甘肃省张掖市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合，则A∩B=（ ）A．（4，9）B．（9，+∞）C．（10，+∞）D．（9，10）2．（5分）若复数z=5+3i，且iz=a+bi（a，b∈R）则a+b=（ ）A．2B．﹣2C．﹣8D．83．（5分）如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温（°C）的数据一览表．月份12345678910最高温59911172427303121最低温﹣12﹣31﹣271719232510已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A．最低温与最高温为正相关B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4．（5分）设等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35，2a4﹣a6=7，则d=（ ）A．4B．3C．2D．15．（5分）若是第二象限角，则=（ ）A．B．5C．D．106．（5分）已知双曲线的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）第21页共21页,A．B．C．D．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最大值为（ ）A．3B．﹣1C．﹣4D．128．（5分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（ ）A．2B．3C．4D．59．（5分）已知函数的最小正周期为6π，且取图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinwx的图象，则φ=（ ）A．B．C．D．10．（5分）f（x）=的部分图象大致是（ ）A．B．第21页共21页,C．D．11．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）A．52πB．45πC．41πD．34π12．（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意实数x，都有f（x）=6x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，2f'（x）+1＜12x若f（m+2）≤f（﹣2m）+12﹣9m2，则m的取值范围为（ ）A．[﹣1，+∞）B．C．D．[﹣2，+∞） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，则向量与夹角的余弦值为 ．14．（5分）已知数列{an}满足，且a2=2，则a4= ．15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别是棱BC，DD1上的点，且DF=FD1，如果B1E⊥平面ABF，则B1E的长度为 ．第21页共21页,16．（5分）已知抛物线y2=2x，A，B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x00），则x0的取值范围是 ．（用区间表示） 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4，，bsinC=2sinB．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）共享单车是指企业的校园，地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好服务社会，随机调查了100人，统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率分布直方图，已知骑行时间在[60，80），[20，40），[40，60）三组对应的人数依次成等差数列（1）求频率分布直方图中a，b的值．（2）若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”，现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户”的概率．19．（12分）如图，四边形ABCD是矩形AB=3，PE⊥第21页共21页,平面ABCD，PE=．（1）证明：平面PAC⊥平面PBE；（2）设AC与BE相交于点F，点G在棱PB上，且CG⊥PB，求三棱锥F﹣BCG的体积．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=2（x﹣1）ex．（1）若函数f（x）在区间（a，+∞）上单调递增，求f（a）的取值范围；（2）设函数g（x）=ex﹣x+p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥f（x0）﹣x0成立，求p的取值范围．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；第21页共21页,（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围． 第21页共21页,甘肃省张掖市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合，则A∩B=（ ）A．（4，9）B．（9，+∞）C．（10，+∞）D．（9，10）【解答】解：A={x|x＞9}，B={x|4＜x＜10}，则A∩B={x|9＜x＜10}=（9，10），故选：D． 2．（5分）若复数z=5+3i，且iz=a+bi（a，b∈R）则a+b=（ ）A．2B．﹣2C．﹣8D．8【解答】解：复数z=5+3i，且iz=a+bi（a，b∈R），可得﹣3+5i=a+bi，．解得a=﹣3，b=5，∴a+b=2．故选：A． 3．（5分）如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温（°C）的数据一览表．月份12345678910最高温59911172427303121最低温﹣12﹣31﹣271719232510已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A．