湖北省荆州市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确．1．（5分）已知集合A={x|≥0，x∈R}，B={y|y=3x2+1，x∈R}．则A∩B=（ ）A．∅B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．（5分）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）A．y=exB．y=tanxC．y=x3﹣xD．y=ln3．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）的值等于（ ）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5=3，a8=8，则a12的值是（ ）A．15B．30C．31D．645．（5分）若a，b，c为实数，下列结论正确的是（ ）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若a＜b＜0，则C．若a＜b＜0，则D．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b26．（5分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则的值为（ ）A．B．4C．2D．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，sinB=2sinC，则△ABC的面积是（ ）A．B．C．D．8．（5分）函数的图象大致为（ ）第19页共19页,A．B．C．D．9．（5分）已知x、y满足约束条件，如果目标函数的取值范围为[0，2），则实数a的取值范围是（ ）A．a≥1B．a≤2C．a＜2D．a＜110．（5分）已知函数，若函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣3）=f（﹣x﹣3），且当x≤﹣3时，f（x）=ln（﹣x）．若对任意x∈R，不等式f（sinx﹣t）＞f（3sinx﹣1）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）A．t＜﹣3或t＞9B．t＜﹣1或t＞3C．﹣3＜t＜9D．t＜1或t＞912．（5分）设函数f（x）=ex+1﹣ma，g（x）=aex﹣x（m，a为实数），若存在实数a，使得f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．B．C．D． 二、填空题13．（5分）计算定积分= ．14．（5分）已知实数a＞0，b＞0，是8a与2b的等比中项，则的最小值是 ．第19页共19页,15．（5分）某商船在海上遭海盗袭扰，正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶，此时在其南偏东45°方向，相距20海里处的我海军舰艇接到命令，必须在80分钟内（含80分钟）追上商船为其护航．为完成任务，我海军舰艇速度的最小值为 （海里/h）．16．（5分）在数列{an}中，a1=1，n≥2时，an=an﹣1+n，若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数．（1）若f（x）=0，，求x的值；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若曲线y=h（x）与y=g（x）的图象关于直线对称，求函数h（x）在上的值域．18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若bn=nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值．19．（12分）已知点O是等边△ABC内一点，BC=3，∠BOC=120°，设∠BCO=θ．（1）若AO=BO，求θ；（2）设△BOC与△AOC的面积差为S，求S关于θ的函数S（θ），那么θ取何值时，S（θ）有最大值？最大值是多少？20．（12分）习总书记在十九大报告中明确指出，“要着力解决突出环境问题，坚持全民共治，源头防治，持续实施大气污染防治行动，打赢蓝天保卫战．”．为落实十九大报告精神，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为：，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且．第19页共19页,（1）令，x∈[0，24]，求t（x）的最值；（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过2．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣m﹣xlnx﹣（m﹣1）x，m∈R，f′（x）为函数f（x）的导函数．（1）若m=1，求证：对任意x∈（0，+∞），f′（x）≥0；（2）若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围． 选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，已知直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|． 选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣a|，不等式f（x）≤3的解集为[﹣6，0]．