第2课时 圆周角定理的推论2与圆内接四边形1．在实际操作中探索圆的性质，进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明；(重点)2．掌握圆内接四边形的有关概念及性质；(重点)3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和完全归纳的方法． 一、情境导入如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理的推论2【类型一】利用圆周角定理的推论2求角(2015·广东模拟)如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由BD是直径得∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，∴∠A＝∠BDC＝60°.故选C.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用圆周角定理的推论2求线段长如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，AB＝10cm，∠A＝30°，则BC的长为________．解析：由AB为⊙O的直径得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，因为∠A＝30°，所以BC＝AB＝×10＝5(cm)．故答案为5cm.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】利用圆周角定理的推论2进行有关证明,如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.解析：连接BE构造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得Rt△ACD，要证∠BAE＝∠CAD，只要证出它们的余角∠E与∠C相等，而∠E与∠C是同弧AB所对的圆周角．证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵＝，∴∠E＝∠C.∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D＝60°.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．方法总结：在运用圆的内接四边形的性质进行证明或计算时，可通过“,圆内接四边形对角互补”得到角的对应关系，通过转化求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计教学过程中，强调在圆中进行证明或计算时，只要出现直径就要想到90°，出现直角，就要想到半圆或直径，通过适量的练习，加深学生的理解，培养学生良好的思维习惯.
