解：(1)依题意得：2.5(1－n)2＝1.6，则(1－n)2＝0.64，∴1－n＝±0.8，∴n1＝0.2＝20%，n2＝1.8(不合题意，舍去)．答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%；(2)①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买(80－m)套，依题意得：1.6m＋1.5×(1－20%)×(80－m)≤112，整理，得1.6m＋96－1.2m≤1.2，解得m≤40，答：A型健身器材最多可购买40套；②设总的养护费用是y元，则y＝1.6×5%m＋1.5×(1－20%)×15%×(80－m)，＝－0.1m＋14.4.∵－0.1＜0，∴y随m的增大而减小，∴m＝40时，y最小，∴m＝40时，y最小＝－0.1×40＋14.4＝10.4(万元)．又∵10万元＜10.4万元，答：该计划支出不能满足一年的养护需求.3．解：(1)设AB的解析式为：y＝kx＋b，把(30，0.15)和(60，0.12)代入y＝kx＋b中得：，解得，∴线段AB所在直线解析式为y＝－0.001x＋0.18，当x＝50时，y＝－0.001×50＋0.18＝0.13，由线段BC上一点坐标(90，0.12)得：0.12＋(100－90)×0.002＝0.14，∴当x＝100时，y＝0.14；(2)由(1)得：线段AB的解析式为：y＝－0.001x＋0.18；(3)设BC的解析式为y＝kx＋b，把(90，0.12)和(100，0.14)代入y＝kx＋b中得：，解得，∴线段BC所在直线解析式为y＝0.002x－0.06，7
由题意得点B处耗油量最低，∴，解得，答：速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km.4．解：(1)设甲服装的进价为x元，则乙服装的进价为(500－x)元，根据题意得90%·(1＋30%)x＋90%·(1＋20%)(500－x)－500＝67，解得x＝300，500－x＝200.答：甲服装的进价为300元，乙服装的进价为200元；(2)∵乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，∴设每件乙服装进价的平均增长率为y，则200(1＋y)2＝242，解得：y1＝0.1＝10%，y2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：每件乙服装进价的平均增长率为10%；(3)∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调，∴再次上调价格为：242×(1＋10%)＝266.2(元)，∵商场仍按9折出售，设定价为a元时，0．9a－266.2＞0，解得：a＞≈295.8.答：定价至少为296元时，乙服装才可获得利润.5．解：(1)甲车间每小时加工服装件数为720÷9＝80(件)，这批服装的总件数为720＋420＝1140(件)；(2)乙车间每小时加工服装件数为120÷2＝60(件)，乙车间修好设备的时间为9－(420－120)÷60＝4(时).∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝120＋60(x－4)＝60x－120(4≤x≤9)；(3)甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝80x，当80x＋60x－120＝1000时，x＝8.答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时.6．解：(1)设该商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意得，解得.答：该商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；(2)设甲种手机减少a部，则乙种手机增加3a部，由题意得4000(20－a)＋2500(30＋3a)≤172500，解得a≤5，设全部销售后的毛利润为w元，则w＝300(20－a)＋500(30＋3a)＝1200a＋21000，∵1200＞0，∴w随着a的增大而增大，∴当a＝5时，w有最大值，w最大＝1200×5＋21000＝27000，答：当商场购进甲种手机15部，乙种手机45部时，全部销售后毛利润最大，最大毛利润是2.7万元.7．解：(1)设每台A型电脑销售利润为m元，每台B型电脑的销售利润为n元，根据题意得，解得.答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；(2)①据题意得，y＝100x＋150(100－x)，7
即y＝－50x＋15000，②据题意得，100－x≤2x，解得x≥33，∵y＝－50x＋15000，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，则100－x＝66，答：商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时销售利润最大.8．解：(1)设该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：2(1＋x)2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%.(2)①设规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30)，则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100－3t，由题意得：t＋4t＋3(100－3t)＝200，解得：t＝25.答：t的值是25.②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y＝t＋4t＋3(100－3t)＝－4t＋300(10≤t≤30)，∵k＝－4＜0，∴y随t的增大而减小．当t＝10时，y的最大值为300－4×10＝260(个)，当t＝30时，y的最小值为300－4×30＝180(个)．答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个.7
