易错点14导数中的恒成立与存在性问题一、单选题 1.若函数在区间 䁕内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 A.B.C. െ െ䁕D. 2.若函数 䁕 െln െ䁌 在区间 + 上单调递增，则实数m的取值范围为A.െ െ B.െ െ C.െ + D.െ + 3.已知函数 䁕 ሻ + ͵ ݔ ， 䁕 െ 䁕 െt䁕，若 െ 䁥， ， 䁕+䁕 䁕，则a的取值范围是 A. െ െ 䁥B. െ െ䁥C. െ െሻ䁥D. െ െ䁥 െ䁕 + 䁕 4.已知䁕 ，函数 ，且对任意的实数x， 恒成立， െ䁕ln ݔ 则a的取值范围为A. B. C. D. +ex5.已知函数 䁕 െ െ െt， 䁕 ，实数m，n满足䁌൏ ൏，若 䁌 䁥，ex + 䁕，使得 䁕 䁕成立，则 െ䁌的最大值为A.7B.6C. tD. ሻ6.已知 䁕是定义在 + 䁕上的增函数，且恒有 䁕െݔ䁕”则， 䁥 ݔ ”是“ 䁕 䁕 െ 恒成立”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 䁕െ 䁕7.已知函数 䁕 +䁕ln ，若对任意两个不相等的正数 ， ，都有 ݔ െ 恒成立，则a的取值范围为A. + 䁕B. + 䁕C. െ 䁥D. െ 䁕 8.已知函数 䁕 െ䁕 + 䁕，当 ݔ 时，不等式െ൏恒成立， 则实数a的取值范围为 A.െ B. െ C.െ D.െ 二、单空题\n9.已知䁕 ，设函数若关于x的不等式 䁕 在R上恒成立，则a的取值范围为_______．䁕 10.设䁕 ݔ ，函数 䁕 +， 䁕 െlnx，若对任意的 ， 䁥，都有 䁕 䁕成立，则实数a的取值范围为_______． 11.已知函数 䁕 + 䁕ݔ ͵+ ݔݔ ，若对于任意的 䁕，均有 െ ൏䁕e െe 成立，则实数a的取值范围为________．12. 䁕 ሻെሻ + 对于 െ 䁥总有 䁕 成立，则䁕 ．三、解答题13.已知函数 䁕 lnxെ + ， 䁕 lnxെ + ． 䁕讨论函数 䁕在 + 䁕的零点个数； 䁕证明： 䁕൏在 + 䁕上恒成立．14.已知函数 函䁕 函 + ln函． Ⅰ䁕当 െ 时，求函数 函的单调区间和极值； Ⅱ䁕若 函䁕 函䁕+在 + 䁕上是单调增函数，求实数a的取值范围．函 15.已知函数 䁕 െ 䁕 െ䁌 + ， ． \n 䁕当䁌 时，求函数 䁕的极值； 䁕若对于任意的 + 䁕， 䁕 恒成立，求实数m的取值范围．16.已知函数 +ln െ䁕 ． 当䁕 ሻ时，求 的单调增区间； 若 在 上是增函数，求a得取值范围一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.若函数在区间 䁕内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 A.B.C. െ െ䁕D. 【答案】D 【解析】解：根据题意得， + 䁕 ， 䁕在区间 䁕内存在单调递增区间， ݔ在 䁕内有解， 即+ 䁕 ݔ䁕 ݔെ在 䁕内有解 故存在 䁕，使得䁕ݔെ， \n 令 䁕 െ，则 䁕在 䁕单调递增， 所以 䁕 െ െ䁕， 故䁕ݔെ ．故选D．2.若函数 䁕 െln െ䁌 在区间 + 上单调递增，则实数m的取值范围为A.