辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（ ）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）2．（5分）已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知平面向量，，且，则实数x的值为（ ）A．B．C．D．4．（5分）已知tanθ=2，则的值为（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（ ）A．﹣3B．﹣3或9C．3或﹣9D．﹣9或﹣36．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）第21页共21页,A．B．C．D．7．（5分）在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7=a8+5，则S11的值是（ ）A．55B．11C．50D．608．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A．甲是教师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是教师C．甲是医生，乙是教师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是教师9．（5分）已知函数，以下命题中假命题是（ ）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．是函数f（x）的一个零点C．函数f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到D．函数f（x）在上是增函数10．（5分）设函数f（x）=xex+1，则（ ）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点11．（5分）已知双曲线第21页共21页,，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若，则双曲线C的离心率为（ ）A．2B．C．D．12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，则在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log8（x+2）=0解的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值为 ．14．（5分）已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P（1，1）为中点，则弦AB所在直线方程是 ．15．（5分）在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=3an﹣2an﹣1（n≥2），则an= ．16．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值．第21页共21页,18．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．（Ⅰ）请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅱ）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．附：，其中n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.82819．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM=2MC．（1）求证：BM∥平面PAD；（2）若AD=2，PD=3，，求三棱锥P﹣ADM的体积．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且有．第21页共21页,（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）2﹣3alnx，a∈R．（1）求函数f（x）图象经过的定点坐标；（2）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）单调区间；（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α，（0＜α＜π）（1）求曲线C1、C2的极坐标方程；（2）设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+|2x+1|的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值． 第21页共21页,辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（ ）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），故选：C 2．（5分）已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B． 3．（5分）已知平面向量，，且，则实数x的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，向量，，则﹣=（﹣3，x﹣），又由，则（﹣）•=（﹣3）×1+（x﹣）×=0，第21页共21页,解可得x=2，故选：B． 4．（5分）已知tanθ=2，则的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵tanθ=2，则=1++=1++=+=，故选：C． 5．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（ ）A．﹣3B．﹣3或9C．3或﹣9D．﹣9或﹣3【解答】解：输出才结果为零，有y=0由程序框图可知，当：y=（）x﹣8=0时，解得选x=﹣3；当y=2﹣log3x=0，解得x=9．综上，有x=﹣3，或者9．故选：B．第21页共21页, 6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是P﹣ABCD，其中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥平面ABCD，如图，PB=PD==2，∴该四棱锥的侧面积是：S=S△PBC+S△PDC+S△PAB+S△PCD==4+4．故选：A． 7．（5分）在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7=a8+5，则S11的值是（ ）A．55B．11C．50D．60【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵2a7=a8+5，∴2a1+12d=a1+7d+5，第21页共21页,∴a1+5d=5=a6，则S11==11a6=55．故选：A． 8．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A．甲是教师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是教师C．甲是医生，乙是教师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是教师【解答】解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B和D；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生．故选：C． 9．（5分）已知函数，以下命题中假命题是（ ）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．是函数f（x）的一个零点C．函数f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到D．函数f（x）在上是增函数【解答】解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=1为最大值，∴f（x）的图象关于直线对称，A正确；对于B，当x=﹣时，函数f（x）=sin（﹣2×+）=0，∴x=﹣是函数f（x）的一个零点，B正确；对于C，函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），第21页共21页,其图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到，∴C错误；对于D，x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴函数f（x）=sin（2x+）在上是增函数，D正确．故选：C． 10．（5分）设函数f（x）=xex+1，则（ ）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1，令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点．故选：D． 11．（5分）已知双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若，则双曲线C的离心率为（ ）A．2B．C．D．【解答】解：由直径所对的圆周角为直角，可得∠OAF=90°，在△OAF中，，可得AF=OFcos30°=c，由AF为焦点（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离，第21页共21页,即为==b，即有b=c，e====2，故选A． 12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，则在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log8（x+2）=0解的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（6）=1，则函数y=f（x）与y=log8（x+2）在区间（﹣2，6）上的图象如下图所示：根据图象可得y=f（x）与y=log8（x+2）在区间（﹣2，6）上有3个不同的交点．