此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（新高考）2022届高三二轮综合卷数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，又，所以，所以，故选B．2．已知复数z满足，则（）A．B．5C．3D．【答案】A【解析】由题意，，故，故选A．3．已知函数为R上的奇函数，当时，，则（）A．B．C．1D．3【答案】A【解析】由题可知，故选A．4．已知，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，当时，，解得（舍）或，故选D．5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．研究鲑鱼的科学家发现v与成正比，且当时，．若一条鲑鱼要把游速提高，则其耗氧量的单位数应变为原来的（）A．9倍B．27倍C．36倍D．81倍【答案】A【解析】由题意，设（k为比例系数），将，代入可得，解得，设鲑鱼的耗氧量的单位数分别为，，对应游速分别为，，则，即，解得，所以其耗氧量的单位数应变为原来的倍，故选A．6．设单调递增的等比数列满足，，则（）A．B．C．D．9
【答案】C【解析】由，即，所以，可得，解，得或（舍去），，所以，从而，从而，故选C．7．已知，，的最小值为（）A．B．2C．D．【答案】B【解析】可以转化为是函数图象上的点，是函数上的点，．当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值．令，解得或，（舍去），又，所以切点到直线的距离即为的最小值，所以，所以，故选B．8．如图，已知半径为的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，是平面内的等腰直角三角形，其中，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，∵AB是直径，M和N在球面上，∴，即，由等面积法得，，∵，平面ABC，过N作NH⊥AB，则NH⊥平面ABC，则，，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为正实数．下列说法正确的是（）A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差C．若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为D．若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为9
【答案】CD【解析】若甲的极差为，平均数为，方差为，中位数为，则乙的极差为，平均数为，方差为，中位数为，A：当甲的极差为0时，样本甲、样本乙的极差相等，错误；B：当甲的方差为0时，样本甲、样本乙的方差相等，错误；C：由上分析知：若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为，正确；D：由上分析知：若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为，正确，故选CD．10．已知抛物线的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（）A．抛物线C的准线l的方程为B．的最小值为4C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6D．的最小值【答案】ACD【解析】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；B中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以，时取等号，最小值为8，所以B不正确；C中，满足，可知点在抛物线内部，过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故C正确；D中，由B的分析可知：由抛物线的方程可得，所以，当且仅当时取等号，所以D正确，故选ACD．11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（）A．A与B互斥B．A与B对立C．D．A与C相互独立【答案】AD【解析】因，则x与y必是一奇一偶，而为奇数时，x与y都是奇数，因此，事件A和B不能同时发生，即A与B互斥，A正确；因事件A和B不能同时发生，但它们可以同时不发生，如，即A与B不对立，B不正确；的所有可能结果如下表：1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)9
6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)，，，C不正确；，，，则有，A与C相互独立，D正确，故选AD．12．如图所示，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)的横、纵坐标之和作为标签，例如：原点处标签为0，记为；点处标签为1，记为；点处标签为2，记为；点处标签为1，记为；点处标签为0，记为；以此类推，格点处标签为，记，则（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】由题意得，第一圈从到共8个点，由对称性可得，第二圈从到共16个点，由对称性可得，根据归纳推理可得第n圈共有8n个点，这8n项的和也是0，设在第n圈，则，且，由此可知前22圈共有2024个点，即，且对应点为，所以对应点为，对应点为，所以，故A正确；因为，所以，故B错误；由图可得对应点为（1，3），所以，故C错误；因为，又对应点为，所以，对应点为，所以，，对应点为，所以，所以，故D正确，故选AD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线C的焦点坐标为__________．【答案】或【解析】由题可得圆的圆心为，代入得，将抛物线的方程化为标准方程得，故焦点坐标为，故答案为．14．的展开式中的各项系数之和为96，则展开式中的系数为________．【答案】25【解析】令，得展开式中各项系数之和为，∴，则展开式中的的系数为，故答案为25．9
15．我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，是窗户的高度，是遮阳篷的安装高度，是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为，窗户高度．为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度_________．【答案】【解析】依题意可得，，，在中，，在中，，又，所以，解得，故答案为．16．如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则_________，的最小值为_________．【答案】2，【解析】因为在中，，所以，即．因为点在线段上移动（不含端点），所以设．所以，对比可得．代入，得；代入可得，根据二次函数性质知当时，，故答案为，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设首项为2的数列的前项积为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，即，9
由累乘法得，当时，也满足上式，∴．（2）由（1）知，，∴，则．18．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，，，，P为侧棱上的点，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为四边形是正方形，所以点是的中点，因为，所以，，所以平面．（2）因为四边形是正方形，，所以，由（1）知，如图以点为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，所以，又二面角的平面角为锐角，所以二面角的大小为．19．（12分）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息．在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实．现在，的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第月份至6月份的经济收入(单位:百万元)关于月份的数据如表：时间(月份)123456收入(百万元)根据以上数据绘制散点图，如图．9
（1）根据散点图判断，与均为常数)哪一个适宜作为经济收入关于月份的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该公司8月份的经济收入；（3）从前6个月的收入中抽取个﹐记月收入超过百万的个数为，求的分布列和数学期望．参考数据：其中设，参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【答案】（1）；（2），百万元；（3）分布列见解析，2．【解析】（1）根据散点图判断，适宜作为经济收入关于月份的回归方程类型．（2）因为，所以两边同时取常用对数﹐得，设，所以，又因为，所以，，所以，即，令，得，故预测该公司月份的经济收入为百万元．（3）前个月的收入中，月收入超过百万的有个，所以的取值为，，，，所以的分布列为所以．20．（12分）在△ABC中，已知，点D在边BC上，．（1）若，求AC；（2）若AD平分∠BAC，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解：因为且，所以，，过点作于点，因为，且，所以，，所以，所以，所以，在中，由余弦定理，即，所以．9
（2）解：过作于点，设，，则，因为，所以，因为，又平分，所以，即，所以，即，解得或（舍去），所以．21．（12分）已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）当时，，求的取值范围．【答案】（1），无极大值；（2）．【解析】（1）当时，，，()，显然在上是递增的，且，故时，；时，，∴在上递减，上递增，∴，无极大值．（2）由，可知，而，在上单调递增，且，，（这是因为，），∴存在唯一的使，即，且当时，，递减；当时，，递增，∴，令，解得或，∴．22．（12分）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是右支上一点，若I为的内心，且．（1）求的方程；（2）点A是在第一象限的渐近线上的一点，且轴，在点P处的切线l与直线相交于点M，与直线相交于点N．证明：无论点P怎么变动，总有．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设的内切圆半径为r，则，9
因为，所以，即，可得，所以，由双曲线的定义和几何性质，得，又，解得，所以的方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为．由，可得，由题意知．若点P在双曲线右支的上半支上，则，所以，故，因为，所以，；若点P在双曲线右支的下半支上，则，同理可得，综上，，代入直线l的方程得，即，由，可得，所以直线l的方程为，即，因为直线的方程为，所以直线l与直线的交点，直线l与直线的交点，所以，，即得证．9