െ െ B.െ െ C.െ + D.െ + 【答案】B【解析】解：由题意，函数，可得，因为函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则，所以函数在为单调递增函数，所以，即实数的取值范围是．故选B．3.已知函数 䁕 ሻ + ͵ ݔ ， 䁕 െ 䁕 െt䁕，若 െ 䁥， ， 䁕+䁕 䁕，则a的取值范围是 A. െ െ 䁥B. െ െ䁥C. െ െሻ䁥D. െ െ䁥 【答案】D【解析】解：因为 䁕 ሻെ ݔ ݔݔ，所以 䁕在 െ 䁥上为增函数，所以 䁕䁌䁕 䁕 ，令 ݔ䁕， 䁕 െ 䁕 െt䁕，则 䁕 + 䁕 ሻ െt䁕．tt当൏ ൏时， 䁕൏；当 ݔ䁕 ，时ݔ．ሻሻtt t 所以 䁕min 䁕 െ 䁕 െt䁕 െ，ሻሻ \n 从而 䁕max െ． 依题意可得䁕+ െ， 即䁕 െ． 则a的取值范围是 െ െ䁥 故选D． െ䁕 + 䁕 4.已知䁕 ，函数 ，且对任意的实数x， 恒成立， െ䁕ln ݔ 则a的取值范围为A. B. C. D. 【答案】Bെ െ 【解析】解：当 时， െ䁕 + 䁕 䁕 ，即䁕 ， െ െ maxെ െ 设 ， ， െ െ 当 െ 时， ݔ， 单调递增，当 时， ൏， 单调递减， 当 时，函数取得最大值 ，即䁕 ； 当 ݔ 时， െ䁕ln 䁕 ，ln ln െ 设 ， ݔ ，ln ln 当 时， ，当 时， ൏， 单调递减，当 + 时， ݔ， 单调递增，所以当 时，函数 取得最小值， ， 䁕 ，\n综上可知： 䁕 ，故选B． +ex5.已知函数 䁕 െ െ െt， 䁕 ，实数m，n满足䁌൏ ൏，若 䁌 䁥，ex + 䁕，使得 䁕 䁕成立，则 െ䁌的最大值为A.7B.6C. tD. ሻ【答案】B + 【解析】解：因为 䁕 ， ݔ， െ 䁕所以 䁕 ， 则当൏ ൏ 时， 䁕൏， 䁕单调递减；当 ݔ䁕 ，时 ݔ， 䁕单调递增，所以 䁕䁌ݔ 䁕 ． 䁕 െ + 䁕 + ，作两函数的图象如图所示，当 䁕 时，方程െ + 䁕 + 的两根分别为െ 和െ ，则 െ䁌的最大值为െ െ െ 䁕 ．故选B．6.已知 䁕是定义在 + 䁕上的增函数，且恒有 䁕െݔ䁕”则， 䁥 ݔ ”是“ 䁕 䁕 െ 恒成立”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：因为 䁕是定义在 + 䁕上的增函数，且恒有 䁕െݔ 䁥 ，\n所以 䁕െݔ 为常数，令 䁕െln ，则 䁕 ln + ． 䁕 ln + ， 䁕 ln + 是增函数且 䁕 ， ， 䁕 ln + ，ln + 䁕 䁕 െ ln + 䁕 െ 䁕 对 ݔ恒成立． ln + െln െ 令 䁕 ， 䁕 ， 令 䁕ݔ，得൏ ൏， 令 䁕൏，得 ݔ， 䁕在 䁕上单调递增，在 + 䁕上单调递减， 䁕max 䁕 ， 䁕 䁕ݔ 是䁕 的必要不充分条件．故选B． 䁕െ 䁕7.已知函数 䁕 +䁕ln ，若对任意两个不相等的正数 ， ，都有 ݔ െ 恒成立，则a的取值范围为A. + 䁕B. + 䁕C. െ 䁥D. െ 䁕【答案】A 䁕െ 䁕【解析】解：因为函数 䁕 +䁕ln ，若对任意两个不相等的正数 ， ，都有 ݔ െ 恒成立，䁕所以 + ݔ恒成立， 所以䁕 െ 恒成立，令 െ െ െ + ，则䁕 max，因为 െ 为开口向下，对称轴为 的抛物线，\n可得䁕 ．