最低温与最高温为正相关第21页共21页,B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，则A正确；对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：﹣3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，则B错误；对于C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的最大值出现在1月，C正确；对于D，有C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D正确；故选：B． 4．（5分）设等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35，2a4﹣a6=7，则d=（ ）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35，2a4﹣a6=7，∴，解得a1=5，d=2．故选：C． 5．（5分）若是第二象限角，则=（ ）A．B．5C．D．10【解答】解：∵是第二象限角，第21页共21页,∴tanα=﹣，可得：cosα=﹣=﹣，∴====10．故选：D． 6．（5分）已知双曲线的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的实轴长为8，可得：m2+12=16，解得m=2，m=﹣2（舍去）．所以，双曲线的渐近线方程为：．则该双曲线的渐近线的斜率：．故选：C． 7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最大值为（ ）A．3B．﹣1C．﹣4D．12【解答】解：实数x，y满足约束条件，表示的平面区域如图所示，当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），在y轴上截距最小，此时z取得最大值：12．第21页共21页,故选：D． 8．（5分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（ ）A．2B．3C．4D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得：a=2，s=0，n=1，s=2，a=，满足条件s＜3，执行循环体，n=2，s=2+=，a=，满足条件s＜3，执行循环体，n=3，s=+=，a=，此时，不满足条件s＜3，退出循环，输出n的值为3．故选：B． 9．（5分）已知函数的最小正周期为6π，且取图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinwx的图象，则φ=（ ）第21页共21页,A．B．C．D．【解答】解：∵函数的最小正周期为6π，∴=6π，则ω=，则f（x）=sin（x+φ），图象向右平移个单位后得到y=sin[（x﹣）+φ]=sin（x﹣+φ）=sinx，此时﹣+φ=2kπ，得φ=+2kπ，∵|φ|＜，∴φ=，故选：A 10．（5分）f（x）=的部分图象大致是（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x）∴函数f（x）为奇函数，排除A，∵x∈（0，1）时，x＞sinx，x2+x﹣2＜0，故f（x）＜0，故排除B；当x→+∞时，f（x）→0，故排除C；故选：D第21页共21页, 11．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）A．52πB．45πC．41πD．34π【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面ABCD是矩形，其中AB=4，AD=6，侧面PBC⊥底面垂ABCD．设AC∩BD=O，则OA=OB=OC=OD=，OP=，∴O该多面体外接球的球心，半径R=，∴该多面体外接球的表面积为S=4πR2=52π．故选：A 12．（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意实数x，都有f（x）=6x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，2f'（x）+1＜12x若f（m+2）≤f（﹣2m）+12﹣9m2，则m的取值范围为（ ）A．[﹣1，+∞）B．C．D．[﹣2，+∞）【解答】解：∵f（x）﹣3x2+f（﹣x）﹣3x2=0，设g（x）=f（x）﹣3x2，第21页共21页,则g（x）+g（﹣x）=0，∴g（x）为奇函数，又g′（x）=f′（x）﹣6x＜﹣，∴g（x）在x∈（﹣∞，0）上是减函数，从而在R上是减函数，又f（m+2）≤f（﹣2m）+12m+12﹣9m2等价于f（m+2）﹣3（m+2）2≤f（﹣2m）﹣3（﹣2m）2，即g（m+2）≤g（﹣2m），∴m+2≥﹣2m，解可得：m≥﹣；故选：C． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，则向量与夹角的余弦值为 ．【解答】解：根据题意，设向量与夹角为θ，向量，，则||=2，||=5，且•=2×（﹣3）+（﹣4）×（﹣4）=10，cosθ===，故答案为：． 14．（5分）已知数列{an}满足，且a2=2，则a4= 11 ．【解答】解：∵，第21页共21页,∴=2∴{an+1}是公比q=2的等比数列，则=22=4，即=4，则a4+1=3×4=12，则a4=11，故答案为：11． 15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别是棱BC，DD1上的点，且DF=FD1，如果B1E⊥平面ABF，则B1E的长度为 ．【解答】解：以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得A（0，3，0），B（3，3，0），F（0，0，），B1（3，3，3），E（3，t，0），则=（0，t﹣3，﹣3），=（3，0，0），=（﹣3，﹣3，），B1E⊥平面ABF，可得B1E⊥AB，B1E⊥BF，即•=0，•=0，即有0×3+（t﹣3）×0+﹣3×0=0，0×（﹣3）+（t﹣3）×（﹣3）+（﹣3）×=0，解得t=，第21页共21页,则=（0，﹣，﹣3），可得B1E的长度为=．故答案为：． 16．（5分）已知抛物线y2=2x，A，B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x00），则x0的取值范围是 （1，+∞） ．（用区间表示）【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M．直线AB的方程为y=kx+m，（k≠0）得ky2﹣2y+2m=0，△=4﹣8km＞0⇒km＜xM═，yM=⇒直线PM的方程为y﹣=﹣令y=0，得x0=∵∴x0=＞1故答案为：（1，+∞） 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第21页共21页,17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4，，bsinC=2sinB．