专题能力训练15 椭圆、双曲线、抛物线(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.(2022安徽,文6)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( ) A.x2-=1B.-y2=1C.x2-=1D.-y2=12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点是双曲线=1的一个焦点,则p的值为( )A.4B.6C.8D.123.已知P是椭圆=1(0<b<5)上除顶点外的一点,F1是椭圆的左焦点,若||=8,则点P到该椭圆左焦点的距离为( )A.6B.4C.2D.4.(2022浙江宁波镇海中学5月模拟,文7)设F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线右支上一点,O为坐标原点,若|PF1|∶|PO|∶|PF2|=5∶3∶3,则双曲线的离心率为( )A.B.2C.2D.45.(2022浙江嘉兴下学期教学测试(一),文8)如图,已知双曲线=1(a>0,b>0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该双曲线离心率e的取值范围为( )A.[,2+]B.[+1]C.[,2+]D.[+1]6.已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则的最大值为( )A.B.C.D.7.如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线l与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则∠MBN的大小等于( )A.B.7\nC.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2022山东,文15)过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 . 9.若椭圆=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 . 10.(2022浙江嘉兴教学测试,文14)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点M到y轴的距离为d1,M到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为 . 11.已知直线y=k(x-m)与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,又OD⊥AB于点D,若动点D的坐标满足方程x2+y2-4x=0,则m= . 三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为-1.(1)求椭圆C的方程;(2)过点E(2,0)且斜率为k(k>0)的直线l与C交于M,N两点,P是点M关于x轴的对称点,证明:N,F,P三点共线.13.(本小题满分15分)7\n(2022浙江衢州4月教学质量检测,文19)如图,设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l1交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8,线段AB的中点到y轴的距离为3.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l2与圆x2+y2=切于点P,与抛物线C切于点Q,求△FPQ的面积.14.(本小题满分16分)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.7\n参考答案专题能力训练15 椭圆、双曲线、抛物线1.A 解析:双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,因此A正确.2.D 解析:抛物线的焦点为,双曲线的半焦距为c=,∴12+2p=,∴p=12(负值舍去).故选D.3.C 解析:取PF1的中点M,连接OM,=2,∴|OM|=4,△F1PF2中,OM是中位线,∴PF2的长等于8,|PF1|+|PF2|=2a=10,解得|PF1|=2.故选C.4.C 解析:设|PF1|=5t,则由|PF1|∶|PO|∶|PF2|=5∶3∶3可得|PO|=3t,|PF2|=3t.由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,即5t-3t=2a,所以t=a.在△PF1F2中,OP为中线,由余弦定理可得|PF1|2=|OF1|2+|OP|2-2|OF1||OP|cos∠POF1,|PF2|2=|OF2|2+|OP|2-2|OF2||OP|cos∠POF2.两式相加,结合cos∠POF1+cos∠POF2=0可得c2=8a2,所以双曲线的离心率e=2.故选C.5.B 解析:在Rt△ABF中,O为AB的中点,又OF=c,∴AB=2c,∴AF=2csinα,BF=2ccosα,∴|BF-AF|=2c|cosα-sinα|.如图,设H为双曲线的左焦点,由对称性可知|BH|=|AF|,则有|BF|-|HB|=|BF|-|AF|=2a,∴2c|cosα-sinα|=2a,∴e=.∵≤α≤,∴≤α+,∴cos,∴e∈[+1].6.B 解析:由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),代入椭圆方程可得,所以y0=±.7\n设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以=y1y0.因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤的最大值为.故B正确.7.D 解析:设AQ:y=kx-1,联立x2=2py(p>0)得x2-2pkx+2p=0,x1+x2=2pk,x1x2=2p.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则kBP+kBQ==2k-2=2k-2k=0.由得kBP=,kBQ=-.因此,∠MBN=,应选D.8.2+ 解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y=(x-c),与C交于P(x0,y0).∵x0=2a,∴y0=(2a-c).又P(x0,y0)在双曲线C上,∴=1,∴整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e,故1-4e+e2=0.∴e1=2-(舍去),e2=2+.即双曲线C的离心率为2+.9.=1 解析:由于过点作圆x2+y2=1的切线,切点为(x0,y0),所以切线为2x0+y0=2.联立解得(1,0),,即为两个切点A,B.所以直线lAB:y=-2x+2.所以直线与x,y轴的交点坐标分别为(1,0),(0,2).根据题意得c=1,b=2,所以a=.故所求的椭圆方程为=1.10.-1 解析:7\n设抛物线上有一动点M到准线x=-1的距离为d=d1+1,那么计算d1+d2的最小值可先求出d+d2的最小值,由题意可知当点M平移到点A时值最小,此时d+d2的值为点F到直线x-y+4=0的距离,即d+d2=,所以d1+d2的最小值为-1.11.4 解析:∵D在直线y=k(x-m)上,∴可设D坐标为(x,k(x-m)),∴OD的斜率k'=.∵OD⊥AB,AB的斜率为k,∴有k·k'==-1,即k(x-m)=-.又∵动点D的坐标满足x2+y2-4x=0,即x2+[k(x-m)]2-4x=0,将k(x-m)=-代入可解得x=,或x=0(舍去).代入到=-1,化简得4k2-mk2+4-m=0,即(4-m)·(k2+1)=0.由于k2+1不可能等于0,∴只有4-m=0,∴m=4.12.(1)解:由题可知解得a=,c=1,∴b=1.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线l为y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),P(x1,-y1),F(1,0),由得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0.∴x1+x2=,x1x2=.而=(x2-1,y2)=(x2-1,kx2-2k),=(x1-1,-y1)=(x1-1,-kx1+2k).∵(x1-1)(kx2-2k)-(x2-1)(-kx1+2k)=k[2x1x2-3(x1+x2)+4]=k=0,∴.∴N,F,P三点共线.13.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点坐标为,由题意知=3,∴x1+x2=6,又|AB|=x1+x2+p=8,∴p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.7\n(2)设l2:y=kx+m,由l2与☉O相切得⇒2m2=1+k2,①由⇒k2x2+(2km-4)x+m2=0.(*)∵直线l2与抛物线相切,∴Δ=(2km-4)2-4k2m2=0⇒km=1.②由①,②得k=m=±1,∴方程(*)为x2-2x+1=0,解得x=1,∴Q(1,±1),∴|PQ|=.此时直线l2方程为y=x+1或y=-x-1,∴令F(1,0)到l2的距离为d=,∴S△PQF=|PQ|·d=.14.解:(1)由已知有,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|=,解得c=1,所以椭圆的方程为=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=,解得-<x<-1,或-1<x<0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=.①当x∈时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈.②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-,得m∈.综上,直线OP的斜率的取值范围是.7
