2.2圆心角、圆周角第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时圆周角定理的推论2与圆内接四边形2.2.2圆周角,学习目标1.探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明；(重点)2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质；(重点),导入新课情境引入如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？,讲授新课圆周角定理的推论2一问题1如图，AC是圆O的直径，那么∠D，∠D1，∠D2的度数分别是多少呢？D1D2这三个角所对弧上的圆心角是∠AOC，而∠AOC=180°，利用圆周角定理，∠D=∠D1=∠D2=90°.问题2如图，若已知∠D=90°，它所对的弦AC是直径吗？是的.,要点归纳圆周角定理的推论2直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.问题3回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.,典例精析例1如图，AC是圆O的直径，∠CAD=60°，点B在圆O上，求∠ABD的度数.B解：∵AC为直径，∴∠ADC=90°.又∠DAC=60°，∴∠C=30°.又∵∠ABD和∠C都是弧AB所对的圆周角，∴∠ABD=∠C=30°.,例2如图，☉O直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交☉O于B,求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，,在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B,圆内接四边形的性质二概念学习如图，A，B，C，D是圆O上的四点，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形ABCD，我们把四边形ABCD称为圆内接四边形.这个圆叫作这个四边形的外接圆.,如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.(2)当ABCD为一般四边形时，猜想：∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º性质探究(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º,试一试证明：圆内接四边形的对角互补.已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.求证∠BAD+∠BCD=180°.证明：连接OB、OD.根据圆周角定理，可知12由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°,圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的性质要点归纳,OABCCD典例精析例3如图，ABCD是圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，求∠BAD及∠BCD的度数.解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为弧BD，∠BOD＝100°，∵∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-50°=130°.∴∠BAD=∠BOD=100°=50°.,例3已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；,（2）若AB=4，BC=，求CD的长．解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=，∵∠CDE=∠B，∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴=4CD，∴CD=．,1．四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=，∠D=.2．☉O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=.70º100º90º当堂练习,3.如图，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）A.70°B.110°C.90°D.120°BACBODE,4.如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°B,5.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）A．3B．C．D．2A,6.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）,变式：已知∠OAB等于40°,求∠C的度数.ABCOD,7.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：.ABCDE∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD,∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，解:BD=CD.理由是:连接AD,,课堂小结2.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补.1.圆周角定理的推论2：直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