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵bsinC=2sinB，∴由正弦定理得：bc=2b，即c=2，由余弦定理得．∴；（2）∵a=4，c=2，．∴． 18．（12分）共享单车是指企业的校园，地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好服务社会，随机调查了100人，统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率分布直方图，已知骑行时间在[60，80），[20，40），[40，60）三组对应的人数依次成等差数列（1）求频率分布直方图中a，b的值．（2）若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”，现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户”的概率．【解答】解：（1）由（0.0025×2+0.0075+3a）×20=1解得a=0.0125，第21页共21页,又b+0.0165=2a=0.0025，∴b=0.0085．（2）“忠实用户”“潜力用户”的人数之比为：（0.0075+0.0025）：（0.0125+0.0025）=2：3，所以“忠实用户”抽取人，“潜力用户”抽取人，记事件：从5人中任取3人恰有1人为“忠实用户”设两名“忠实用户”的人记为：B1，B2，三名“潜力用户”的人记为：b1，b2，b3，则这5人中任选3人有：（B1，B2，b1），（B1，B2，b2），（B1，B2，b3），（B1，b1，b2），（B1，b1，b3）（B1，b2，b3），（B2，b1，b2），（B2，b1，b3），（B1，b2，b3），（b1，b2，b3），共10种情形，符合题设条件有：（B1，b1，b2），（B1，b1，b3），（B1，b2，b3），（B2，b1，b2），（B2，b1，b3），（B1，b2，b3）共有6种，因此恰好1人为“忠实用户”的概率为． 19．（12分）如图，四边形ABCD是矩形AB=3，PE⊥平面ABCD，PE=．（1）证明：平面PAC⊥平面PBE；（2）设AC与BE相交于点F，点G在棱PB上，且CG⊥PB，求三棱锥F﹣BCG的体积．【解答】证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，，所以，第21页共21页,又，所以△ABC～△BCE，∠BCE=∠ACB，因为，所以AC⊥BE，又PE⊥平面ABCD，所以AC⊥PE，又面PE∩BE=E，所以AC⊥平面PBE．（2）因为，所以，又BC=3，CG⊥PB，所以G为棱PB的中点，G到平面ABC的距离等于，由（1）知△ABF～△CEF，所以，所以，所以． 20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2=b2+c2，所以b=1，c=1，第21页共21页,所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y=x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），所以，因为，即，所以|QF1|=2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x=my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，且|y2|=|2y1|，则有y2=﹣2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为． 21．（12分）已知函数f（x）=2（x﹣1）ex．（1）若函数f（x）在区间（a，+∞）上单调递增，求f（a）的取值范围；第21页共21页,（2）设函数g（x）=ex﹣x+p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥f（x0）﹣x0成立，求p的取值范围．【解答】解：（1）由f'（x）=2xex＞0，得x＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以a≥0，所以f（a）≥f（0）=﹣2，所以f（a）的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）因为存在x0∈[1，e]，使不等式成立，所以存在x0∈[1，e]，使成立，令h（x）=（2x﹣e）ex，从而p≥h（x）min，h'（x）=（2x﹣1）ex，因为x≥1，所以2x﹣1≥1，ex＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）=（2x﹣e）ex在[1，e]上单调递增，所以h（x）min=h（1）=﹣e，所以p≥﹣e，实数p的取值范围是[﹣e，+∞）． 22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．【解答】解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2=16，即ρ=±4．∴A、B两点的极坐标为：或．第21页共21页,（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，得到普通方程为x2﹣y2=8．将直线代入x2﹣y2=8，整理得．∴|MN|==． 23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1；当x≤﹣3时，不等式转化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式解集为空集；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式转化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解之得；当x≥﹣1时，不等式转化为（x+1）﹣（x+3）≤1，恒成立；综上所求不等式的解集为．（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4恒成立，即|x﹣a|≤x+7，亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立，又因为x∈[0，3]，所以﹣7≤a≤7，所以a的取值范围为[﹣7，7]． 第21页共21页
