椭圆、双曲线、抛物线1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程1．已知，为椭圆（）的两个焦点，过作椭圆的弦AB，若的周长为8，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆的定义知，所以，又因为，所以，，所以椭圆的方程为，故选D．2．已知椭圆，点与C的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则．【答案】12【解析】如图，，，．3．已知点，，若曲线上存在点P满足，则下列正确的是（）A．B．C．D．27
【答案】D【解析】点，，且，故点P在双曲线的下支上．设双曲线，其中，即，，则，所以双曲线的方程为，其渐近线方程为，又点P在曲线上，即点P在曲线上，即曲线与双曲线相交，，即，故选D．4．已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为C上一点，且的内心为，若的面积为4b，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，的内心到轴的距离就是内切圆的半径．又点在椭圆上，由椭圆的定义，得，，即．又，所以，因为，所以，即，所以，解得或（舍去），27
所以，故选B．5．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则点F到直线PO的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，，解得，代入抛物线方程得，则，直线的方程式，即，点到直线的距离，故选D．6．已知抛物线，过焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，则弦的中点到准线的距离为__________．【答案】【解析】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，设，，直线的方程为，联立方程组，整理得，则，所以弦的中点的横坐标为，则弦的中点到准线的距离为，故答案为．7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在双曲线上且，若的内切圆的半径为（）A．B．C．D．27
【答案】A【解析】由点A在双曲线上，由双曲线定义知，又，，，，即，，，设的内切圆的半径为，由的等面积法知，，即的内切圆的半径为，故选A．8．点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由抛物线定义到直线的距离等于到抛物线焦点距离，所以到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，即焦点到直线的距离，故选B．9．已知双曲线的左焦点为，M为C右支上任意一点，D的坐标为，则的最大值为（）A．3B．1C．D．【答案】D【解析】双曲线的实半轴长为，右焦点为，所以27
，当且仅当M，，D三点共线时取等号，故选D．10．已知点是椭圆的一个焦点，点为椭圆上任意一点，点，则取最大值时，直线的斜率为_______．【答案】1【解析】如图所示，设椭圆的右焦点为，由题意可得，，．由椭圆的定义可得，连接并延长交椭圆于点，则，（当且仅当三点，，共线时，即运动到图中点取等号），故答案为1．11．已知动点到定点与定直线的距离的差为1，则动点的轨迹方程为________．【答案】，（注：也算对）【解析】由题意，若时，问题等价于，则，化简得，若，也满足题意．所以动点的轨迹方程为，．27
或者根据题意有，则，化简整理得，所以动点的轨迹方程为．故答案为，（注：也算对）．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B是椭圆C上关于x轴对称的两点．若的周长的最大值为8，且的周长最大时，，则椭圆C的标准方程为______________．【答案】或【解析】设，，如图，∵的周长为，当且仅当AB过时，取等号，∴，即，此时，所以，故，又，，∴，，，又，∴，∴椭圆C的标准方程为．故答案为．27
13．已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点在一条渐近线上，如图所示：所以，则，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，则，又，（为坐标原点），所以为等边三角形，从而，由，，解得，，所以双曲线的方程为，故选A．14．（多选）下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为27
，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E，则（）A．双曲线C的方程为B．双曲线与双曲线C共渐近线C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3【答案】ABD【解析】依题意可知，，将、的坐标分别代入，得，解得，，所以双曲线C的方程为，其渐近线为，故A正确；对于B，由，可知其渐近线为，故B正确；对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；27
对于D，设双曲线上一点，则，即，由题可知，，则，，，即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确，故选ABD．2．圆锥曲线的几何性质1．已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．【答案】【解析】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是．故答案为．2．已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，的内切圆的圆心为，则（）27
A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，所以，，，因为，所以，设的内切圆的半径为，则，即，解得，如图，设的内切圆与边相切于点，则，，所以，所以，故选A．3．已知椭圆的焦点为，，第一象限点在C上，且，则的内切圆半径为（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】由已知条件得，，，则，，设点的坐标为，则，，27
，即①，∵第一象限点在C上，∴则，即②，联立解得，由椭圆的定义得，设的内切圆半径为，则，又∵，∴，即，故选A．4．（多选）已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（）A．椭圆的长轴长为B．椭圆的离心率C．的周长为D．的取值范围为【答案】ACD【解析】椭圆，，椭圆的长轴长为，故A正确；椭圆的离心率，故B错误；的周长为，故C正确；设，则，且，故，，又，则，故，，，，故的取值范围是，故D正确，27
