概率1．随机事件的概率1．2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试验任务成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，事件，，互斥，，，，所以试验任务成功的概率，故选D．2．（多选）如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1．下列说法正确的是（）123456789A．事件A1，A2是互斥事件B．事件A1，A2是独立事件C．P(A1|A3)＝P(A2|A3)D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)【答案】AC【解析】A．挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同时发生，正确；12
B．事件A1，A2不是独立事件，错误；C．，正确；D．，，错误，故选AC．3．（多选）一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为【答案】ABD【解析】对选项A，从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确；对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到白球的个数，故恰好有两个白球的概率为；对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故C错误；对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数，至少有一次取到红球的概率为，故D正确，12
故选ABD．4．某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜．每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立．（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件，由题意，发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，∴，故比赛开始，甲先得一分的概率为．（2）由（1）知：在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为，，设两人共抢答了道题比赛结束且甲获胜，根据比赛规则，的可能取值为3，4，5，∴，，，∴甲获胜的概率．5．如图，点是周长为圆形导轨上的三个等分点，在点处放一颗珠子，规定：珠子只能沿导轨顺时针滚动．现投掷一枚质地均匀的骰子，当掷出的点数是3的倍数时，珠子滚动，当掷出的点数不是3的倍数时，珠子滚动，反复操作．12
（1）求珠子在点停留时恰好滚动一周的概率；（2）求珠子第一次在点停留时恰好滚动两周的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设掷出3的倍数为事件，掷出不是3的倍数记为事件，则，，珠子恰好转一周回到点包含的事件为，，且这三种情况互斥，故所求概率为．（2）珠子滚两周回到点，则必须经历以下三个步骤：①②③，①A至C：此时概率为，②C至B：掷出的必须是3的倍数，此时的概率为，③B至：概率与①相同，又以上三个步骤相互独立，故所求概率为．6．甲、乙两人在一起做猜拳（剪刀、石头、布）游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得1分，输的一方得分，平局时两个人都各得0分，出现得3分者游戏结束．（1）若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得分的概率；（2）求甲至多在进行五次猜拳后获胜的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设事件“第次划拳甲赢”为；事件“第次划拳甲乙平局”为；事件“第次划拳甲输”为，12
则．因为游戏结束时甲得3分，乙得−3分，所以这包含两种可能的情况：第一种：前4次猜拳甲赢2次，平局2次，第5次猜拳甲获胜，其概率为；第二种：前3次猜拳甲赢2次，输1次，第4，5次猜拳甲连胜，其概率为，所以游戏结束时乙得−3分的概率为．（2）依题可知包含三种情况：第一种：进行3次猜拳后游戏结束，只可能为甲连胜3次，其概率为；第二种：进行4次猜拳后游戏结束，只可能为甲在前3次中胜2次，平1次，第4次甲胜，其概率为：；第三种：进行5次猜拳后游戏结束，由（1）知，其概率为，综上：甲至多在进行五次猜拳后获胜的概率为．7．第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，由题知，，，∴，12
∴，∴该局打4个球甲赢的概率为．（2）设该局打5个球结束时甲贏为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，，，，∴，，∴，∴该局打5个球结束的概率为．2．古典概型1．2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙、丁四个人，进入太空空间站后他们需要走出太空站外完成某项试验任务，需派两个人出去共同完成任务，则这项试验任务甲被派出的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】甲、乙、丙、丁四个人派出两个人有6种可能（甲乙）、（甲丙）、（甲丁）、（乙丙）、（乙丁）、（丙丁），甲被派出的有3种可能（甲乙）、（甲丙）、（甲丁），所以，故选A．2．2021年10月16日0时23分许，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，托举载有翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员的神舟十三号载人飞船进入太空．载人12
火箭从在发射台等待发射到飞行过程中，故检（故障检测）逃逸系统会一直配合工作，故障检测处理系统一旦检测到火箭出现危及航天员安全的情况，将给逃逸系统发出逃逸指令，逃逸系统就会迅速将航天员带离危险，使之安全返回地面．逃逸系统共配备了5种类型共12台发动机，其中逃逸主发动机1台，分离发动机1台，控制发动机4台，高空逃逸发动机4台，高空分离发动机2台．现从这12台发动机中随机抽取2台发动机进行电路测试，则抽取的2台发动机都是控制发动机的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，从这12台发动机中随机抽取2台发动机，共有种情况；若抽取的2台发动机都是控制发动机，共有种情况，故所求概率为，故选A．3．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的､重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上､下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位､十位､百位､……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位､十位､百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被5整除的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】从个位､十位､百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数共有32个，分别为：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，12
600，6000，其中算盘表示的整数能够被5整除的整数有24个，分别为：15，55，105，505，110，150，510，550，1005，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，20，200，2000，60，600，6000，则算盘表示的整数能够被5整除的概率为，故选A．4．为落实“双减”政策，增强学生体质，某校在初一年级随机抽取了20名学生进行50米往返跑和跳绳测试，测试结果如下表：由于部分数据丢失，仅知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一位，抽到跳绳优秀的学生的概率为．（1）求a，b的值；（2）从50米往返跑为优秀的学生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，．（2）根据表格，50米往返跑为优秀的学生有6人，记这6人为1，2，3，4，5，6，其中5，6表示这6人中跳绳为优秀的学生，于是从这6人中抽取2人的所有情况为：{12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56}，总共15种情况，其中至少有一位跳绳优秀的情况有：{15，16，25，26，35，36，45，46，56}，共9种情况，所以所求概率．5．袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．12
（1）若从袋中一次摸出2个小球，求这两个小球恰为异色球的概率；（2）若从袋中一次摸出3个小球，求黑球与白球的个数都没有超过红球个数的概率；（3）若从袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球记0分，取到白球记4分，取到红球记2分，求最后得分为8分的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）摸出的2个小球为异色球的种数为，从8个球中摸出2个小球的种数为，故所求概率．（2）从袋中一次摸出3个小球，黑球与白球的个数都没有超过红球个数有三种情况：①摸出1个红球，1个黑球，1个白球，共有种；②摸出2个红球，1个其他颜色球，共有种；③摸出3个球均为红球，共有种；因为从8个球中摸出3个小球的种数为，所以所求概率．（3）由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个黑球或1个白球2个红球，所以所求概率．3．几何概型1．在区域内任取一点，则满足的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】画出区域（图中及内部），区域内满足的区域为图中四边形的内部及边界（不包括），且，，，12
所以，所以，故所求概率，故选B．2．已知圆，在圆内随机取一点P，以点P为中点作弦AB，则弦长的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，此时，若，则点P必须位于以点C为圆心，半径为1和半径为的圆环内，所以弦长的概率为，故选B．3．某企业的商标图案是曲线所围成的图形，设，则在曲线内任取一点，则该点取自曲线内的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知曲线和都关于坐标轴对称，也都关于坐标原点对称，当时，与的方程分别可化为，故在第一象限内分别为半圆（圆心为，半圆的半径为）和线段，12
再利用对称性，易画出曲线与，其中为四个半圆组成的封闭曲线，为正方形如图所示），所以所求概率，故选B．4．如图，三棱锥的四个面都为直角三角形，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥内的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】三棱锥中，平面，则，，直角三角形中，，则，又，，则平面，则，则线段中点为三棱锥的外接球的球心，又由，，可得，则三棱锥的外接球的半径为1，故在球O内任取一点，该点取自三棱锥内的概率为12
，故选D．12