故选A． 8.已知函数 䁕 െ䁕 + 䁕，当 ݔ 时，不等式െ൏恒成立， 则实数a的取值范围为 A.െ B. െ C.െ D.െ 【答案】A【解析】解：因为函数， 䁕 䁕所以当 ݔ 时，不等式 െ ൏可变为 䁕൏ 䁕， 设 䁕 䁕，即函数 䁕 െ䁕 ሻ在 + 䁕上单调递增，所以 䁕 െሻ䁕 在 + 䁕上恒成立． 因此，ሻ䁕 在 + 䁕上恒成立． 令 䁕 ݔ， െ 䁕 由 䁕 ݔ知，函数 䁕在 䁕 + 䁕 ， ሻ 所以 䁕min 䁕 ， 所以ሻ䁕 䁕min ，即䁕 ． 所以实数a的取值范围为：．故选A．二、单空题9.已知䁕 ，设函数若关于x的不等式 䁕 在R上恒成立，则a的取值范围为_______．【答案】 䁥【解析】解：当 时， 䁕 െ 䁕+ 䁕 ݔ恒成立； 当 ൏ 时， 䁕 െ 䁕 + 䁕 䁕 恒成立， െ െ െ 䁕 െ 䁕 െ െ 䁕+ 令 䁕 െ െ െ െ െ െ െ \n െ െ +െ 䁕 െ െ 䁕 െ 䁕 ， െ െ 当且仅当 െ ，即 时等号成立， െ 䁕 䁌䁕 ， 䁕 当 ݔ䁕െ 䁕 ，时 ݔ 䁕 恒成立，ݔ ݔ െ ݔ െ 令 䁕 ，则 䁕 ，ݔ 䁕 ݔ ݔ 䁕 当 ݔ䁕 ，时 ݔ， 䁕递增，当 ൏ ൏ 时， 䁕൏， 䁕递减， 时， 䁕取得最小值 䁕 ， 䁕 䁕䁌ݔ ，综上a的取值范围是 䁥．故答案为 䁥．䁕 10.设䁕 ݔ ，函数 䁕 +， 䁕 െlnx，若对任意的 ， 䁥，都有 䁕 䁕成立，则实数a的取值范围为_______．【答案】 െ + 䁕 【解析】解： 䁕 െݔ ， 䁕 െ， 䁥， 䁕 ，函数 䁕单调递增， 䁕的最大值为 䁕 െ ；䁕 䁕 +， െ䁕 䁕 ，令 䁕 ， 䁕ݔ， 䁕， 当൏䁕൏ ， 䁕在 䁥上单调增， 䁕䁌ݔ ， െ 䁕+ 䁕 ݔ䁕 െ ；当 䁕 时， 在 䁕上单调递减，在 䁕 䁥上单调递增， 䁕min 䁕䁕 䁕 െ 恒成立，当䁕ݔ 时 䁕在 䁥上单调递减， +䁕 䁕min െ 恒成立， 综上䁕 െ ．\n故答案为： െ + 䁕． 11.已知函数 䁕 + 䁕ݔ ͵+ ݔݔ ，若对于任意的 䁕，均有 െ ൏䁕e െe 成立，则实数a的取值范围为________．【答案】 + 䁕【解析】解：由题意，函数 䁕 sin +sin +cos ，求导得， 则由 䁥可知 䁕 恒成立，故 䁕在 䁥单调递增， 不妨设 ൏ ，则 䁕െ 䁕 䁕െ 䁕 െ െ ，从而有 䁕െ 䁕൏䁕 െ 䁕恒成立，即 䁕െ䁕 ൏ 䁕െ䁕 恒成立， 设 䁕 䁕െ䁕 ，则 䁕在 䁥单调递减， 所以恒成立，整理得恒成立，设，求导得，，所以单调递减，则要恒成立，只要，故答案为 + 䁕．12. 䁕 ሻെሻ + 对于 െ 䁥总有 䁕 成立，则䁕 ．【答案】4【解析】解：若 ，则不论a取何值， 䁕 都成立；ሻሻ 当 ݔ即 䁥时， 䁕 䁕 െሻ + 可化为䁕 െሻ， ሻ ሻ െ 䁕设 䁕 െ，则 䁕 ， ሻ 所以 䁕在区间 䁥上单调递增，在区间 䁕上单调递减， 因此 䁕䁌䁕 䁕 ，，从而䁕 ； ሻሻ 当 ൏即 െ 䁕时， 䁕 䁕 െሻ + 可化为䁕 െሻ， 可得 䁕在区间 െ 䁕上单调递增，\n因此 䁕䁌ݔ െ 䁕 ，，从而䁕 ．