（1）求实数a的值；（2）若f（x）+f（x+5）≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 第19页共19页,湖北省荆州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确．1．（5分）已知集合A={x|≥0，x∈R}，B={y|y=3x2+1，x∈R}．则A∩B=（ ）A．∅B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解答】解：∵集合A={x|≥0，x∈R}={x|x≤0或x＞1}，B={y|y=3x2+1，x∈R}={y|y≥1}．∴A∩B={x|y＞1}=（1，+∞）．故选：B． 2．（5分）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）A．y=exB．y=tanxC．y=x3﹣xD．y=ln【解答】解：函数y=ex，不是奇函数，不满足题意；函数y=tanx是奇函数，但在定义域内图象是不连续的，不是增函数，不满足题意；函数y=x3﹣x是奇函数，当x∈（﹣，）时，y′=3x2﹣1＜0为减函数，不满足题意；函数y=ln是奇函数，在定义域（﹣2，2）上内函数为增函数，外函数y=lnt也为增函数，故函数y=ln在定义域内为增函数，满足题意；故选：D 3．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）的值等于（ ）A．﹣B．﹣C．D．第19页共19页,【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）=﹣cosα=﹣=，故选：C． 4．（5分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5=3，a8=8，则a12的值是（ ）A．15B．30C．31D．64【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4+a5=3，a8=8，∴3a4=3，即a1+3d=1，a1+7d=8，联立解得a1=﹣，d=则a12=﹣+×11=15．故选：A． 5．（5分）若a，b，c为实数，下列结论正确的是（ ）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若a＜b＜0，则C．若a＜b＜0，则D．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2【解答】解：对于A：若a＞0，b，c，d均小于0，则不正确，对于B：若a＜b＜0，则a2＞b2，则＞，即＞，故B不正确，对于C：若a＜b＜0，则＜，即＜，故C不正确，对于D：若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2，正确，故选：D． 6．（5分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则的值为（ ）A．B．4C．2D．【解答】解：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}第19页共19页,的连续三项，∴=a1•a7，可得=a1（a1+6d），化为：a1=2d≠0．∴公比q====2．则==．故选：A． 7．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，sinB=2sinC，则△ABC的面积是（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵，，sinB=2sinC，可得：b=2c．sinA==，∴由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：8=4c2+c2﹣3c2，解得c=2，b=4．∴S△ABC=bcsinA=×2×4×=．故选：A． 8．（5分）函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．【解答】解：函数是非奇非偶函数，排除A、B，函数的零点是x=e﹣1，当x=e时，f（e）=，排除选项D．故选：C． 第19页共19页,9．（5分）已知x、y满足约束条件，如果目标函数的取值范围为[0，2），则实数a的取值范围是（ ）A．a≥1B．a≤2C．a＜2D．a＜1【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：目标函数的取值范围为[0，2），说明可行域内的点与（a，﹣2）的连续的斜率的范围是[0，2），直线2x﹣y﹣4=0的斜率为2；由图形可知（a，﹣2）在BA的直线上，A的左侧，所以a＜1．故选：D． 10．（5分）已知函数，若函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：f（x）=cosωx+sinωx=sin（ωx+）．第19页共19页,令ωx+=kπ可得x=﹣+，k∈Z．令π＜﹣+＜2π解得ω+＜k＜2ω+，∵函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴区间（ω+，2ω+）内不存在整数．又•≥2π﹣π=π，∴ω≤1，又ω＞0，∴（ω+，2ω+）⊂（0，1）或（ω+，2ω+）⊂（1，2）．∴2ω+≤1或1≤ω+＜2ω+≤2，解得0＜ω≤或≤ω≤．故选C． 11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣3）=f（﹣x﹣3），且当x≤﹣3时，f（x）=ln（﹣x）．若对任意x∈R，不等式f（sinx﹣t）＞f（3sinx﹣1）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）A．