故选：C．．第21页共21页, 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值为 ﹣10 ．【解答】解：画出约束条件：可行域如下图，由z=x﹣3y得y=x﹣；平移直线y=x﹣，由图象可知当直线经过点B时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由解得，B（﹣1，3）；故此时z=﹣1﹣3×3=﹣10；故答案为：﹣10第21页共21页, 14．（5分）已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P（1，1）为中点，则弦AB所在直线方程是 2x﹣y﹣1=0 ．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得y12=4x1，①，y22=4x2，②，①﹣②整理得k===2，则弦AB所在直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣1=0．故答案为：2x﹣y﹣1=0． 15．（5分）在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=3an﹣2an﹣1（n≥2），则an= 2n﹣1（n∈N*） ．【解答】解：∵an+1=3an﹣2an﹣1（n≥2），∴an+1﹣an=2an﹣2an﹣1=2（an﹣an﹣1）（n≥2），可得：a3﹣a2=2（a2﹣a1）a4﹣a3=2（a3﹣a2）第21页共21页,…an+1﹣an=2（an﹣an﹣1）相加可得：an+1﹣a2=2（an﹣a1），可得：an+1﹣2=2（an﹣1），即：an+1=2an，∴数列{an}是等比数列，n∈N*，∴．故答案为：2n﹣1（n∈N*）． 16．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 6 ．【解答】解：设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为a，则高h==，∴体积V=a2h=，设y=108a4﹣a6，则y′=432a3﹣3a5，由y′=432a3﹣3a5=0，解得a=0或a=12，∴当a=12时，体积最大，此时h==6，故答案为：6． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ABC的面积；第21页共21页,（2）若b+c=6，求a的值．【解答】解：（1）因为，所以，．又由得bccosA=3，所以bc=5因此．（2）由（1）知，bc=5，又b+c=6，由余弦定理，得，所以 18．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．（Ⅰ）请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅱ）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．附：，其中n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828【解答】解：（Ⅰ）由已知得，在家里最幸福在其它场所幸福合计第21页共21页,中国高中生223355美国高中生93645合计3169100∴=，∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为a1，a2，a3，b；∵Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a3），（a2，b），（a3，b）}，∴n=6；设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件A，A={（a1，b），（a2，b），（a3，b）}，∴m=3；则所求的概率为． 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM=2MC．（1）求证：BM∥平面PAD；（2）若AD=2，PD=3，，求三棱锥P﹣ADM的体积．【解答】（1）证明：法一、过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN．∵PM=2MC，∴．又∵，且AB∥CD，∴AB∥MN，AB=MN，则四边形ABMN为平行四边形，∴BM∥AN．又∵BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，第21页共21页,∴BM∥平面PAD．法二、过点M作MN⊥CD于点N，N为垂足，连接BN．由题意，PM=2MC，则DN=2NC，又∵DC=3，DN=2，∴AB=DN，AB∥DN，∴四边形ABND为平行四边形，则BN∥AD．∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．又MN⊥DC，∴PD∥MN．又∵BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN，BN∩MN=N；∵AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD=D；∴平面MBN∥平面PAD．∵BM⊂平面MBN，∴BM∥平面PAD；（2）解：过B作AD的垂线，垂足为E．∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE．又∵AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD=D．∴BE⊥平面PAD．由（1）知，BM∥平面PAD，∴M到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，即BE．在△ABC中，AB=AD=2，，∴．∴．第21页共21页, 20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且有．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）由，得，∴．将代入，得b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）由已知，直线l的斜率为零时，不合题意；设直线方程为x﹣1=my，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（m2+2）y2+2my﹣1=0，由韦达定理，得，∴==第21页共21页,===，当且仅当，即m=0时，等号成立．∴△AOB面积的最大值为． 21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）2﹣3alnx，a∈R．（1）求函数f（x）图象经过的定点坐标；（2）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）单调区间；（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x=1时，ln1=0，所以f（1）=4，所以函数f（x）的图象无论a为何值都经过定点（1，4）．（2）当a=1时，f（x）=（x+1）2﹣3lnx．f（1）=4，，f'（1）=1，则切线方程为y﹣4=1×（x﹣1），即y=x+3．在x∈（0，+∞）时，如果，即时，函数f（x）单调递增；如果，即时，函数f（x）单调递减．（3），x＞0．当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增．f（x）min=f（1）=4，f（x）≤4不恒成立．当a＞0时，设g（x）=2x2+2x﹣3a，x＞0．第21页共21页,∵g（x）的对称轴为，g（0）=﹣3a＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，且存在唯一x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0．∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；∴当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）在[1，e]上的最大值f（x）max=max{f（1），f（e）}．∴，得（e+1）2﹣3a≤4，解得． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α，（0＜α＜π）（1）求曲线C1、C2的极坐标方程；（2）设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．【解答】解（1）由曲线C1的参数方程（t为参数）消去参数t得x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ．由曲线C2的直角坐标方程x2+（y﹣2）2=4，得x2+y2﹣4y=0，∴曲线C2的极坐标方程ρ=4sinθ．（2）联立，得A（2sinα，α），∴|OA|=2sinα，联立，得B（4sinα，α），∴|OB|=4sinα．第21页共21页,∴|AB|=|OB|﹣|OA|=2sinα．∵0＜α＜π，∴当时，|AB|有最大值2． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+|2x+1|的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=|x﹣1|+3x由f（x）≥|2x+1|+3x，得|x﹣1|﹣|2x+1|≥0，故|x﹣1|≥|2x+1|，解得：﹣2≤x≤0，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤0}．（2）由|x﹣a|+3x≤0，可得，或．即，或．①当a＞0时，不等式的解集为．由，得a=2．②当a=0时，解集为{0}，不合题意．③当a＜0时，不等式的解集为．由，得a=﹣4．综上，a=2，或a=﹣4． 第21页共21页