综上可得䁕 ．故答案为4．三、解答题13.已知函数 䁕 lnxെ + ， 䁕 lnxെ + ． 䁕讨论函数 䁕在 + 䁕的零点个数； 䁕证明： 䁕൏在 + 䁕上恒成立．【答案】解： 䁕 䁕 ln െ + ， െ െ 䁕 െ ，令 䁕 ݔ，得：൏ ൏ ， 䁕在 䁕上递增，在 + 䁕上递减，故 䁕 䁕 ，即 䁕在 + 䁕的零点个数为1． 䁕法1： 䁕 ln െe+ ，令 䁕 െe 䁕， 䁕 െെe൏， 䁕即 䁕在 + 䁕递减， 䁕 െeݔ， 䁕 െe൏， 存在 䁕使得 െe ，即e 䁕 ， െln ， 在 䁕上 䁕ݔ， 䁕单调递增，在 + 䁕上 䁕൏， 䁕单调递减， 䁕max ln െe+ െ െ+ ൏，即 䁕൏在 + 䁕恒成立 法2：由 䁕知 䁕 ln െ + ， ln െ ，当且仅当 时取“ ”， ln + 䁕 ， eln + 䁕 e ，即 + e ，当且仅当 时取“ ”， +ln e െ ，且两个等号不能同时取到， ln െe + ൏，故： 䁕൏在 + 䁕上恒成立．14.已知函数 函䁕 函 + ln函． Ⅰ䁕当 െ 时，求函数 函的单调区间和极值；\n Ⅱ䁕若 函䁕 函䁕+在 + 䁕上是单调增函数，求实数a的取值范围．函【答案】解： Ⅰ䁕 函数， 函数 䁕的定义域为 + 䁕． + 䁕 െ 䁕当䁕 െ 时， 䁕 െ lnx， 䁕 െ ． 当x变化时， 䁕和 䁕的值的变化情况如下表：x 䁕1 + 䁕 䁕െ0+ 䁕递减极小值递增由上表可知，函数 䁕的单调递减区间是 䁕，单调递增区间是 + 䁕，极小值是 䁕 ，无极大值． 䁕 Ⅱ䁕由 䁕 +alnx+，得 䁕 +െ． 若函数 䁕为 + 䁕上的单调增函数，则 䁕 在 + 䁕上恒成立， 䁕即不等式 െ+ 在 + 䁕上恒成立． 也即䁕 െ 在 + 䁕上恒成立． 令 䁕 െ ，则 䁕 െെ ． 当 + 䁕时， 䁕 െെ ൏， 䁕 െ 在 + 䁕上为减函数， 䁕max 䁕 ． 䁕 ． 䁕的取值范围为 + 䁕． 15.已知函数 䁕 െ 䁕 െ䁌 + ， ． 䁕当䁌 时，求函数 䁕的极值； 䁕若对于任意的 + 䁕， 䁕 恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解： 䁕当䁌 时， 䁕 െ 䁕 + ， 䁕 ，\n െ 䁕， 䁕൏， 䁕单调递减： + 䁕， 䁕ݔ， 䁕单调递增． 当 时，函数 䁕取得极小值，，无极大值． 䁕对于任意的 + 䁕， 䁕 恒成立， 等价于 䁕 െ 䁕 െ䁌 + ， + 䁕 䁕 െ䁌 െ䁌䁕， ， ，则当䁌 ， 䁕 ， 䁕单调递增， 䁕 ， 䁕 䁕 ．当䁌ݔ 时，令 䁕 ，得 ，或 ln䁌， ln䁌䁕， 䁕൏， 䁕单调递减， 䁕 ， ln䁌䁕，使得 䁕൏，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围 െ 䁥．16.已知函数 +ln െ䁕 ． 当䁕 ሻ时，求 的单调增区间； 若 在 上是增函数，求a得取值范围．【答案】解： 䁕当䁕 ሻ时， +ln െሻ ， 所以 +െሻ， 由 ݔ 或൏ ൏，得ݔ ， 故所求 的单调递增区间为 + ． 䁕由 +െ䁕， 在 上是增函数， 所以 +െ䁕 在 上恒成立， 即䁕 +恒成立， + 当且仅当 时取等号䁕， 所以䁕 ，即䁕 െ
