恒成立与存在性问题1．恒成立问题1．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】（1）的定义域为，，当时，恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，所以在上单调递增；令，解得，所以在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2），则有，当时，在上单调递增，所以，满足题意；当时，，且，当时，有，使时，单调递减，使得，不合题意，的取值范围为．2．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．11
【解析】（1）解：当时，函数，定义域为，又，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）解：若在上恒成立，即在上恒成立，可令，，则，，，令，可解得，当时，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，，又，所以恒成立，即时，在上恒成立，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，，又，，即，不满足恒成立，故舍去，综上可知：实数的取值范围是．3．已知函数．（1）若函数f(x)的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的极小值；11
（2）若a＝1，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）－2；（2）．【解析】（1）因为的定义域为(0，＋∞)，所以．由函数f(x)的图象在点处的切线方程为，得，解得a＝1．此时．令，得x＝1或．当和时，f′(x)>0；当时，f′(x)<0．所以函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值f(1)＝ln1＋1－3＝－2．（2）由a＝1得f(x)＝lnx＋x2－3x．因为对于任意，当时，恒成立，所以对于任意，当时，恒成立，所以函数在[1，10]上单调递减．令x∈[1，10]，所以在[1，10]上恒成立，则在[1，10]上恒成立．设，11
则．当x∈[1，10]时，F′(x)<0，所以函数F(x)在[1，10]上单调递减，所以，所以，故实数m的取值范围为．4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；（2）．【解析】（1）．①当时，，在上单调递增；②当时，令，得．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增．（2）由题意，函数，且在上恒成立，先由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，11
当时，函数．再令，且，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当，函数取得最小值，为，，即在区间上恒成立．由（1）知，当时，在上单调递增，在上恒成立，符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上不恒成立，综上可得，实数a的取值范围是．2．存在性问题1．已知函数，．若，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，，当，时，，当，时，．11
令，则，，当时，，；当时，，；综上所述，；由题意，得两个函数的值域的交集非空，所以，解得，故选B．2．已知函数的定义域为，当时，，，若对，，使得，则正实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对，，使得，，①当时，，，②当时，，，在上单调递增，，由①②得，又，在上为增函数，，，，的取值范围为，故选D．3．已知函数，．若，都，使成立，则实数的取值范围为（）11
A．B．C．D．【答案】D【解析】，都，使成立，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，又时，；时，；，当时，；①当，即时，在上单调递增，，，解得，；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，，解得或，；③当，即时，在上单调递减，，，解得，，综上所述：的取值范围为，故选D．4．已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（）A．[2，5]B．C．D．【答案】A【解析】，11
所以在[1，2]递减，在（2，3]递增，，可得的值域为，对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为，若对，，使得，可得的值域为的值域的子集．则，且，解得，故选A．5．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，即，记，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，记，，，，，，时，，单调递减；11
当时，，单调递增，∴，，故选A．6．已知函数，其中a≠0．（1）若，讨论函数的单调性；（2）是否存在实数a，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）在单调递增，单调递减；（2）存在；．【解析】（1）时，，当时，；当时，，∴在单调递增，单调递减．（2）存在满足条件的实数a，且实数a的值为．理由如下：，(i)当时，，∴在[0，1]上单调递减，∴，则，∴此时不满足题意；(ii)当时，在单调递增，单调递减，①当时，即，在[0，1]单调递减，同上，此时不满足题意；②当时，即时，在单调递增，单调递减，∴，当时，对任意，，∴此时不满足题意；③当时，即，在[0，1]单调递增，，11
令，易知在[0，1]单调递减，∴，若对任意，总存在，使得，即使得，∴，即，∴，∴，综上所述，存在满足题意的实数a，且实数a的值为．7．设函数．（1）若是函数的一个极值点，试求出a关于b的关系式（用a表示b），并确定的单调区间；（2）在（1）的条件下，设，函数．若存在，使得成立，求a的取值范围．【答案】（1），单调区间见解析；（2）．【解析】（1），∵是函数的一个极值点，∴，即，解得，则，令，即，解得或，∵是函数的一个极值点，∴，，①当，即，在和上单调递增，在上单调递减；②当，即，在和上单调递增，在上单调递减，11
综上：，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，∴函数在上的最小值为，∵，，∴函数在上的值域为，即，∵在上为增函数且，∴若存在，使得成立，只需与之间的最小距离小于1，即，解得，综上：当时，存在，使得成立．11