t＜﹣3或t＞9B．t＜﹣1或t＞3C．﹣3＜t＜9D．t＜1或t＞9【解答】解：∵f（x﹣3）=f（﹣x﹣3），∴f（x）关于直线x=﹣3对称，当x≤﹣3时，f（x）=ln（﹣x），故f（x）在（﹣∞，﹣3]递减，在（﹣3，+∞）递增，若对任意x∈R，不等式f（sinx﹣t）＞f（3sinx﹣1）恒成立，则或，即1﹣t＞2或1﹣t＜﹣2，第19页共19页,解得：t＜﹣1或t＞3，故选：B． 12．（5分）设函数f（x）=ex+1﹣ma，g（x）=aex﹣x（m，a为实数），若存在实数a，使得f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=ex+1﹣ma﹣aex+x=（e﹣a）ex﹣ma+x，则h′（x）=（e﹣a）ex+1，若e﹣a≥0，可得h′（x）＞0，函数h（x）为增函数，当x→+∞时，h（x）→+∞，不满足h（x）≤0对任意x∈R恒成立；若e﹣a＜0，由h′（x）=0，得，则x=ln，∴当x∈（﹣∞，ln）时，h′（x）＞0，当x∈（ln，+∞）时，h′（x）＜0，∴==．若f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，则≤0（a＞e）恒成立，若存在实数a，使得≤0成立，则ma≥ln，∴（a＞e），令F（a）=，则F′（a）===．第19页共19页,∴当a＜2e时，F′（a）＜0，当a＞2e时，F′（a）＞0，则．∴m．则实数m的取值范围是[）．故选：C． 二、填空题13．（5分）计算定积分= e﹣1 ．【解答】解：=（ex）=e﹣1，故答案为：e﹣1． 14．（5分）已知实数a＞0，b＞0，是8a与2b的等比中项，则的最小值是 5+2 ．【解答】解：实数a＞0，b＞0，是8a与2b的等比中项，∴8a•2b=2，∴23a+b=2，解得3a+b=1．则=（3a+b）=5+≥5+2=5+2，当且仅当b=a=﹣2时取等号．故答案为：． 15．（5分）某商船在海上遭海盗袭扰，正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶，此时在其南偏东45°方向，相距20海里处的我海军舰艇接到命令，必须在80分钟内（含80分钟）追上商船为其护航．为完成任务，我海军舰艇速度的最小值为 15 （海里/h）．【解答】解：设海盗袭扰处为C，我海军舰艇为A，B为商船，由条件知∠ACB=120°，AC=20海里，设我海军舰艇速度为x，可得BC=15×=20，AB=x，第19页共19页,由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB．得：（x）2=202+202﹣2×20×20cos120°，解得：x=15，故我海军舰艇速度的最小值为，故答案为：15． 16．（5分）在数列{an}中，a1=1，n≥2时，an=an﹣1+n，若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是 [2，+∞） ．【解答】解：在数列{an}中，a1=1，n≥2时，an=an﹣1+n，即an﹣an﹣1=n，∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=，（n=1时也成立）．∴an=．不等式化为：λ＞，由于2＞，不等式对任意n∈N*恒成立，则λ≥2．则实数λ的取值范围是：[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．第19页共19页, 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数．（1）若f（x）=0，，求x的值；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若曲线y=h（x）与y=g（x）的图象关于直线对称，求函数h（x）在上的值域．【解答】解：==．（1）由f（x）=0，得，∴，∴，或，k∈Z．又∵，∴x=或0或；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得函数图象的解析式为y==2cos2x+1，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）=2cosx+1，又曲线y=h（x）与y=g（x）的图象关于直线对称，∴=2sinx+1，∵x∈，∴sinx∈．故函数h（x）的值域为（0，3]． 18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．第19页共19页,（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若bn=nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值．【解答】（1）证明：当n=1时，a1+1=2a1，∴a1=1．∵Sn+n=2an，n∈N*，∴当n≥2时，Sn﹣1+n﹣1=2an﹣1，两式相减得：an+1=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1+1，∴an+1=2（an﹣1+1），∴数列{an+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴，则，n∈N*；（2）解：∵，∴，∴，两式相减得：，∴，由，得，设，∵＞0，∴数列{cn}为递增数列，∵，，∴满足不等式的n的最小值为11． 第19页共19页,19．（12分）已知点O是等边△ABC内一点，BC=3，∠BOC=120°，设∠BCO=θ．