故选ACD．5．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（）A．椭圆的短轴长为B．当最大时，C．椭圆离心率为D．面积最大值为【答案】BC【解析】由题意：，根据椭圆的定义可知，，则的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图：将代入椭圆方程得，则，所以短轴长为，A错误；此时，B正确；，C正确；对D，设，，代入椭圆方程得，27
则，所以，记，于是，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上是增函数，则函数在上是减函数，于是，当u=1，即t=0时，面积最大值为，故D错误，故选BC．6．（多选）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆的内部，点在椭圆上，则（）A．B．椭圆的离心率的取值范围为C．存在点使得D．【答案】ACD【解析】对于A选项，由已知可得，可得，则，A对；27
对于B选项，椭圆的离心率为，B错；对于C选项，设、分别为椭圆的左、右焦点，则、，记，设点，，，因为，则，所以，点在圆上，联立可得，即圆与椭圆有公共点，C对；对于D选项，，D对，故选ACD．7．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（）A．若，则B．若，则C．若为锐角三角形，则D．若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为【答案】ACD【解析】由，得，则，27
焦点三角形的面积公式，将代入可知，故A正确；当S＝4时，，由，可得，故B错误；当时，S＝4，当时，，因为为锐角三角形，所以，故C正确；设，则，由题设知，则，所以，故D正确，故选ACD．8．椭圆的左、右顶点分别为，，左焦点为，为坐标原点，若，，成等比数列，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，，，根据题意，可得，整理得且，解得，故选D．9．已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】B27
【解析】设在渐近线上，直线的方程为，由，得，即，由，得，因为在双曲线上，所以，化简得，，故选B．10．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，轴，(为原点，为右顶点，为上顶点)，则该椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】令椭圆半焦距为c，因轴，则由，得，即，因(为原点，为右顶点，为上顶点)，则，即有，因此，，整理得，则，所以椭圆的离心率为．故答案为．27
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，曲线上存在一点使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，其半焦距为c，因为等腰直角三角形，则，，，由双曲线定义得，即，于是得，所以双曲线的离心率为，故选D．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与在轴上方的交点为．若，则的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，，27
又，在中，由余弦定理可得，∴，∴，∴，故选A．13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，为坐标原点，则双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】因为，一条渐近线方程为，则，，在中，，又因为，在中，，所以，即，因此，即，所以，故答案为2．27
14．已知双曲线的右焦点为，坐标原点为，左､右顶点分别为，双曲线上一点且轴．连接交轴于，连接交直线于，，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由，与相似，与相似，，，即，．当时，，解得，设点在轴上方，如图则，设，则，，，由，可得，即，所以，即，，所以，故选B．27
15．如图，已知椭圆，双曲线，若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则双曲线的离心率为（）A．9B．5C．D．3【答案】D【解析】如图，渐近线与椭圆交点为C，则由题意得，即，联立与，解得，联立与圆，解得，从而，解得，故双曲线离心率为，故选D．27
16．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线与的右支交于两点．若，，则双曲线的离心率（）A．B．C．2D．3【答案】C【解析】由，得，由，得，所以，，，，由题，在中，，在中，，由，得，化简得，即，故选C．27
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】若直线斜率不存在，不妨设点，则，所以，则离心率；若直线斜率存在，设，中点，不妨设M在x轴上方，由，得，故点M在圆上，由，得，则，所以．由，得，即．27
当时，，得；当时，，矛盾，舍去，综上所述，或，故选D．18．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】联立方程组，整理得，设方程的两根为，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，则满足，解得，又由，解得，所以的取值范围是，故选D．19．双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为_________．【答案】27
【解析】因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，所以设双曲线C的方程为，又因为双曲线C过点，所以，解得，所以，所以双曲线C的方程为．故答案为．20．已知双曲线的离心率，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交另一条渐近线于，则等于（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由双曲线的离心率，得，即，所以，渐近线方程为，如图，，，27
则，，所以，所以，所以，故选B．21．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，作于点，于点B，因为与圆相切，所以，在中，，所以，．又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：27
所以，整理得，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选C．22．设点分别为双曲线的左右焦点，点A，B分别在双曲线C的左、右支上，若，，且，则双曲线C渐近线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故，即，由勾股定理得，设，则，，由双曲线定义及勾股定理得，即，整理得，解得或，因为，即，解得，从而（舍去），当时，，，所以，在三角形中，，27
解得，即，双曲线渐近线方程为，故选A．27