（1）若AO=BO，求θ；（2）设△BOC与△AOC的面积差为S，求S关于θ的函数S（θ），那么θ取何值时，S（θ）有最大值？最大值是多少？【解答】解：（1）∵OA=OB，CA=CB，∴△ACO≌△BCO．∴，∴∠BCO=θ=300．（4分）（2）在△BOC中，∠OBC=60°﹣θ，由正弦定理有：，∴，（6分）又；，∴=3sin（600﹣θ）（sinθ﹣+）=9（）（）=9（）=，θ∈（0，600）（10分）故当2θ=900，即θ=450时S（θ）取得最大值．（12分） 20．（12分）习总书记在十九大报告中明确指出，“要着力解决突出环境问题，坚持全民共治，源头防治，持续实施大气污染防治行动，打赢蓝天保卫战．”．为落实十九大报告精神，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为：第19页共19页,，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且．（1）令，x∈[0，24]，求t（x）的最值；（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过2．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？【解答】解：（1）由，x∈[0，24]，得，令t′（x）≥0，得（x+2）（x﹣2）≤0，即0≤x≤2，令t′（x）＜0，得（x+2）（x﹣2）＞0，即x＞2，∴t（x）在[0，2]上递增，在（2，+∞）上递减，∴当x=0时，t（x）min=0；当x=2时，；（2）由（1），令g（t）=f（x）=t•|t﹣a|+，t∈[0，]，则g（t）=，∵g（t）在和上递增，在上递减，且，g（）=，，令，解得；令，解得0，∴，第19页共19页,∵fmax（x）≤1，∴目前市中心的综合污染指数没有超标． 21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣m﹣xlnx﹣（m﹣1）x，m∈R，f′（x）为函数f（x）的导函数．（1）若m=1，求证：对任意x∈（0，+∞），f′（x）≥0；（2）若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）m=1时，f（x）=ex﹣1﹣xlnx，f′（x）=ex﹣1﹣lnx﹣1令G（x）=ex﹣1﹣x，则G′（x）=ex﹣1﹣1，当x＞1时，G′（x）＞0当x＜1时，G′（x）＜0，故G（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以G（x）≥G（1）=0，即ex﹣1≥x（当且仅当x=1时取等号）．令j（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0），则j′（x）=，当0＜x＜1时，j′（x）＜0，当x＞1时，j′（x）＞0，故j（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以j（x）≥j（1）=0，即x≥lnx+1（当且仅当x=1时取等号）．当f′（x）=ex﹣1﹣lnx﹣1≥x﹣（lnx+1）≥0（当且仅当x=1时取等号）所以，∀x∈（0，+∞），f′（x）≥0；（4分）（2）f（x）有两个极值点，即f′（x）=ex﹣m﹣lnx﹣m有两个变号零点．①当m≤1时，f′（x）=ex﹣m﹣lnx﹣m≥ex﹣1﹣lnx﹣1，由（1）知f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值点；（6分）②当m＞1时，令g（x）=f′（x），则，∵g′（1）=e1﹣m﹣1＜0＞0，且g′（x）在（0，+∞）上单增，∴∃x0∈（1，m），使g′（x0）=0．当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0．所以，g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．第19页共19页,则g（x）在x=x0处取得极小值，也即最小值g（x0）=．（8分）由g′（x0）=0得m=x0+lnx0，则g（x0）=（9分）令h（x）=（1＜x＜m）则，h（x）在（1，m）上单调递减，所以h（x）＜h（1）=0．即g（x0）＜0，（10分）又x→0时，g（x）→+∞，x→+∞时，g（x）→+∞，故g（x）在（0，+∞）上有两个变号零点，从而f（x）有两个极值点．所以，m＞1满足题意．（11分）综上所述，f（x）有两个极值点时，m的取值范围是（1，+∞）．（12分）（其他解法酌情给分） 选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，已知直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数）．由已知，整理得：普通方程为，化简得x2+y2=2．（2）由ρsin（﹣θ）+=0，知，化为普通方程为x﹣y+=0圆心到直线l的距离h=，由垂径定理． 第19页共19页,选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣a|，不等式f（x）≤3的解集为[﹣6，0]．（1）求实数a的值；（2）若f（x）+f（x+5）≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≤3，得|x﹣a|≤3，∴a﹣3≤x≤a+3，又f（x）≤3的解集为[﹣6，0]，解得：a=﹣3；（5分）（2）∵f（x）+f（x+5）=|x+3|+|x+8|≥5．又f（x）+f（x+5）≥2m对一切实数x恒成立，∴2m≤5，m≤（10分） 第19页共19页
